一輪課件空間中的平行與垂直

專題五立體幾何第2講空間中的平行與垂直主干知識梳理熱點(diǎn)分類突破真題與押題1.以選擇、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對命題的真假進(jìn)行判斷，屬基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查，主要是對線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體進(jìn)行考查，難度中等．考情解讀主干知識梳理1.線面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理線面平行的判定定理線面平行的性質(zhì)定理線面垂直的判定定理線面垂直的性質(zhì)定理2.面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理面面垂直的判定定理面面垂直的性質(zhì)定理面面平行的判定定理面面平行的性質(zhì)定理提醒使用有關(guān)平行、垂直的判定定理時，要注意其具備的條件，缺一不可.3.平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化熱點(diǎn)一空間線面位置關(guān)系的判定熱點(diǎn)二平行、垂直關(guān)系的證明熱點(diǎn)三圖形的折疊問題熱點(diǎn)分類突破例1

(1)設(shè)a，b表示直線，α，β，γ表示不同的平面，則下列命題中正確的是(

)A.若a⊥α且a⊥b，則b∥αB.若γ⊥α且γ⊥β，則α∥βC.若a∥α且a∥β，則α∥βD.若γ∥α且γ∥β，則α∥β熱點(diǎn)一空間線面位置關(guān)系的判定思維啟迪

判斷空間線面關(guān)系的基本思路：利用定理或結(jié)論；借助實(shí)物模型作出肯定或否定.解析A：應(yīng)該是b∥α或b?α；B：如果是墻角出發(fā)的三個面就不符合題意；C：α∩β＝m，若a∥m時，滿足a∥α，a∥β，但是α∥β不正確，所以選D.答案D(2)平面α∥平面β的一個充分條件是(

)A.存在一條直線a，a∥α，a∥βB.存在一條直線a，a?α，a∥βC.存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD.存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α解析若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C.故選D.答案D解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中.思維升華變式訓(xùn)練1設(shè)m、n是不同的直線，α、β是不同的平面，有以下四個命題：①若α⊥β，m∥α，則m⊥β②若m⊥α，n⊥α，則m∥n③若m⊥α，m⊥n，則n∥α④若n⊥α，n⊥β，則β∥α其中真命題的序號為(

)A.①③ B.②③ C.①④ D.②④解析①若α⊥β，m∥α，則m與β可以是直線與平面的所有關(guān)系，所以①錯誤；②若m⊥α，n⊥α，則m∥n，所以②正確；③若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，所以③錯誤；④若n⊥α，n⊥β，則β∥α，所以④正確.故選D.答案D熱點(diǎn)二平行、垂直關(guān)系的證明20．如圖，多面體是由三棱柱截去一部分后而成，D是AA1的中點(diǎn)．（1）若AD=AC=1，AD⊥平面ABC，BC⊥AC，求點(diǎn)C到面B1C1D的距離；（2）若E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CC1上，且，問λ為何值時，直線EF∥平面B1C1D？證明：（1）∵多面體ABC-B1C1D是由三棱柱ABC-A1B1C1截去一部分后而成，D是AA1的中點(diǎn)．AD⊥平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥面DACC1，則BC⊥CD，∵BC∥B1C1，∴CD⊥B1C1，又∵AD=AC=1，D是AA1的中點(diǎn)，∴CD=DC1=，可得，即CD⊥C1D，∴CD⊥面DC1B1∴點(diǎn)C到面B1C1D的距離等于CD=，（2）當(dāng)λ=4時，直線EF∥平面B1C1D，理由如下：設(shè)AD=1，則BB1=2，取DB1的中點(diǎn)H，連接EH，可得AD∥EH∥CC1，∵EH是梯形DABB1的中位線，∴，

當(dāng)C1F=EH=時，四邊形C1FEH為平行四邊形，即EF//HC1，∵HC1//面B1C1D，∴直線EF//平面B1C1D．

此時且垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.(4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.思維升華變式訓(xùn)練2

如圖所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).求證：(1)AF∥平面BCE；證明如圖，取CE的中點(diǎn)G，連接FG，BG.∵F為CD的中點(diǎn)，∴GF∥DE且GF＝

DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝

DE，∴GF＝AB.∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG.∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)平面BCE⊥平面CDE.證明∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.例3如圖(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖(2).熱點(diǎn)三圖形的折疊問題(1)求證：DE∥平面A1CB；思維啟迪

折疊問題要注意在折疊過程中，哪些量變化了，哪些量沒有變化.第(1)問證明線面平行，可以證明DE∥BC；證明因?yàn)镈，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以DE∥BC.又因?yàn)镈E?平面A1CB，BC?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)求證：A1F⊥BE；思維啟迪

第(2)問證明線線垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明A1F⊥平面BCDE；證明由題圖(1)得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因?yàn)锳1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，又BE?平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？請說明理由.思維啟迪

第(3)問取A1B的中點(diǎn)Q，再證明A1C⊥平面DEQ.解

線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如圖，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，則PQ∥BC.又因?yàn)镈E∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即為平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn)，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.從而A1C⊥平面DEQ.故線段A1B上存在點(diǎn)Q，使得A1C⊥平面DEQ.(1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量.一般情況下，折線同一側(cè)線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口.(2)在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形.思維升華變式訓(xùn)練3如圖(1)，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝

，AB＝BC＝2AD＝4，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE＝x.沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如圖(2)所示)，G是BC的中點(diǎn).(1)當(dāng)x＝2時，求證：BD⊥EG；證明作DH⊥EF，垂足為H，連接BH，GH，因?yàn)槠矫鍭EFD⊥平面EBCF，交線為EF，DH?平面AEFD，所以DH⊥平面EBCF，又EG?平面EBCF，故EG⊥DH.因?yàn)镋H＝AD＝

BC＝BG＝2，BE＝2，EF∥BC，∠EBC＝90°，所以四邊形BGHE為正方形，故EG⊥BH.又BH，DH?平面DBH，且BH∩DH＝H，故EG⊥平面DBH.又BD?平面DBH，故EG⊥BD.(2)當(dāng)x變化時，求三棱錐D－BCF的體積f(x)的函數(shù)式.解因?yàn)锳E⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交線為EF，AE?平面AEFD，所以AE⊥平面EBCF.由(1)知，DH⊥平面EBCF，故AE∥DH，所以四邊形AEHD是矩形，DH＝AE，故以B，F(xiàn)，C，D為頂點(diǎn)的三棱錐D－BCF的高DH＝AE＝x.1.證明線線平行的常用方法(1)利用平行公理，即證明兩直線同時和第三條直線平行；(2)利用平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)換；(3)利用三角形中位線定理證明；(4)利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明.本講規(guī)律總結(jié)2.證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行；(2)利用面面平行的性質(zhì)定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.3.證明面面平行的方法證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行即可，從而將證面面平行轉(zhuǎn)化為證線面平行，再轉(zhuǎn)化為證線線平行.4.證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直；(2)利用勾股定理逆定理；(3)利用線面垂直的性質(zhì)，即要證線線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在平面即可.5.證明線面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證面面垂直；(3)利用常見結(jié)論，如兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.6.證明面面垂直的方法證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點(diǎn)、高線或添加輔助線解決.真題感悟押題精練真題與押題12真題感悟1.(2014·遼寧)已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面.下列說法正確的是(

)A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若m⊥α，n?α，則m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，則n∥αD.若m∥α，m⊥n，則n⊥α12真題感悟解析方法一若m∥α，n∥α，則m，n可能平行、相交或異面，A錯；若m⊥α，n?α，則m⊥n，因?yàn)橹本€與平面垂直時，它垂直于平面內(nèi)任一直線，B正確；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，C錯；若m∥α，m⊥n，則n與α可能相交，可能平行，也可能n?α，D錯.12真題感悟方法二如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.A項中，若m為A′B′，n為B′C′，滿足m∥α，n∥α，但m與n是相交直線，故A錯.B項中，m⊥α，n?α，∴m⊥n，這是線面垂直的性質(zhì)，故B正確.12真題感悟C項中，若m為AA′，n為AB，滿足m⊥α，m⊥n，但n?α，故C錯.D項中，若m為A′B′，n為B′C′，滿足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D錯.答案B真題感悟212.(2014·遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)，G分別為AC，DC，AD的中點(diǎn).真題感悟21(1)求證：EF⊥平面BCG；證明由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.又G為AD的中點(diǎn)，所以CG⊥AD.同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BGC.又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.真題感悟21(2)求三棱錐D－BCG的體積.附：錐體的體積公式V＝

Sh，其中S為底面面積，h為高.解在平面ABC內(nèi)，作AO⊥BC，交CB的延長線于O.由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.又G為AD中點(diǎn)，因此G到平面BDC的距離h是AO長度的一半.真題感悟21押題精練121.

如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上(異于點(diǎn)A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn).有以下四個命題：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正確的命題是________(填上所有正確命題的序號).押題精練12解析①錯誤，PA?平面MOB；②正確；③錯誤，否