2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)三角函數(shù)、三角形、平面向量專題09正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用文

專09弦理余定的合用一、本專題要特別小心：1.解三角形時(shí)的分類討論（銳角角之分）2.邊互化的選取3.正弦定理的選取4.三角形中的中線問(wèn)題5.三角形中的角平分性問(wèn)題6.多個(gè)三角形問(wèn)題二習(xí)標(biāo)】掌握正、余弦定理，能利用這兩個(gè)定理及面積計(jì)算公式解斜三角形，培養(yǎng)運(yùn)算求解能力．三法結(jié)】1.利用正弦定理，可以解決以下類有關(guān)三角形的問(wèn)題：(1)已知兩角和任一邊，求其他邊和一角；(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)(從而進(jìn)一步求出其他的邊和).2.由弦定理容易得到：在三角中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦較大的角也較大，即A＞a＞sinA＞sinB.3.已知三角形兩邊及其一邊的對(duì)解三角形時(shí)，利用正弦定理求解時(shí)，要注意判斷三角形解的存在兩解、一解和無(wú)解三種可能).而解情況確定的一般方法是“大邊對(duì)大角且三角形鈍角至多一個(gè)”.4.利用余弦定理，可以解決以下類有關(guān)三角形的問(wèn)題：(1)已知三邊，求三個(gè)角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求三邊和其余角；(3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角求其他邊和.(4)由余弦值確定角的大小時(shí)，定要依據(jù)角的范圍及函數(shù)值的正負(fù)確.四型方法】（一）三角形中角的范圍問(wèn)題例1.在

中，

，，

的最大值為A．

B．

C．

D．【答案】【解析】

中，，，，，其中

由于故選：．

，

所以，以最大為．練習(xí)1.在銳三角形

中角C

的對(duì)邊分別為

bc

若

則的最小值是______．【答案】【解析】由正弦定理可得：得：，即又令，：為銳角三角形ABC得：，即

t

t當(dāng)且僅當(dāng)，

時(shí)取等號(hào)本題正確結(jié)果：練習(xí)2.設(shè)鈍角.

的內(nèi)角

的對(duì)邊分別為外接圓的徑為1,角為

（）（）

的值；的取值范圍．【答案】(1).(2).【解析）三形

外接圓的直徑為1，由

得，又因?yàn)榻?，所以，所以，?（）（），,所以于是=

，因?yàn)?，以，，因此（二）正余弦定理與三角形面積綜合

的取值范圍是例2.在

中，

為

的外心中.點(diǎn)的軌跡所對(duì)應(yīng)圖形的面積是__________【答案】【解析】由余弦定理得，由題意知點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)圖形邊長(zhǎng)為積是故答案為：

,所以的菱形

.因此于是這個(gè)菱形的面

練習(xí)1.在V中內(nèi)角，C的邊分別為a，c，c，（）；

.（）M在BC

邊上，且BMAB

，求a

.【答案】(1)

23

.(2)

ab

.【解析）因?yàn)榧碈，以cos因?yàn)椋ǎ╊}意得，

12

，所以，整理得，2，解得.3，

，因?yàn)?/p>

，所以CM，即

，由余弦定理可知，即解得.（舍去A練習(xí)2.如圖在平面四邊形中AB，

35

，

，

.（）對(duì)角線

的長(zhǎng)；（）四邊形

ABCD

是圓的內(nèi)接四邊形，求

面積的最大.【答案】(1)(2)

1698【解析）在中

，由正弦定理得，即.（）已知得，

，以C

35

，在BCD中由余弦定理可得則，即，

，所以

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取等號(hào).（三）三角形問(wèn)題中的數(shù)形結(jié)合例3.

中，三內(nèi)角

的對(duì)邊分別為，滿足，，是以

為直徑的圓上一點(diǎn)，則【答案】

的最大值為_(kāi)____．【解析】由

，a=1，得，據(jù)正弦定理sinB=sinAsin（C+∴sin（A+C）sinAsin（C+得cosAsinC=sinAsinC∵sinC≠0，∴cosA=sinA即A=．作△ABC的接圓，當(dāng)AD經(jīng)過(guò)的外接圓的圓心且垂直于BC時(shí)AD最大

設(shè)BC中為O，此時(shí)故答案為：

．那么AD=OA+OD=．練習(xí)1平上有四點(diǎn)則△的周長(zhǎng)()A．3B．C．3．6【答案】

滿足：，【解析】平面上有四點(diǎn)

，滿足，

是

的重心，，

，即

，同理可得：

，即是心，故

是正三角形，

，設(shè)外接圓半徑為，即，故周長(zhǎng)，選A.（四）判斷三角形的形狀

，即，，例4.在中A．等腰三角形C．等腰直角三角形

，則ABC一定（）B．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】【解析】由正弦定理可知：，已知，以，即

以有A2，即AB或

A

2

，所以是腰三角形或直角三角形，故本題選D.

練習(xí)1.

VABC

中，

，b

ac，

VABC

一定是（）A．銳角三角形【答案】

B．鈍角三角形C．等腰角形D等邊三角形【解析】

VABC

中，

，b

,故得到，得到角A等于C，三角形為等邊三角.故答案為：練習(xí)2.在

中，角

，，對(duì)的邊的長(zhǎng)分別為a，，，

，則

的形狀是（）A．銳角三角形【答案】

B．直角三角形C．鈍角角形

D．正三角形【解析】由正弦定理得：

2

2

2由余弦定理得：C

C鈍角，則ABC為角三角形本題正確選項(xiàng)：

練習(xí)3．在

V

中，，B，C對(duì)邊分別為，b，，

，則

VABC

的形狀一定是()A．直角三角形【答案】【解析】

B．等邊三角形C．等腰角形化簡(jiǎn)得即

D．等腰直角三角形QsinC0

A

即A=900

ABC

是直角三角形故A（五）三角形中邊的范圍問(wèn)題

例5.已知

V

中，角,B,

的對(duì)邊分別為

bc

．（）

bc

依次成等差數(shù)列，且公差為2，的；（）

V

的外接圓面積為，

VABC

周長(zhǎng)的最大值．【答案））2.【解析）

a,bc

依次成等差數(shù)列，且公差為2

，，由余弦定理得：整理得：又

，則

，解得：或cc（）B外接圓的半徑為，則得：由正弦定理可得：可得：

，，c

3ABC

的周長(zhǎng)又

當(dāng)

3

2

，即：

時(shí)，

f

取得最大值23練習(xí)1.．在

ABC中bc

分別是角AB,C

的對(duì)邊，

，

n

且

n（）角

C

的大??；（）c

，求a

的取值范圍【答案】(1)

(2)【解析）由由正弦定理得：又

n

得：sinA

C

C

C

3（）余弦定理得：整理可得：又，且僅當(dāng)

時(shí)取等號(hào)又練習(xí)2.在

中，角A,

的對(duì)邊分別為

bc

，點(diǎn)為BC

的中點(diǎn)，若ADm

，且滿足（）（II）若

a

，求

的周長(zhǎng)的最大值．

【答案）

）

【解析）在和

ACD

中，由余弦定理得：；，即又即：又（II）在ABC中由余弦定理可得：，即：又bc

4當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)ABC

的周長(zhǎng)：，

周長(zhǎng)的最大值為

練習(xí)3.已知

的三個(gè)內(nèi)角

，B，

C

的對(duì)邊分別為a，b，c，.（）角B大??；（）b

3，求

2

的最大值【答案）

3

）7

.【解析）∵

，∴

，

,2,2∴由正弦定理可得：，∴由余弦定理可得：

，∵

B

，∴.3（）b

3，

B

3

，可得，∴，其中tan

.∴2

的最大值為7

.（六）三角形應(yīng)用題例6.如圖一塊邊長(zhǎng)為2km的邊三角形地塊ABC，響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，現(xiàn)對(duì)這塊地進(jìn)行綠化改造，計(jì)劃從BC的中點(diǎn)D出引出兩條成60°的線段和DF與AB和AC圍成邊形區(qū)域AEDF，在該區(qū)域種上草坪，其余區(qū)域修建成停車場(chǎng)，設(shè)∠BDE．（）＝60°，求綠化面積；（）求地塊的綠化面積

S

的取值范圍．333【答案）（）2【解析當(dāng)

時(shí)∥AC∥AB邊是行四邊形，和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，面積都是

34

km2，

所以綠化面積為（）題意知，由正弦定理是

.，在中，，所以

，，在

中，

，

，由正弦定理得所以

，所以，.所以，當(dāng)，，，所以.

88答地的綠化面積

的取值范圍是練習(xí)1圖等腰梯形中/CD

，2

形

的高為，是CD的點(diǎn)，分別以C,D為心，，為徑作兩圓弧，交兩點(diǎn)（）的度數(shù)；（）圖中陰影部分為區(qū)域，求區(qū)域的積【答案）（）【解析）設(shè)梯形的高為，因?yàn)?/p>

，所以

.在

中，由正弦定理，得，即，解得.又，BC

，所以.（.中余弦定理推論，即解得

，（舍去）

因?yàn)?/p>

，所以.練習(xí)2．如圖，A，是面位于東西方向相海距3)里兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)現(xiàn)位于點(diǎn)北偏東點(diǎn)偏西

60

的點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B