新課標(biāo)理科數(shù)學(xué)第七章第五節(jié)直線平面垂直的判定及其性質(zhì)

第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1．直線與平面垂直(1)定義：如果直線l與平面α內(nèi)的__________直線都垂直，則直線l與平面α垂直．(2)判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條______直線都垂直，則該直線與此平面垂直．(3)性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線______．任意一條相交平行2．二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的____________所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作__________的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．3．平面與平面垂直(1)定義：如果兩個平面所成的二面角是___________，就說這兩個平面互相垂直．兩個半平面垂直于棱直二面角(2)判定定理：一個平面過另一個平面的______，則這兩個平面垂直．(3)性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)__________的直線與另一個平面垂直．4．直線和平面所成的角(1)平面的一條斜線和它在_____________所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角．(2)當(dāng)直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時，規(guī)定直線和平面所成的角分別為_________．垂線垂直于交線平面上的射影90°和0°1．一條直線和一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，可以說這條直線和這個平面垂直嗎？【提示】

不可以．如果這無數(shù)條直線是平行的，則這條直線和這個平面的位置關(guān)系不確定．2．兩條直線和一個平面所成的角相等，這兩條直線有什么位置關(guān)系？垂直于同一平面的兩個平面呢？【提示】

這兩條直線平行或相交或異面；垂直于同一個平面的兩個平面可能平行，也可能相交．1．(人教A版教材習(xí)題改編)已知直線a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，則b與α的位置關(guān)系為()A．b?α B．b∥αC．b?α或b∥α D．b與α相交【解析】

由a⊥b，a⊥α知b?α或b∥α，但直線b不與α相交．【答案】

C【答案】

D【解析】

A顯然正確，根據(jù)面面垂直的判定，B正確．對于命題C，設(shè)α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ內(nèi)取一點(diǎn)P不在l上，過P作直線a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，則a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，aγ，bγ，∴l(xiāng)⊥γ.故命題C正確．對于命題D，設(shè)α∩β＝l，則lα，且lβ.故在α內(nèi)存在直線不垂直于平面β，即命題D錯誤．【答案】

D4．(2012·浙江高考)設(shè)l是直線，α，β是兩個不同的平面()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β【解析】

設(shè)α∩β＝a，若直線l∥a，且lα，lβ，則l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A錯誤；由于l∥α，故在α內(nèi)存在直線l′∥l，又因為l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正確；若α⊥β，在β內(nèi)作交線的垂線l，則l⊥α，此時l在平面β內(nèi)，因此C錯誤；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β內(nèi)，則l∥α且l∥β，因此D錯誤．【答案】

B【嘗試解答】

(1)因為AB⊥平面PAD，PH平面PAD，所以PH⊥AB.因為PH為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD.因為PH

平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.1．證明疑直線猜和平土面垂樹直的蘇常用幕方法老有：(1杠)判定壯定理幼；(2瞧)垂直城于平姐面的蜜傳遞通性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3爹)面面伙平行允的性元質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)．(4腔)面面朋垂直堤的性景質(zhì)．2．證明鴨線面襯垂直笛的核宿心是耍證線鄭線垂史直，泄而證言明線聞線垂奧直則拒需借峽助線研面垂警直的弦性質(zhì)當(dāng)．因民此，狗判定絮定理甲與性宮質(zhì)定核理的貼合理等轉(zhuǎn)化拉是證帽明線帝面垂表直的暈基本留思想目．3．線膛面垂開直的丹性質(zhì)拿，常爭用來展證明記線線贏垂直葡．【解】(1前)證明由條玩件知旨四邊例形PD悟AQ為直箏角梯售形．因為QA⊥平面AB丹CD，所陜以QA⊥DC，又四析邊形AB菠CD為正舞方形膽，DC⊥AD，又QA∩AD＝A，【思路原點(diǎn)撥】(1螞)證明DC1⊥平面BD答C.(2麗)先求荒四棱轎錐B—橋DA杠CC1的體悅積，懶再求浮三棱象柱AB雁C—懼A1B1C1的體咬積．【嘗試打解答】(1我)由題躍設(shè)知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所療以BC⊥平面AC討C1A1.又DC1平面AC惜C1A1，所劑以DC1⊥BC梁.由題扶設(shè)知∠A1DC1＝∠AD梢C＝45°，所僚以∠CD渴C1＝90°，即DC1⊥DC勇.又DC∩BC＝C，所挪以DC1⊥平面BD元C.又DC1平面BD娃C1，故倒平面BD荷C1⊥平面BD躍C.1．解答主本題(1令)的關(guān)做鍵是揪通過端證明BC⊥平面AC北C1A1來證乞明DC1⊥BC.2．證明炕面面家垂直嚼常用唱面面盜垂直稿的判派定定現(xiàn)理或管定義無法．(1危)利用事判定萍定理瓦證明到面面蹤蝶垂直蠟實質(zhì)星是證買明線莊面垂倦直，熔與其則中一謊個平組面垂浩直的憑直線敏的選株取至驗關(guān)重痰要，合要根倚據(jù)條細(xì)件的播直觀廉圖準(zhǔn)垮確選隙?。?2疫)利用扭定義仇證明響面面怒垂直萌實質(zhì)披是證澤明線括線垂例直，柱即證炎明兩蠢平面織形成冷的二高面角襯是直乏角．(2鮮01抽3·韶關(guān)刻模擬)如圖7－5－4所示滔，在撲四棱錐P—非AB嗎CD中，伸平面PA脹D⊥平面AB偷CD，AB＝AD，∠BA堤D＝60°，E，F(xiàn)分別魔是AP，AD的中晝點(diǎn)．求證做：(1倒)直線EF∥平面PC鍛D；(2反)平面BE堪F⊥平面PA山D.【證明】(1撕)如圖虧，在△PA輪D中，歸因為E，F(xiàn)分別現(xiàn)為AP，AD的中響點(diǎn)，參所以EF∥PD討.又因斯為EF?平面PC辯D，PD?平面PC拳D，所以潔直線EF∥平面PC千D.(2棟)連接BD.因為AB＝AD，∠BA飽D＝60°，所錘以△AB斗D為正三伍角形章．因為F是AD的中辦點(diǎn)，離所以BF⊥AD.因為炊平面PA倉D⊥平面AB凝CD，BF?平面AB甲CD，平陳面PA血D∩平面AB松CD＝AD，所以BF⊥平面PA蛇D.又因易為BF?平面BE籍F.所以螞平面BE乘F⊥平面PA察D.如圖7－5－5所示私，四棱持錐P—丹AB嫌CD中，處底面AB刪CD為平殘行四席邊形煌，∠DA件B＝60°，AB＝2A葉D，PD⊥底面AB舌CD壁.(1較)證明盡：PA⊥BD；(2敗)設(shè)PD＝AD＝1，求縫棱錐D—謎PB幅C的高稠．【思路摧點(diǎn)撥】(1遼)證明BD⊥平面PA膛D.(2奔)作DE⊥PB，證籌明DE⊥平面PB迎C，在△PD張B中計漫算DE的長遺．1．解答兆本題冰的關(guān)生鍵是托通過升計算坊證明AD⊥BD，這嗚也是角解題在中容界易忽晴視的選方法幼．2．面面燃垂直攪的性誰質(zhì)是算用來短推證濁線面誓垂直雀的重央要依灘據(jù)，四其核膛心是止其中寧一個養(yǎng)面內(nèi)勢的直昨線與嘗交線樂垂直振．在你其中妥一個艘面內(nèi)腦作交智線的奏垂線亡，這胳是常應(yīng)作的投輔助銅線．3．空吹間的桐直線業(yè)與直南線、陜直線析與平良面、綿平面枕與平疏面的澡垂直經(jīng)或平管行問須題常年?；ルs相轉(zhuǎn)妻化，彎將空督間問澡題化求歸為丟平面軍問題側(cè)是處身理立呢體幾輩何問揉題的券重要雷思想燦．如圖7－5－6所示閱，平事行四邊陜形AB鑰CD中，∠DA鴿B＝60°，AB＝2，AD＝4，將△CB薪D沿BD折起剝到△EB斗D的位卡置，撇使平煉面ED膝B⊥平面AB批D.(1拆)求證敞：AB⊥DE；(2驢)求三期棱錐E—館AB別D的側(cè)懷面積殊．(2歐01鐮3·廣州口模擬)如圖7－5－7，在劃錐體P—AB嫂CD中，AB災(zāi)CD是邊侄長為1的菱拳形，部且∠DA誓B＝60°，PA＝PD＝，PB＝2，E，F(xiàn)分別胸是BC，PC的中竿點(diǎn)．(1攻)證明任：AD⊥平面DE愉F；(2帝)求二巡壽面角P—AD—B的余鉗弦值流．【思路會點(diǎn)撥】(1雕)取AD的中電點(diǎn)G，則億平面PG閱B∥平面DE起F，只辰需證AD⊥平面PG胃B即可阻．(2勒)作出怕二面伐角的稀平面戲角∠PG撇B，在△PG扒B中求徒解．【嘗試宵解答】(1我)取AD中點(diǎn)G，連饞接PG，BG.1．第(1秋)問關(guān)意鍵是憤利用培平面PG局B∥平面DE嶺F，若AD⊥平面PG羨B，則毅一定魂有AD⊥平面DE戚F.2．求線戴面角晉、二艱面角豬的常鈴用方器法．(1廈)線面攔角的遼求法安：找塌出斜沸線在通平面故上的殃射影節(jié)，關(guān)債鍵是貿(mào)作垂炭線，添找垂已足，隆要把永線面敢角轉(zhuǎn)討化到薄一個滴三角籃形中奪求解顏．(2安)二面侮角的控大小偶求法罵：二素面角畫的大石小用只它的查平面膏角來陪度量段．平劑面角長的作激法常箭見的事有：①定義方法；②垂面頓法．費(fèi)注意為利用綢等腰秒、等抽邊三眉角形前的性礎(chǔ)質(zhì)．(2肯01誦2·湖南逐高考)如圖7－5－8所示慚，在四凡棱錐P－AB慣CD中，PA⊥平面AB沈CD，底考面AB弦CD是等摘腰梯奇形，AD∥BC，AC⊥BD.(1殿)證明簽：BD⊥PC；(2來)若AD＝4，BC＝2，直劃線PD與平面PA納C所成駁的角地為30°，求風(fēng)四棱政錐P－AB柏CD的體擱積．【解】(1腔)證明因為PA⊥平面AB毅CD，BD?平面AB喇CD，所次以PA⊥BD.又AC⊥BD，PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PA對C.而PC?平面PA擋C，所孟以BD⊥PC.(2秘)如圖榨所示孩，設(shè)AC和BD相交封于點(diǎn)O，連聽接PO，由(1倘)知，BD⊥平面PA茄C，所糠以∠DP振O是直佛線PD和平借面PA每C所成孕的角俱．從腎而∠DP偵O＝30°.垂直點(diǎn)問題榮的轉(zhuǎn)逢化關(guān)昆系1.證明跳線線旬垂直權(quán)的方筆法(1)定義厘：兩點(diǎn)條直栗線所優(yōu)成的爽角為90°；(2分)平面松幾何趁中證當(dāng)明線逆線垂戰(zhàn)直的劣方法鉆；(3啊)線面俊垂直唇的性呈質(zhì)：a⊥α，bα路a⊥b；(4艘)線面俘垂直芒的性秒質(zhì)：a⊥α，b∥αa⊥b.3．證明沾面面敘垂直纖的方村法(1街)利用認(rèn)定義科：兩澆個平假面相掏交，幅所成嚴(yán)的二已面角訓(xùn)是直恩二面碼角；(2鼻)判定貪定理佳：aα，a⊥βα⊥β.通過溝近兩慮年的情高考稅試題爸看，子線線播、線臟面、惜面面瘦垂直趨的判丈定與猶性質(zhì)羊的應(yīng)輔用是怕考查級的重銀點(diǎn)和草熱點(diǎn)渠，主烘要考肝查空販間想疑象能劫力和止推理糊論證瓶能力乎，以穿及轉(zhuǎn)飾化思掙想的普應(yīng)用儀．題靠型全囑面，崗但主刮要以燈解答鞋題的蘭形式對考查場，規(guī)腿范解雖答至絕關(guān)重匪要．規(guī)范殼解答類之十樸二藏立體蝴幾何洽中探暖索性睬問題續(xù)的求釣解策賺略(1嗓4分)(2雷01催2·北京遭高考)如圖7－5－9(蠢1)，在Rt△AB困C中，∠C＝90°，D，E分別壞為AC，AB的中桑點(diǎn)，咸點(diǎn)F為線雅段CD上的渴一點(diǎn)跌，將△AD膏E沿DE折起惑到△A1DE的位救置，雅使A1F⊥CD，如齡圖7－5－9(烏2)．(1婆)求證勾：DE∥平面A1CB旦.(2堵)求證渡：A1F⊥BE畜.(3乓)線段A1B上是奏否存維在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DE雪Q？說誕明理記由．【規(guī)范兆解答】(1疏)因為D，E分別斯為AC，AB的中震點(diǎn)，所以DE∥BC.·遺··廢··悟··轟··扮··曲··羊··膚··除··椅2分又因斬為DE?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.·譜··滋··刊··婚··里··柴··草·4分(2錫)由已巡壽知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC，··翠··法··才··蔬··舊··撒··雪··絨··漆··賤··黃··案··恩··自··僅··砍··族··恥·6分所以DE⊥A1F.又因斯為A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BC瞧DE，又BE?平面BC等DE，所以A1F⊥BE.·茅··俊··際··熱··企··彼··麻··非··棵··梢··勤9分(3安)線段A1B上存肥在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DE木Q.理由縫如下抓：如圖耕，分貪別取A1C，A1B的中參點(diǎn)P，Q，則PQ∥BC楊.又因駐為DE∥BC，所以DE∥PQ蹤蝶.所以竹平面DE渾Q即為更平面DE傷P.由(2厭)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因仇為P是等未腰三酒角形DA1C底邊A1C的中它點(diǎn)，所以A1C⊥DP模.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DE豬P.饅··廚··懇··樓··薄··?！ぁつz··佳··框··要··相·1蠅2分從而A1C⊥平面DE謠Q.故線粉段A1B上存塵在點(diǎn)Q，使挎得A1C⊥平面DE顏Q.倉·庫··稈··各··蠻··吃14分【解題甚程序】第一盈步：雹根據(jù)侄三角渣形中趕位線枝證明DE∥BC乘.從而狀證明DE∥平面A1CB；第二財步：兔利用棕線面能垂直這的判喊定定野理證列明DE⊥平面A1DC；第三埋步：袖通過估證明A1F⊥平面BC罵DE來證慶明A1F⊥BE；第四緣瑞步：鑒分別絕取A1C，A1B的中疊點(diǎn)P，Q，證昨明P、Q、D、E四點(diǎn)符共面間；第五迅步：石通過步證明PD⊥A1C來證描明A1C⊥平面DE批Q.易錯席提示本：(1萍)想不櫻到或嘗不會小利用DE⊥A1D，導(dǎo)播致無延法求閥解．(2言)對于閣是否悼存在砌型問援題沒鑒有解懂題思瞞路，崗從而是無法況作出扁輔助禍線，脫導(dǎo)致丸思路鬼受阻淺．防范綁措施嘩：(1讀)對于爭平面宴圖形刷的折糕疊問