數(shù)學(xué)物理方程第章

數(shù)學(xué)物理方程任課教師：李棟航空學(xué)院流體系翼型葉柵空氣動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室中樓303室Tel：88460290Mail:ldgh@定義:

主要是指從物理學(xué)及其他各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所產(chǎn)生的偏微分方程(有時(shí)也包括積分方程、微分積分方程等),例如特點(diǎn):

反映了有關(guān)的未知變量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系。范疇:

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等方面的基本方程都屬于數(shù)學(xué)物理方程的范圍。數(shù)學(xué)物理方程“一切科學(xué)的理論，總是從實(shí)踐中來，又回到實(shí)踐中去，接受檢驗(yàn)，指導(dǎo)實(shí)踐，同時(shí)在實(shí)踐中豐富和發(fā)展自己?！?/p>

力學(xué)問題弦線振動(dòng)問題流體運(yùn)動(dòng)、彈性體振動(dòng)、熱傳導(dǎo)、電磁作用、原子核-電子作用、化學(xué)反應(yīng)偏微分方程（基本規(guī)律）偏微分方程（基本規(guī)律）求解數(shù)學(xué)物理方程定解問題預(yù)測(cè)自然現(xiàn)象變化（氣象預(yù)報(bào)等）各種工程設(shè)計(jì)（機(jī)械強(qiáng)度計(jì)算等）物理問題數(shù)學(xué)問題（方程）求解的方法分離變量法特殊函數(shù)邊界與初始泛定方程與定解條件數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)物理方程偏微分方程理論偏微分方程理論新課題、新方法自然現(xiàn)象實(shí)際問題歷史悠久對(duì)象、內(nèi)容、方法純粹數(shù)學(xué)泛函分析復(fù)變函數(shù)微分幾何計(jì)算數(shù)學(xué)多樣復(fù)雜解決問題的工具純粹數(shù)學(xué)、分支自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)數(shù)學(xué)物理方程分支課程概覽二、熱傳導(dǎo)方程（拋物型）三、調(diào)和方程（橢圓型）四、二階方程的分類總結(jié)五、一階偏微分方程組七、偏微分方程的數(shù)值解一、波動(dòng)方程（雙曲型）1.方程導(dǎo)出、定解條件2.初值問題求解3.初邊值問題求解第一章波動(dòng)方程物理背景：波的傳播和彈性體振動(dòng)?！?-1一維波動(dòng)方程的導(dǎo)出、定解條件首先，考察下面的物理問題：

給定一根兩端固定的拉緊的均勻柔軟的弦線，設(shè)其長(zhǎng)度為l，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動(dòng)，求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?；炯僭O(shè)：1.弦是均勻的，弦的截面直徑與長(zhǎng)度相比可以忽略。弦可以視為一條曲線，線密度為常數(shù)。2.弦在某平面內(nèi)作微小橫振動(dòng)。弦的位置始終在一直線段附近，弦上各點(diǎn)在同一平面內(nèi)垂直于該直線的方向上作微小振動(dòng)?；疽?guī)律：牛頓第二定律F=m*a沖量定理F?t=m*(v1-v2)3.

弦是柔軟的，它在形變時(shí)不抵抗彎曲。弦上各質(zhì)點(diǎn)的張力方向與弦的切線方向一致，而弦的伸長(zhǎng)變形與張力的關(guān)系服從虎克定律。F?t=m*a*?t用u(x,t)表示弦點(diǎn)在時(shí)刻t沿垂直于x軸的位移。由基本假設(shè)2可知，與1相比可以忽略不計(jì)，所以因此，可以認(rèn)為弦在振動(dòng)過程中并未伸長(zhǎng)，即可認(rèn)為張力大小與時(shí)間無關(guān)

T(x,t)T(x)（2）由于弦只在x軸的垂直方向作橫振動(dòng)，所以水平方向的合力為零，即由基本假設(shè)2可知，，所以因此，弦的張力大小與空間變量x無關(guān)，可以把弦線的張力T(x)在x軸方向的分量看成常數(shù)Ｔ。（1）任取一弦段(x,x+Δx)，它的弧長(zhǎng)為

（3）對(duì)于圖中選取的弦段而言，張力在x軸垂直方向上的合力為：在時(shí)間段(t,t+Δt)內(nèi)該合力產(chǎn)生的沖量為：（4）另一方面，在時(shí)間段(t,t+Δt)內(nèi)弦段(x,x+Δx)的動(dòng)量變化為：（5）因此，根據(jù)沖量定理，得到：從而有進(jìn)一步由Δt，Δx的任意性，有假定有垂直于x軸方向的外力存在，并設(shè)其線密度為F(x,t)，則弦段(x,x+Δx)上的外力為：它在時(shí)間段(t,t+Δt)內(nèi)的沖量為：于是有：進(jìn)一步由Δt，Δx的任意性，有下面的弦振動(dòng)方程（一維波動(dòng)方程）：二維波動(dòng)方程（如薄膜振動(dòng)）三維波動(dòng)方程（如電磁波、聲波的傳播）弦振動(dòng)方程描述的是弦作微小橫振動(dòng)時(shí)的位移函數(shù)u(x,t)所應(yīng)滿足的一般性規(guī)律。僅僅利用它并不能完全確定一條弦的具體運(yùn)動(dòng)狀況。這是因?yàn)橄业倪\(yùn)動(dòng)還與其初始狀態(tài)以及邊界所處的狀況有關(guān)系。在前面的推導(dǎo)中，弦的兩端被固定在x=0和x=l兩點(diǎn)，即

u(0,t)=0，

u(l,t)=0，這兩個(gè)等式稱為邊界條件。此外，設(shè)弦在初始時(shí)刻t=0時(shí)的位置和速度為這兩個(gè)等式稱為初始條件。邊界條件和初始條件總稱為定解條件。把微分方程和定解條件結(jié)合起來，就得到了與實(shí)際問題相對(duì)應(yīng)的定解問題。2.定解條件對(duì)于弦振動(dòng)方程而言，與上述定解條件結(jié)合后，其定解問題可以描述為：要在區(qū)域上（見右上圖）求上述定解問題的解，就是要求這樣的連續(xù)函數(shù)u(x,t)

，它在區(qū)域0<x<l,t>0中滿足波動(dòng)方程(1.19)；在x軸上的區(qū)間[0,l]上滿足初始條件(1.20)；并在邊界x=0和x=l上滿足邊界條件(1.21)和(1.22)。一般稱形如(1.21)和(1.22)的邊界條件為第一類邊界條件，也叫狄利克雷（Dirichlet）邊界條件。弦振尋動(dòng)方蝴程的英邊界美條件符通常戰(zhàn)還可貪以有武以下莊兩種路：（a）設(shè)檢弦的險(xiǎn)一端理（x=疏0）處例于自清由狀啦態(tài)，凝即可免以在腦垂直將于x軸的握直線厘上自賠由滑等動(dòng)，濕且未筋受到礦垂直壯方向枝的外斑力。餃由于壯在邊備界右笛端的冶張力氏的垂鐮直方押向分伏量是于是殖邊界把處應(yīng)珍有考慮零更一垮般的汁情況劍，上墻述邊待界條貿(mào)件可顯以寫殼為（b）弦宣的一強(qiáng)端（x=孩l）處忍于固書定在霸伸縮縮慧符合于胡克堂定律向的彈幸性支期承上莊，如錫果支拜承的判初始獲位置綁為（u=態(tài)0），侵那么哲在端直點(diǎn)的u值表絕示支姜承的趕伸長(zhǎng)潛量，涌于是這種紅邊界拉條件騎稱為第二宴類邊孟界條允件，又捐稱諾依毅曼（Ne建um煎an托n）邊誓界條逐件數(shù)學(xué)街上，卡可以葡考慮雕更一桑般的抬情況慕，上斷述邊趟界條逃件寫賭為（第三臉類邊色界條梁件）偏微田分方矩程的灘分類分類釣依據(jù)：階數(shù)、線性蜻性質(zhì)、齊次恢性。階：偏失微分觀方程符所含削有的凡未知夕函數(shù)為最高唉階導(dǎo)鈔數(shù)的減階數(shù)線性據(jù)方程：方君程對(duì)泰于未階知函挪數(shù)及篩其各緩階導(dǎo)鼓數(shù)總把體來禿說是怒線性五的。方程維（1）,（2）,（3）擬線懸性方斧程：方侮程對(duì)摧未知脊函數(shù)溫的最旬高階吹導(dǎo)數(shù)仗總體偵來說繁是線雀性的象。方程忽（4）,（5）完全豆非線膚性方佳程：方柱程對(duì)狐未知弊函數(shù)遺的最疫高階剃導(dǎo)數(shù)艘不是爆線性啄的。方程矛（6）齊次齊性：以芹方程畢（1）為蹈例，切函數(shù)f運(yùn)(x偶,y方,z芹,t造)與未庫知函數(shù)無紡關(guān)（碌自由海項(xiàng)）背，若宇該項(xiàng)應(yīng)恒為長(zhǎng)零，收則該方程率為齊愛次方冒程。陵反之泳，為份非齊也次方茂程。邊界朱條件料和初捐始條曬件也菊有齊甚次和浙非齊班次之差分。3.定解煩問題烏適定煉性概詠念解的存在咱性：定賣解問弟題的酷解是播否一凳定存斧在？解的唯一槳性：定素解問杰題的淋解是改否只逗有一暗個(gè)？解的穩(wěn)定踩性：當(dāng)課定解兔條件撈或自垮由項(xiàng)剩作很克小的羽變化至?xí)r，發(fā)問題眉的解拘是否形也作轎很小策的變吉化？定解別問題脅的存激在性隙、唯隔一性掩和穩(wěn)素定性蜻統(tǒng)稱六為定憤解問護(hù)題的適定乎性。如苗果一皂個(gè)定閑解問篇題的抽解是浙存在泄的，藍(lán)唯一冤的，甲而且秤是穩(wěn)編定的描，我爛們就逝稱這腳個(gè)問獸題是我適定妨的，飾即認(rèn)自為這添樣的穴定解通問題粥的提捎法是刺合適顯的。除了貨研究于定解妨問題注的適尿定性暈外，嫂數(shù)理肯方程偏中還茂經(jīng)常蹲研究塞的問滔題包燃括：檢解的鏡正則炸性（瞞光滑餡性）販、解鍋的漸怠近性普（包拆括衰活減性母）和疫定解散問題乓的求條解方臣法（擱精確巾解、拐漸近抽解、則數(shù)值完解）炕等。定解肉問題尼的提惱法是里否合皇適？§1叨-2達(dá)朗歷貝爾假（d’出Al呼em或be仰rt）公屈式、去波的燈傳播1.疊加撓原理從本爸節(jié)開朽始我的們討層論弦瞎振動(dòng)劃方程秀的各材類定胖解問耳題。畢先介未紹疊說加原炊理。在物汪理學(xué)墾研究哲中經(jīng)賊常出賊現(xiàn)這煉樣的孤現(xiàn)象局：幾案種不跳同原豪因的需綜合戚所產(chǎn)纏生的熟效果怒等于舒這些池不同秋原因校單獨(dú)似（假喚設(shè)其玩他原宋因不耳存在孔）產(chǎn)摘生的些效果揪的累炮加。卵這就隙是疊盒加原中理。狡它對(duì)扁于用線性祝方程和線性闊定解綱條件描述偽的物闊理現(xiàn)廣象來鋒說，泛都是脹成立諒的。例如幣：若u1(x快,裙t)是方午程的解迎，而u2(x垮,繁t)是方摧程的解灰，則押對(duì)于質(zhì)任意冰的常灶數(shù)C1、C2，函精數(shù)是方明程的解部。典型哨例子裳：聲口學(xué)中封把弦爐線振糟動(dòng)時(shí)票所發(fā)旺出的意復(fù)雜弦的聲落音分非解成蒸各種飾單音雷的疊講加。2.弦振游動(dòng)方財(cái)程的也達(dá)朗荒貝爾刑解法為了羽考察阿波動(dòng)鍋方程解的定弓解問需題，常先從摔最簡(jiǎn)的單的巡壽情形中入手椒，即松首先殼考察驕邊界損的影路響可般以忽廉略不洪計(jì)的社情況進(jìn)。如停果所僑考察練的物易體（轟弦線播）長(zhǎng)沿度很綿長(zhǎng)，盡而我桂們所追關(guān)注債的又宵只是護(hù)在較短哨時(shí)間夠內(nèi)且距離斃邊界新較遠(yuǎn)的一士段范趙圍中劃的運(yùn)南動(dòng)情暖況，砌那么銷邊界淘條件晃的影躬響就森可以磨忽略匙，并揀不妨磚把所鼻考察鴨的物度體的羨長(zhǎng)度男視為辯無限貸長(zhǎng)。這這樣廉的情票況下撤，定躬解問應(yīng)題歸泥結(jié)為相如下押形式裝：在這狠個(gè)定憂解問秀題中紡，定砌解條么件只手有初尺始條從件，劑故通念常稱廢為初值泄問題(也稱柯西匙（Ca震uc壩hy）問枝題）。以相應(yīng)販地，挖前一醬節(jié)中互的定芹解問拍題(1主.1乞9)銀~們(1顆.2深2)由于失既有坑初始共條件脖，又痰有邊肯界條驕件，終故稱贊為初邊矮值問稈題或混合蝦問題。方程(2忠.5記)中的未自由澡項(xiàng)f(壺x,突t)是由件于外熱力作只用產(chǎn)江生的殼，因搭此方叮程(2曾.5裳)中f(鋸x,套t)恒為鋸零的情盜況對(duì)檢應(yīng)于湊自由攻振動(dòng)速；f(先x,標(biāo)t)不為鑒零的情偽況對(duì)富應(yīng)于呢強(qiáng)迫捐振動(dòng)匙。下面密，我服們求醋解上線述初儉值問斬題。絡(luò)首先嘆注意奔到微推分方煌程及突定解嚷條件椅都是西線性石的。京對(duì)于斗這種麗定解鐮問題買，同尖樣存蓮在疊使加原熱理，徹即若u1(x訪,久t)和u2(x源,交t)分別翠是下坐述初命值問奔題和的解攀，那酸么u=案u1(x尸,焦t)+u2(x減,懼t)就一曾定是凝原初立值問坑題(2直.5雅)、(2陜.6失)的解授。這往樣求獨(dú)解初值誕問題(2蹦.5擋)、(2珠.6攔)就轉(zhuǎn)貢化為斧分別換求解流齊次升方程疾帶非疾齊次淋邊界莖條件嚴(yán)的初秀值問遮題(I)和非鋼齊次搖方程堅(jiān)帶齊附次初周始條多件的熔初值是問題(II)單獨(dú)務(wù)初始閉振動(dòng)談狀態(tài)仿對(duì)振賣動(dòng)過瀉程的園影響懼。單獨(dú)恒考慮開外力傅因素繡對(duì)振書動(dòng)過捎程的王影響環(huán)。首先茄，考延察初剖值問掩題(I)，它逆可以俗通過自變腦量變陶換的方唯法求平解。引入掉新自盜變量透：ξ=施x-析at，η=舍x+蝴at，有類似和地，代回估原來恢的自受變量撫，得宇通解梳為u(鋒x,宋t)勺=F天(x喉-a如t)+G(紗x+公at販)（2.藥14）從而扭，得汽到其通委解為u(ξ,期η)=F(ξ)+G(η)，其纖中，F(xiàn)和G是任蛇意可退微分侵的單湯變量巡壽函數(shù)堵。利用漁這個(gè)買通解打表達(dá)涼式，析就可豬以利箏用初黨始條英件(2綠.8址)來決艘定函干數(shù)F和G，進(jìn)笛而求遲出初始值問殿題(I)的解吹。把印上述離通解渠表達(dá)家式代精入初始鴨條件(2瓶.8嘗)，得激到：(2蜜.1酸6)式是邪一個(gè)屋簡(jiǎn)單士的常濫微分譽(yù)方程務(wù)，求講解它扒得到由(2具.1惰5)和(2箏.1意7)式聯(lián)摩立求象解可來以得欠出函停數(shù)F和G把它聞們代摩入方昏程(2經(jīng).7律)的通解但表達(dá)英式(2姻.1弓4)就得牽到了初值么問題(I)的解這個(gè)青公式(2璃.1叛9)稱為藝達(dá)朗偉貝爾熊公式截。從朋以上寇推導(dǎo)薯過程天可以留看出死：如初果初套值問絞題(I)有解軟，則抹解一往定可陳以根派據(jù)初納始條埋件由達(dá)朗罷貝爾刺公式矩表達(dá)怕出來宋，因脆此該棉問題妙的解壓是唯一的。同時(shí)滾，若禾函數(shù)φ(晃x)在求椅解區(qū)多域內(nèi)鋼具有哄二階今連續(xù)而偏導(dǎo)載數(shù)，ψ(滑x)在求綠解區(qū)扣域內(nèi)答具有牢一階攪連續(xù)蝴偏導(dǎo)踩數(shù)，籮那么棒可以裳驗(yàn)證箭公式(2碧.1琴9)給出屈的的勸確是廁初值徒問題(I)的解左。存在柜性另外套，初值掠問題(I)的解旁關(guān)于蠻初始哈條件侮的連損續(xù)依藥賴性善也可分以很浸容易件地從達(dá)朗德貝爾碼公式境中看排出。穩(wěn)定傷性定理2.世1設(shè)，那腰么初蹈值問刺題(2皮.7日),依(2旁.8撥)存在湖唯一犯的解u(x,t)，它科由達(dá)貞朗貝平爾公遮式(2脆.1撓9)給出掌。如右槳圖所適示，沾在t=先0時(shí)，?(轟x,凍0)圣=F蝴(x迷)，它映對(duì)應(yīng)終于初舅始振廊動(dòng)狀倘態(tài)（容弦在旅初始羞時(shí)刻膝各點(diǎn)葛位移脂狀態(tài)蘇）。驢經(jīng)過輔時(shí)刻t0后，?(坊x,啦t0)=者F(據(jù)x-丹at0)，在(x園,u折)平面研上協(xié)，它干相當(dāng)鄉(xiāng)豐于原維來的不圖形墳向右挺平移崇了一霜段距妄離at0。這豬說明抖振動(dòng)跪的波泛形以沖常速縣度a向右佛傳播寧。因既此，梢齊次貫波動(dòng)憶方程樹的形斤如F(魚x-舊at裝)的解昆所描超述的踏運(yùn)動(dòng)援規(guī)律竟稱為右傳室播波，同愁樣形愚如G(激x+甘at含)的解團(tuán)稱為左傳鍛播波。并鍵且，央我們混知道已了方睜程(2句.5蒸)中的俘常數(shù)a實(shí)際初上表供示了賣波動(dòng)帽的傳播宣速度。（淋行波賭法）3.傳播沉波由前漿文中美推導(dǎo)箏可見爹，自幣由振劃動(dòng)情怎況下擺的波序動(dòng)方尾程的解妹可以撲表示區(qū)為形濾如F(課x-姨at紙)和G(戒x+危at忘)的兩所個(gè)函舟數(shù)的拾和。有由此嗓可以籮特別紐奉清楚證地看穴出波艱動(dòng)傳篇播的勻性質(zhì)殖?？疾?(挺x,挪t)誘=F刺(x曠-a老t)秒(練a>扒0)，顯躬然它晉是齊悶次波覽動(dòng)方渴程的稱解。觸給出有不同虧的t值就朵可以司看出攜作一楚維振衣動(dòng)的麥物體蠟在各婚個(gè)時(shí)稿刻的酒相應(yīng)浸位置筋。自己贏思考黎、討腰論4.依賴省區(qū)間耍、決幕定區(qū)油域和捧影響懸區(qū)域從達(dá)誘朗貝小爾公擇式立她即可欲以看喉出，臨初值次問題(I)的解洞在上形半平震面(t>魯0)上點(diǎn)(x,蓋t)處的亂值u(杰x,謀t)由初撥始資轎料φ(種x)和ψ(神x)在x軸的區(qū)間[x-鋤at，x+奸at]上的辣值所旁唯一刑確定,而與φ(腹x)和ψ(塔x)在該助區(qū)間求以外鳴的值朋無關(guān)富。這監(jiān)個(gè)區(qū)插間稱蹄為點(diǎn)(x,伯t)的依賴般區(qū)間。對(duì)初割始軸t=氣0上的巡壽一個(gè)葡區(qū)間[x1西,x鍵2]，過叮點(diǎn)x1作斜誰率為1/a的直波線x=讀x1+at，過尋點(diǎn)x2作斜狡率為-1套/a的直鍬線x=歐x2籃-a嶄t，它顛們和斥區(qū)間[x1械,x柱2]一起懼構(gòu)成戚一個(gè)雕三角圖形區(qū)伯域。直顯然迫，這揀個(gè)三宜角形澇區(qū)域逢內(nèi)任徐意一范點(diǎn)的討依賴樓區(qū)間孩都在躬區(qū)間[x1碗,x珠2]內(nèi)部頂，因栗此，侄解在媽此三鍛角形材區(qū)域積內(nèi)部封的數(shù)遙值完冒全由霧區(qū)間[x1倚,x堪2]上的解初始脆條件方?jīng)Q定脖，與姿該區(qū)扇間外西的初結(jié)始條蕉件無窩關(guān)。潤這個(gè)堪三角暴形區(qū)掉域稱漏為區(qū)脈間[x1答,x那2]的決定年區(qū)域。另一午方面蜂，如懼果在橋初始宜時(shí)刻t=緩0，初湯始資宿料φ(繞x)和ψ(扇x)的值火在區(qū)秘間[x1,x2]上有嘩變動(dòng)(初始沖擾動(dòng))。那血么，端經(jīng)過譜時(shí)間t后該腦擾動(dòng)立所影劫響到擺的范倆圍就奏由不零等式所限臣定，佩而在育此范因圍外岡的區(qū)梅域則融感受確不到想?yún)^(qū)間[x1,x2]上初顯始影浪響。愉在(x,滑t)平面材上，勁上式冬所表即示的岡區(qū)域(如下駁圖所友示)稱為設(shè)區(qū)間[x1,x2]的影劍響區(qū)教域。綠區(qū)間[x1,x2]上的住初始惱條件員只能炎對(duì)上矮述區(qū)訪間的她影響狼區(qū)域過中初產(chǎn)值問啦題(I)的解u(痛x,效t)產(chǎn)生書影響劉，而離不會(huì)死影響例到此味區(qū)域暈外的u(策x,設(shè)t)的數(shù)同值。言特別內(nèi)地，攏如果省區(qū)間[x1,x2]收縮頸為一不點(diǎn)，促那么勿就得激到了啦點(diǎn)的影響雕區(qū)域。在前挽面的職討論膊中，誤我們終看到弟在(x,僑t)平面鞭上斜交率為1/a的直弱線x=中x0-a乘t和x=旁x0+a瀉t對(duì)波姻動(dòng)方鬧程的史研究壟起著紀(jì)重要雨作用剝，它證們稱盜為波侵動(dòng)方骨程的特征隨線。我案?jìng)兛次涞?，繪擾動(dòng)難實(shí)際竭上沿護(hù)特征銜線傳武播。機(jī)擾動(dòng)至以有左限速灰率傳援播，拐是弦靈振動(dòng)市方程柴的一淘個(gè)重塊要特繭點(diǎn)。例題：利曠用行膨波法近來討昨論一彈端固淹定的佳半無智界弦林的自椅由振干動(dòng)問亂題為了饞求解稼此問嗓題，洗我們剖可以喬設(shè)想浙在x=余0的左壓側(cè)仍敞然有勒弦存昂在,只是蹈在振頌動(dòng)過缸程中x=揚(yáng)0點(diǎn)始儀終不市動(dòng)。筒問題得于是湊轉(zhuǎn)化逼為：島如何節(jié)將x>0上已之知的須初始竄函數(shù)戲延拓徒為整帝個(gè)直近線-∞<x濫<+∞上的滾函數(shù)場(chǎng)，并鼠使得駁用延盟拓后幟的函斧數(shù)作譜初值剃的柯顛西問幸題的遭解在x=膛0點(diǎn)恒綿為零屯。記Φ(拴x)及Ψ(松x)是由φ(x眉)和ψ(喇x)分別幫延拓蒼而得達(dá)到的寄函數(shù)償。由南達(dá)朗慮貝爾叨公式母，以Φ(澆x)及Ψ(江x)為初揭值的鴨柯西盈問題轟的解畜為要使U(下x,懂t)在x=透0點(diǎn)恒梨為零岔，就莊應(yīng)當(dāng)化成立為此蠢只需騎要將φ(扯x)和ψ(周x)分別榮作奇休延拓窯就可演以滿芒足上杯式，奮也就拿是說獄，令于是犧將上鉆面定按義的Φ(粗x)及Ψ(敲x)的表盛達(dá)式熟代入(2哀.2旁5)式即散得到處問題恰的解(2孟.2隨6)(2便.2描7)(2茂.2饑8)5.齊次黎化原姑理現(xiàn)在閉我們搜考察參強(qiáng)迫暫振動(dòng)籍情形致的初骨值問點(diǎn)題為了蒙求解蔽此問克題，祝我們冶可以父利用央下述侍的齊乏次化遮原理劑，把憲非齊凝次方掩程的昌求解瘋問題薦轉(zhuǎn)化蹄為相疼應(yīng)的改齊次票方程銷的問齡題來箏解決盼，這界樣就抄可以嗽直接波利用珠前面腫關(guān)于婦齊次肺方程季的結(jié)死果。由弦島振動(dòng)飄方程放的推關(guān)導(dǎo)過陜程來迫看，泰自由返項(xiàng)f(仇x,摘t)腸=巧F(盤x,宵t)孩/ρ表示避時(shí)刻t時(shí)在x處單嚴(yán)位質(zhì)膛量受植到的薦外力準(zhǔn)，而?u/來?t表示之速度券。如聯(lián)果我皺們把拐一個(gè)盾時(shí)間解段[0,蝦t]劃分煉成若輪干小榆的時(shí)眉段?tj=tj+臭1-tj(j息=1鐮,2設(shè),…,l色)，在憲每一捎個(gè)小在的時(shí)米段?tj中，f(槍x,敲t)可以飄看作本與時(shí)親間無掉關(guān)，均從而圾以f(子x,扁tj)來表差示。堂于是瞇在時(shí)策段?tj中自礙由項(xiàng)垮所產(chǎn)澆生的衛(wèi)速度麥改變廳量為f(嚇x,撿tj)?tj。如果且把這捐個(gè)速棚度改罷變量統(tǒng)看作菊在時(shí)脊刻t=tj時(shí)的畏初始繩速度互，它朱所產(chǎn)政生的辮振動(dòng)群可以恭由下侍面的乖齊次鼠方程任的初忌值問鉤題描昆述：將其再解記渴為?(x,胃t;周tj,?tj)，按評(píng)照疊押加原般理，自由慶項(xiàng)f(摸x,喜t)所產(chǎn)分生的走效果撫可以仁看成那無數(shù)芹個(gè)這媽種瞬淘時(shí)作炸用的綿疊加表，這吸樣定雁解問號(hào)題(II)的解u(真x,爬t)應(yīng)表餓示為由于(2罰.3按1)為線閑性方菠程，籮所以?(x,巧t;雷tj,?tj)與?tj成正卡比，污即如勻果記W(x,擁t;鴿τ)為如猶下齊萍次方劇程的冬定解上問題蒙的解那么誼有?(x,饑t;撇tj,?tj)=待?tjW(x,紛t;撞tj)成立擔(dān)。于苗是定缺解問配題(II)的解混可以偶表示斜為(2席.3鉤2)于是仔我們鞋可以棋得到眠如下登的齊次枕化原蝕理：若W(x,擔(dān)t;困τ)是初罰值問希題(2慌.3貍3)的解(其中τ是參顛數(shù))，則來初值碗問題(II)的解寸可以拒表示勿為為了怠寫出W(x,寄t;劍τ)的具解體表役達(dá)式捏，在視初值虛問題(2使.3葬3)中作什變換t’嚇=t遍-τ,于是有利用達(dá)朗釣貝爾瓶公式夠求出炒上述傷初值權(quán)問題(I)的解羨為(2速.3甘4)(2隆.3像6)再代僚入(2當(dāng).3即4)式就南得到胡初值哭問題(II)的解區(qū)域G為(ξ,翠τ)平面悟上過拔點(diǎn)(x,股t)向下充作兩妙特征聾線與ξ軸所家夾的胡三角掃形區(qū)店域，執(zhí)見右槍圖。上面含我們疲通過裝對(duì)物翁理模叮型的淺分析腦，應(yīng)采用疊斗加原媽理，肢得出聰了定聾解問題(II)的解潮的表卷達(dá)式封。它滑究竟滋是否錘確實(shí)寶為定血解問饑題(II)的解嬌，還疑需要罪按照蚊解的寨定義獸進(jìn)行槍數(shù)學(xué)癢上的宅驗(yàn)證憲。§1虜-3初邊溉值問驚題的尼分離曾變量肅法本節(jié)色進(jìn)一本步考蔬察波喬動(dòng)方北程的派初邊征值問狹題，允并介罪紹一抽種常球用的田解法—分離毀變量柴法。中首先即考察僅波動(dòng)嚷方程賴的初父邊值挪問題心：利用拘疊加劣原理恐，上悠述初掙邊值艱問題遞可以流分解持為下好面兩報(bào)個(gè)初塊邊值侵問題體：對(duì)于旁問題(Ⅰ絨)我們簡(jiǎn)設(shè)想但先求酷出足省夠多騎的變午量分?jǐn)[離形療式的籠非平逼凡(即不海恒為景零)的特馬解u(擺x,稱t)賄=X艘(x習(xí))T拖(t極)，然貝后把蔥這些堤特解陷疊加還得到飲問題筑的最渠終解以下?lián)Q我們案詳細(xì)分介紹允如何有運(yùn)用曠這一淡思想儉求解綱初邊件值問濕題：1.分離趁變量掀法與上沿一節(jié)讀中一渡樣，訴關(guān)鍵嬌是求蜂解問遙題(Ⅰ野)，因及為問藏題(Ⅱ漂)可以準(zhǔn)運(yùn)用墨齊次禮化原征理歸咽結(jié)為問題(Ⅰ吩)的求堪解。問題(Ⅰ脅)描述舅了兩伶端固撫定的感弦作女自由華振動(dòng)搬的物死理過會(huì)程?？蠌奈锖晾韺W(xué)芳中我糊們知揚(yáng)道：鑄弦振忠動(dòng)發(fā)絡(luò)出的但聲音雜可以窗分解鋸為各暈種不胞同頻射率的境單音騙的疊池加，犁對(duì)于裁每種宏單音顏，振醒動(dòng)時(shí)蚊波形著均為昌正弦兆曲線菠，其甘振幅掌依賴疾于時(shí)卡間t，即對(duì)每個(gè)翁單音請(qǐng)可以遮表示弦成矛的費(fèi)形式寇。這邪種形觀式的府特點(diǎn)騾是：u(轟x,顧t)中變陷量x和t被分旨離出蘇來了旦。(3扣.5輩)(3管.6扒)將u(究x,壇t)四=X狹(x疫)T明(t念)帶入抬方程(3蔽.4郊)，得冊(cè)到：將上欠式分薯離變舉量，盤有：在(3僵.8啟)式中熊，左搞邊僅衰是t的函祖數(shù)，匹右邊房誠僅是x的函慰數(shù)，弦左右貸兩端再要相記等，粗只有搬等于煉同一潤個(gè)常共數(shù)才蠟可能襖。記能這個(gè)瘋常數(shù)飲為-λ(其值桌待定)，就亮得到否：這樣確方程(3登.8罷)就被務(wù)分離劃為兩暈個(gè)常慢微分爭(zhēng)方程侍，可等以通缸過求礙解這狗兩個(gè)允方程膜來決纏定X(撈x)和T(瘡t)，從狠而得枯到方沾程(3廢.4鈴)的特蒸解X(白x)純T(質(zhì)t)。為忘了使懼此解政是滿哥足齊脖次邊經(jīng)界條墨件的猜非平壘凡解約，就疊必須露找出沃方程(3灶.1苗0)的滿暫足邊闖界條也件X(冤0)罰=0，X(艦l)冤=0的非樓平凡課解。拼由常遷微分每方程汗理論堡可知蝴，方饅程(3漂.1親0)的通羞解隨λ>縫0,虧λ悟=0以及λ<乏0而不尖同，木下面獄分以傾上三醬種情贈(zèng)況討米論。情況A當(dāng)λ<型0時(shí)，勝方程(3石.1效0)的通閑解為要使然它滿身足邊恨界條藝件X(病0)翠=0和X(嘆l)傾=0，就徹必有從而退推知C1=C2=0。故阿在λ<努0的情昏況下兵不可設(shè)能得殲到非付平凡競(jìng)解。(齊次脊線性濤代數(shù)筋方程稠組系川數(shù)行盼列式蛇不為驗(yàn)零)情況B當(dāng)λ=幅0時(shí)，棒方程(3蜜.1放0)的通形解為要使懲它滿緩足邊概界條裁件X(萬0)裝=0和X(他l)消=0，X(柄x)也必恒為手零。情況C當(dāng)λ>令0時(shí)，接方程(3幻玉.1支0)的通罰解為要使蚊此解鑰滿足控邊界呼條件X(敏0)扯=0，則C1=0。再仗由X(亂l)窩=0，可吸知為了病使C2≠0，就嗚必須羊有,于是忙可以錢確定λ的取研值為這樣惹就找惰到了護(hù)一族義非零橋解：數(shù)學(xué)吉上，組稱(3罩.1昆3)右端模的函幫數(shù)為額常微信分方列程(3緊.1解0)滿足壘邊界博條件X(唯0)防=0和X(禍l)走=0的固有假函數(shù)（或特征波函數(shù)），矩而λ=察k2π2/l2稱為饅相應(yīng)罵的固有攪值或特征宜值。將固網(wǎng)有值λk帶入方程(3馳.9掙)中，可誼求得數(shù)其通噸解為上式中Ak，Bk為任鉆意待敞定常璃數(shù)。這趙樣我瞇們就飄得到屈了方茅程(3記.4股)滿足童邊界僵條件u(先0,恨t)米=0和u(紫l,塊t)宵=0的分痕離變你量形竟式的散特解:現(xiàn)在殼我們叨設(shè)法膜作出跟這種球特解鍵的適敞當(dāng)?shù)臐B線性兄組合客，以儀得出皺初邊兩值問愿題(Ⅰ幟)的解弄。也模就是竊說，跡要確說定出輩常數(shù)Ak和Bk使?jié)M足園初始飽條件(3驅(qū).1婦4)在(3愧.1婦5)式中放的級(jí)卷數(shù)可仗以逐連項(xiàng)求席導(dǎo)時(shí)霸，我乓們得盡到：結(jié)合薯初始做條件鋤，應(yīng)起有將由(3念.1采6)式表堂示的Ak，Bk代入(3擦.1網(wǎng)5)式中雨，就質(zhì)得到了用繩級(jí)數(shù)座形式妥表示秋的初墾邊值稿問題(Ⅰ羊)的解漢。觀察橡發(fā)現(xiàn)Ak和Bkkπ騰a/莫l分別擔(dān)是φ(脈x)和ψ(狀x)在區(qū)區(qū)間[0,剪l]上正雖弦展似開的道傅立過葉級(jí)砌數(shù)的筋系數(shù)距，即前面陵的推笑導(dǎo)說窄明了機(jī)初邊聯(lián)值問裳題(Ⅰ算)如果行有解鵝，那盈么它的解饒可以蛛表示掘?yàn)?3蝦.1陣5)式的省級(jí)數(shù)碑形式授，現(xiàn)箱在的熟問題釣是：譯什么景條件危下，初邊潑值問詢題(Ⅰ丈)的解潮一定最存在罰？定理3.皺1：若函涌數(shù)φ(哪x)在求叮解區(qū)泰域內(nèi)鎖具有急三階廊連續(xù)炭偏導(dǎo)窗數(shù)，ψ(數(shù)x)在求溫解區(qū)殖域內(nèi)錢具有蜂二階受連續(xù)鄰偏導(dǎo)艱數(shù)，懼并且則弦海振動(dòng)蓋方程釣的初硬邊值退問題(Ⅰ敗)的解烘是存暫在的酸，它曾可以輔由級(jí)浸數(shù)(3致.1旁5)給出懼，Ak和Bk由(3凡.1玻6)式確褲定。較通常抓我們盟稱(3滅.1滑7)式為相容鵝性條揉件。如果φ(說x)和ψ(翠x)不滿萄足以爪上定該理的裹條件巨，我滅們可甘以把φ(黎x)和ψ(戀x)看成扯函數(shù)粥列的平逼均收寺斂極爐限，叨當(dāng)n很大其時(shí)，諸因?yàn)樗练匠虥Q和邊膜界條拔件都次已滿助足，持初始創(chuàng)條件監(jiān)也近固似得賊到了督滿足肉，由默此可向以把un(x滴,t罰)看成富問題饑的近棟似解。2.解的診物理滲意義由級(jí)烏數(shù)(3賊.1堡5)可知類，初刃邊值堵問題(Ⅰ既)的解賀是的疊辨加，笑上式喇又可真以寫倍成物理達(dá)上，Nk稱為善波的振幅，θk稱為撓波的初相喚位，ωk稱為圓頻弊率，它抵只與座弦本狼身的葉性質(zhì)轎有關(guān)寒，因織此也恐稱為固有媽頻率。于是(3壓.1豪9)代表柿這樣預(yù)的振脂動(dòng)波湯：在老所考飄慮的克弦上嶄各點(diǎn)嗎均以淺同一伶頻率士作簡(jiǎn)墳諧振括動(dòng)；救它們巨的相草位相筍同，纖而振蜜幅依背賴于探點(diǎn)x的位籌置。插弦上紅位于x＝ml數(shù)/k（m＝0，1，…，k）處的年點(diǎn)在采振動(dòng)扭過程問中保次持不仙動(dòng)，禽稱為節(jié)點(diǎn)。弦川的這益種振哈動(dòng)狀賓態(tài)叫尤做駐波。