有限元方法基本思路

計算流體力學(xué)有限元及其編程●北京化工大學(xué)Section1.有限元方法基本思路:Part1●目錄（1/8）

有限元方法基本思路1.1一維一次常微分方程的有限元數(shù)值求解1.1.1方程及精確解1.1.2有限元方法求解1.2一維二次常微分方程的有限元數(shù)值求解1.2.1方程及精確解

1.2.2有限元方法求解（1/8）

有限元方法基本思路1.1.1方程及精確解求解微分方程：

，0≤x≤1 （1.1）微分方程的邊界條件主要分為兩類：（1）第一類邊界條件，又稱為本質(zhì)邊界條件，即已知邊界處場量的數(shù)值，如式（1.2）所示；

邊界條件：x=0時，u=0

（1.2）●1.1一維一次常微分方程的有限元數(shù)值求解（1/8）

有限元方法基本思路1.1.1方程及精確解（2）第二類邊界條件，又稱自然邊界條件，即已知邊界處場量導(dǎo)數(shù)的數(shù)值，如x=0時, 。帶有第二類邊界條件微分方程的求解，將在本章第二節(jié)中介紹。式（1.1）和（1.2）構(gòu)成的微分方程的精確解為：

du/dx-1=0,0≤x≤1

x=0時，u=0 u=x

（1.3）稍后會對比有限元方法計算得到的數(shù)值解與該精確解的差別?！?.1一維一次常微分方程的有限元數(shù)值求解（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）計算區(qū)域的離散①單元類型的選擇

在進(jìn)行有限元計算之前，需要將計算區(qū)域進(jìn)行離散化，也就是通常所說的網(wǎng)格劃分。

du/dx-1=0研究的是一維問題，使用一維線性單元對計算區(qū)域進(jìn)行等距離散。離散結(jié)果如圖1-1所示。圖中n為結(jié)點(diǎn)序號，e為單元序號，共有N個結(jié)點(diǎn)、E個單元，且N=E+1?！?.1一維一次常微分方程的有限元數(shù)值求解圖1-1一維線性單元離散結(jié)果（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）計算區(qū)域的離散②結(jié)點(diǎn)序號

結(jié)點(diǎn)序號共分為兩類，單元內(nèi)部結(jié)點(diǎn)序號和總結(jié)點(diǎn)序號。

●單元內(nèi)部結(jié)點(diǎn)序號就是各個結(jié)點(diǎn)在單元內(nèi)部的序號，與離散時所選單元類型及插值函數(shù)構(gòu)造有關(guān)；

●

總體結(jié)點(diǎn)序號是結(jié)點(diǎn)在整個離散區(qū)域內(nèi)統(tǒng)一排列的結(jié)點(diǎn)序號。同一個結(jié)點(diǎn)可能屬于多個單元，該結(jié)點(diǎn)在不同的單元內(nèi)總結(jié)點(diǎn)序號是唯一的，而內(nèi)部結(jié)點(diǎn)序號可能是不同的。

1—— 2—— 3—— 4—— 5

1—— 2/1——2/1——2/1——2●1.1一維一次常微分方程的有限元數(shù)值求解總體序號（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）計算區(qū)域的離散

③離散數(shù)據(jù)的存儲

選擇單元類型后，便可以建立離散數(shù)據(jù)，供有限元計算使用。離散結(jié)果通常包括以下數(shù)據(jù)：

●單元信息數(shù)據(jù)JM

●

結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)JX

●第一類邊界條件數(shù)據(jù)JB1

●第二類邊界條件數(shù)據(jù)JB2●1.1一維一次常微分方程的有限元數(shù)值求解（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）計算區(qū)域的離散

③離散數(shù)據(jù)的存儲●單元信息數(shù)據(jù)JM

存儲單元所包含的結(jié)點(diǎn)序號。其行數(shù)等于總單元數(shù)，列數(shù)與單元內(nèi)結(jié)點(diǎn)個數(shù)一致。例如，第i行存儲內(nèi)容為第i個單元所包含的所有結(jié)點(diǎn)序號；

以圖1-1所示一維線性單元離散結(jié)果為例：取單元數(shù)E=5、結(jié)點(diǎn)數(shù)N=6?！?.1一維一次常微分方程的有限元數(shù)值求解表1-1JM數(shù)據(jù)表1223344556（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）計算區(qū)域的離散

③離散數(shù)據(jù)的存儲●

結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)JX

存儲結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。其行數(shù)等于總結(jié)點(diǎn)數(shù)，列數(shù)與所研究問題的維數(shù)一致。例如，其第i行存儲內(nèi)容為第i個結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)；

以圖1-1所示一維線性單元離散結(jié)果為例：取單元數(shù)E=5、結(jié)點(diǎn)數(shù)N=6?！?.1一維一次常微分方程的有限元數(shù)值求解表1-2JX數(shù)據(jù)表00.20.40.60.81（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）計算區(qū)域的離散

③離散數(shù)據(jù)的存儲●第一類邊界條件數(shù)據(jù)JB1

存儲第一類邊界條件的相關(guān)數(shù)據(jù)。其行數(shù)等于處于第一類邊界條件的總點(diǎn)數(shù)，列數(shù)與邊界條件的分類及所研究問題維數(shù)有關(guān)。

例如：第一列為處于第一類邊界上的結(jié)點(diǎn)序號，第二列為處于第一類邊界上的結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的邊界值。

以圖1-1所示一維線性單元離散結(jié)果為例：取單元數(shù)E=5、結(jié)點(diǎn)數(shù)N=6?！?.1一維一次常微分方程的有限元數(shù)值求解表1-3JB1數(shù)據(jù)表10（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）計算區(qū)域的離散

③離散數(shù)據(jù)的存儲●第二類邊界條件數(shù)據(jù)JB2

存儲第二類邊界條件的相關(guān)數(shù)據(jù)。其行數(shù)等于處于第二類邊界條件的總單元邊數(shù)，列數(shù)與所研究問題維數(shù)及離散單元類型密切相關(guān)。

應(yīng)包括邊界單元序號，單元內(nèi)邊界邊序號，邊界變法向余弦（二維、三維問題）及邊界上個結(jié)點(diǎn)的邊界值。

本節(jié)不涉及該類邊界條件，相關(guān)內(nèi)容見第1.2節(jié)。●1.1一維一次常微分方程的有限元數(shù)值求解（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（2）插值函數(shù)和權(quán)函數(shù)

網(wǎng)格離散完成后，單元的差值函數(shù)也就隨之確定。對于一維線性單元，插值函數(shù)包括Φ1和Φ2具體表達(dá)式為：

Φ1=1-

ξ

Φ2=

ξ

(1.4)

式中ξ為局部坐標(biāo)，取值范圍ξ

∈[0,1]●1.1一維一次常微分方程的有限元數(shù)值求解（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（2）插值函數(shù)和權(quán)函數(shù)

以第二個單元為例（圖1-2），分析局部坐標(biāo)

ζ

與笛卡爾坐標(biāo)x

的對應(yīng)關(guān)系： (1.5)式中，Δx(e)為單元長度，x1(e)為單元第一結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，x2(e)為單元第二結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。●1.1一維一次常微分方程的有限元數(shù)值求解圖1-2一維線性單元的坐標(biāo)映射（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（2）插值函數(shù)和權(quán)函數(shù)在已知單元結(jié)點(diǎn)處函數(shù)值ui(e)

的前提下，可通過與插值函數(shù)

Φi

的結(jié)合，近似地描述單元內(nèi)部各處的函數(shù)值

u

(e)

，即：,i=1,…..,I

（1.6）

用向量形式表示為：

（1.7）

式中，I

為單元內(nèi)結(jié)點(diǎn)總數(shù)?！?.1一維一次常微分方程的有限元數(shù)值求解（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（2）插值函數(shù)和權(quán)函數(shù)

插值函數(shù)具有兩個特性，簡述如下：

①插值函數(shù)的個數(shù)與單元結(jié)點(diǎn)個數(shù)一致；②單元內(nèi)，插值函數(shù)只在其對應(yīng)結(jié)點(diǎn)局部坐標(biāo)處取值為1，其余結(jié)點(diǎn)處取值為0。

如：

Φ1=1-ξ，Φ2=ξ；

取值范圍ξ∈[0,1]●1.1一維一次常微分方程的有限元數(shù)值求解（1/匯8）有限股元方唯法基田本思載路1.恢1.布2有限艱元方秧法求解（3）加拳權(quán)余斯量方拳程的渣建立設(shè)?為方響程（1.床1）du規(guī)/d棍x-1=肢0的一壺個近童似解檔，即您有：（1.感8）式中r為殘伶差。括用任殿意權(quán)悼函數(shù)u*乘以屈殘差r，并敏在方狡程定旬義域[0，1]內(nèi)進(jìn)案行積查分：（1.喪9）數(shù)值氏方法鍵求解家方程習(xí)（1.勇1）的浮根本絹出發(fā)罪點(diǎn)就魚是要拐使得葵殘差惰。●1.肆1一維虧一次越常微振分方酒程的侍有限才元數(shù)狂值求戚解（1/丟8）有限陡元方撓法基袍本思促路1.串1.呈2有限恩元方乏法求解（3）加獅權(quán)余劑量方煩程的錫建立式（1.漢9）中u*又稱肢為權(quán)炕函數(shù)遷。有揉限元爽方法票中，礎(chǔ)權(quán)函認(rèn)數(shù)的宗選擇良具有路任意宣性。本課察程采禮用Ga夏le脅rk牛in有限助元方木法，束該方相法規(guī)賢定權(quán)脂函數(shù)愁等于歉插值刃函數(shù)，即危：u*麥=Φ（1.問10）為了銳簡化門表達(dá)困式，器將式兼（1.泛9）式笨中?用u代替撒得到鋼，即班得到省式（1.頁11）的施加權(quán)謝余量省方程雅：（1.狐10）●1.肢1一維策一次呼常微迅分方牧程的置有限效元數(shù)性值求撲解（1/抹8）有限除元方蓄法基型本思胖路1.央1.訪2有限兼元方暈法求解（4）單皮元有噴限元俯方程抹的建你立將式椅（1.喂11）的被積分沸區(qū)域獅轉(zhuǎn)換跑到單帳元內(nèi)營，有他：（1.控12）寫成車局部霧坐標(biāo)噴形式厘：（1.駝13）由式相（1.永5）求垂導(dǎo)，州有：（1.指14）（1.怒15）●1.昌1一維脊一次客常微豎分方籃程的襪有限京元數(shù)爆值求魯解（1/鉛8）有限囑元方慕法基思本思辰路1.凈1.泥2有限估元方頓法求解（4）單浮元有憐限元萌方程觀的建哄立將式婆（1.暫7）、粘（1.薄14）和偽（1.蠅15）帶矩入式所（1.宇13），帖有:（1.榜16）●1.吵1一維施一次截常微棕分方所程的臨有限飽元數(shù)徹值求努解（1/乘8）有限框元方蔥法基賀本思體路1.跨1.預(yù)2有限經(jīng)元方飛法求解（4）單明元有剝限元喚方程攀的建擦立化簡獵后得哄到：（1.唯17）寫成題矩陣惰形式詠：（1.較18）式中Φ1,ξ和Φ2,ξ為Φ1和Φ2對ξ的導(dǎo)掌數(shù)。●1.春1一維樹一次我常微誤分方泛程的模有限尚元數(shù)岔值求也解（1/秤8）有限看元方倉法基始本思階路1.古1.井2有限擔(dān)元方煙法求解（4）單偵元有野限元潔方程榴的建殊立由式具（1.指4）求滴導(dǎo)，喪可得隔：Φ1=1-ξΦ1,ξ=在-1（1.吊19袍a）Φ2=ξΦ2,ξ=賽1（1.窮19而b）式（1.構(gòu)19）帶蛾入（1.墾18）得巴到：（1.倍20）積分創(chuàng)得到座：（1.舞21）（1.嬌22）●1.費(fèi)1一維誼一次劫常微菌分方先程的違有限五元數(shù)騎值求但解（1/避8）有限臥元方益法基潛本思持路1.吵1.魔2有限拉元方冤法求解（4）單罷元有蔑限元償方程幟的建并立式（1.柴21）和向（1.活22）帶喝入（1.禍20），是由于準(zhǔn)單元蜓長度Δx(e某)=1儀/5，得到筍：（1.片23）寫成權(quán)簡化斧矩陣廉形式孤：KeuIe=be（1.榨24）●1.倘1一維平一次孫常微師分方親程的扎有限幕元數(shù)辰值求奇解（1/塑8）有限縣元方淹法基徹本思剛路1.濫1.卷2有限嶄元方胡法求解（5）總鑰體方遙程的細(xì)組合建立項單元肺有限誤元方白程后他，進(jìn)窩行總地體方鳳程的崗組合予?？偝皿w方確程形慮式為功：KuI=b（1.飽25）式中抱，K為N×N矩陣刑；uI為N×1向量揭；b為N×1向量恨；N為總廉體結(jié)憤點(diǎn)數(shù)掏?！?.辜1一維內(nèi)一次寄常微即分方才程的象有限隙元數(shù)主值求辜解（1/膀8）有限亮元方擔(dān)法基癢本思姐路1.系1.籠2有限約元方赴法求解（5）總它體方退程的煉組合①找K矩陣秒的組晉合就本售節(jié)研汗究實常例來械講，護(hù)第i-1，i和i+1個單攝元的午系數(shù)效矩陣Ke可寫貫成：（1.證26）（1.表27）（1.瀉28）●1.蜘1一維賽一次乓常微虜分方價程的買有限溫元數(shù)疑值求董解單元章內(nèi)部嗓序號總序抖號（1/揪8）有限城元方屑法基原本思耳路1.區(qū)1.停2有限憤元方補(bǔ)法求解（5）總作體方添程的寬組合①性K矩陣?yán)娴慕M畏合三個籍系數(shù)觸矩陣侍中第錄二項缸表達(dá)玩式內(nèi)Ke的下雪標(biāo)為莊單元釀內(nèi)結(jié)氣點(diǎn)號夠，第扶三項烤表達(dá)借式內(nèi)Ke的下蘋標(biāo)為缺總體戒結(jié)點(diǎn)衰號。將每道個單粗元的群單元異方程俊系數(shù)逆矩陣Ke，按佛照總將體結(jié)話點(diǎn)序盼號對群應(yīng)的餡位置歉放置促到總碗體方張程的撓系數(shù)狐矩陣K中。在圖1-冷1中，映第i個結(jié)響點(diǎn)共繼用于突第i-1和i單元熊，所草以Ke(i-1)和Ke(i)中均盞出現(xiàn)拼下標(biāo)掉為(i,派i)的項鐮，在K的(i,螞i)位置柿要進(jìn)貞行Ki,祖ie(i-1)和Ki,匹ie(i)的求塊和，啞即:(1英.2繁9)●1.聞1一維女一次速常微睡分方慶程的話有限塞元數(shù)周值求鎮(zhèn)解（1/墨8）有限爛元方室法基大本思茅路1.拉1.挨2有限植元方勞法求解（5）總盛體方雁程的阻組合①躁K矩陣嚴(yán)的組記合對于愁編寫松程序副完成扎上述肚組合率時，櫻需要腐利用JM數(shù)據(jù)婆進(jìn)行鏈對位描求和輝。對于省第i個單鋸元來翼說，同進(jìn)行釘雙層蛾循環(huán)速求和汪，第然一層嶺循環(huán)潔指標(biāo)m等于1到JM的列姿數(shù)（臂本例殘為2），再第二現(xiàn)層循劑環(huán)指旋標(biāo)n也是眼由1到JM的列撥數(shù)（拋本例冠為2），畜對于扛一組m和n，查遵找JM喇(i尖,m綿)和JM際(i可,n任)對應(yīng)磁數(shù)值店，并拴完成鎖如下野累加葉計算霜：K(尚JM帆(i暫,m棍),JM忍(i核,n陽))趕=蒸K(暑JM足(i災(zāi),m瘡),寒JM記(i這,n音))吃+Ke(桃i)(m祖,n種)(1徹.3請0)●1.端1一維委一次蜓常微秘分方暈程的楊有限哭元數(shù)寇值求號解1223344556（1/巧8）有限伏元方赤法基弓本思裙路1.瓶1.萍2有限恨元方賣法求解（5）總弦體方摩程的崖組合①借K矩陣撲的組稅合值得守注意殼的時魂，m和n就是芹第i個單斧元系傾數(shù)矩徑陣各苗個元間素對密應(yīng)的芒單元透內(nèi)部密結(jié)點(diǎn)驚序號宵，JM旺(i,m者)和JM凡(i,n炕)對應(yīng)珍數(shù)值哀即為聞第i個單病元系嫩數(shù)矩脫陣各河個元稈素對挨應(yīng)的涉總體贊結(jié)點(diǎn)喉序號嗽。組丘合后鄰，總六體方弓程系待數(shù)矩夏陣K可寫元成：(1王.3羨1)●1.播1一維冠一次察常微杰分方溝程的蒸有限搶元數(shù)梨值求宅解（1/功8）有限溪元方述法基陷本思廉路1.支1.按2有限傅元方脊法求解（5）總杜體方擔(dān)程的鵲組合②衰向量鳳的組紡合三個be向量聲的第勵二項哭表達(dá)雹式內(nèi)be的下般標(biāo)為呀單元俘內(nèi)結(jié)護(hù)點(diǎn)號望，第殊三項澤表達(dá)表式內(nèi)be的下哲標(biāo)為欲總體崖結(jié)點(diǎn)邀號。般同樣柳，對彎于第i個結(jié)扔點(diǎn)共問用于i-臂1和i單元貸來說礦，適向量索相應(yīng)螺位置環(huán)也要脂體現(xiàn)帶兩個靜結(jié)點(diǎn)挑的共念同作捉用：(1阻.3聯(lián)5)●1.掀1一維毒一次慎常微切分方遲程的愛有限方元數(shù)撐值求鉛解（1/扎8）有限晨元方航法基嗚本思忽路1.狂1.斷2有限漏元方碼法求解（5）總只體方索程的渠組合②礎(chǔ)向量拘的組卵合對于花編寫跪程序播完成抵上述薦組合識時，摧需要漠利用JM數(shù)據(jù)便進(jìn)行和對位刮求和仔。對冠于第i個單亭元來庫說，川進(jìn)行水循環(huán)爬求和炎時，頌循環(huán)慣指標(biāo)m等于1到JM的列菜數(shù)（帝本例躬為2），灶查找JM桂(i闖,m奸)對應(yīng)陵數(shù)值毛，并膏完成備如下親累加狠計算洪：b(片JM痰(i秀,m址),計1)向=b感(J腎M(俯i,萬m)旬,1事)+鋪be(m徹,1即)(1血.3厲6)m為第i個單陵元右裂邊向業(yè)量各伯個元駕素對謎應(yīng)的踐單元末內(nèi)部吉序號便，JM放(i交,m宰)對應(yīng)軋數(shù)值爺即為自第i個單插元右佳邊向鞏量各搞個元吸素對半應(yīng)的鼠總體巨結(jié)點(diǎn)壺序號達(dá)。●1.護(hù)1一維頁一次洪常微考分方男程的繞有限繳元數(shù)結(jié)值求靈解（1/今8）有限億元方跨法基獸本思睜路1.敏1.充2有限原元方逝法求解（5）總風(fēng)體方洲程的康組合②笨向量得的組怨合組合指后得繪到:b=[1訓(xùn)/1裕0踢1花/5眨1/堡5鑒1暴/5扒1/紀(jì)5們1魯/1掀0]T(1鋼.3杯7)總體滲方程面最終蓄可以鞠寫成很：(1布.3象8)●1.角1一維浩一次歌常微膚分方廢程的銜有限紹元數(shù)待值求來解（1/嘉8）有限歸元方胃法基已本思帆路1.雄1.勿2有限堂元方鼻法求解（6）帶筍入邊撇界條議件求載解將第塌一類偵邊界恒條件蒜數(shù)據(jù)JB悔1帶入蹤蝶到式努（1.吵38），起第一嶄類邊廉界條競件的尊數(shù)據(jù)破見表1-節(jié)3。根臭據(jù)查大表1-港3，可攝知道贈結(jié)點(diǎn)1處于婆第一摧類邊溪界條淡件上井，且裝邊界寒?dāng)?shù)值適為零扭。這示里先業(yè)介紹蹦消行魂移列睬法，貧具體伍帶入極步驟獨(dú)為：①將陸已知礎(chǔ)場值豬結(jié)點(diǎn)親對應(yīng)調(diào)行刪僅除，嗽即：●1.誼1一維兆一次先常微驕分方化程的術(shù)有限拔元數(shù)羨值求潔解10表1-乏3丘JB英1數(shù)據(jù)慕表（1/聲8）有限洲元方局法基琴本思魂路1.賢1.騙2有限降元方旗法求解（6）帶漢入邊艷界條蟻件求累解②將嗓其它度行中委與有灣已知禾結(jié)點(diǎn)蠢對應(yīng)散的項承與已盲知數(shù)覆值相周乘并蹄移動政到等披號右殃邊●1.塵1一維乳一次尾常微紀(jì)分方食程的疑有限爬元數(shù)畫值求飼解（1/和8）有限相元方杠法基皮本思緩路1.床1.臘2有限獅元方半法求解（6）帶瘋?cè)脒吂鐥l橋件求志解②將爪其它癢行中完與有銀已知這結(jié)點(diǎn)庫對應(yīng)臭的項研與已療知數(shù)真值相糟乘并票移動娃到等負(fù)號右霧邊則式腰（1.豎38）變甲為：(1筍.3氏9)計算朋結(jié)果竿為:[u2u3u4u5u6]=鬼[0仗.2捕0脂.4天0竊.6滑0能.8過1]扮(1德.4笛0)●1.拾1一維努一次呀常微陶分方踐程的屬有限葡元數(shù)貧值求偵解（1/趁8）有限降元方博法基都本思膽路1.恢1.戚2有限課元方慚法求解（6）帶頑入邊取界條煩件求仔解這一富方法座能夠譽(yù)讓方領(lǐng)程降甲階，端對于允結(jié)點(diǎn)伏較少糕的求油解問勁題，易適合年于手謠工求懶解。