第六薄板的失穩(wěn)

第六薄板的失穩(wěn)演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)（優(yōu)選）第六薄板的失穩(wěn)目前二頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)

薄板中的物理方程和內(nèi)力表達(dá)式與彈性力學(xué)中平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程和內(nèi)力表達(dá)式相同。薄板中于薄板上下表面等距離的面稱為中面。

當(dāng)薄板在中面內(nèi)承受平行于中面的荷載而失穩(wěn)時(shí)，也可以根據(jù)靜力平衡準(zhǔn)則來(lái)確定板的臨界荷載。

下面根據(jù)小撓度理論給出薄板的彈性穩(wěn)定微分方程。目前三頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)根據(jù)小撓度理論給出薄板的彈性穩(wěn)定微分方程

式中：

，為單位寬度板的抗彎剛度。上式是一個(gè)以撓度w為未知量的常系數(shù)線性四階偏微分方程。板的邊界條件表達(dá)式：1）簡(jiǎn)支邊：w＝0，2）固定邊：w＝0，3）自由邊：

,,,目前四頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)6.2受壓簡(jiǎn)支板的彈性失穩(wěn)

如圖所示四邊簡(jiǎn)支矩形板，板的中面上作用有荷載Nx=－P

x

、Nx

＝0、Nxy

＝0；因此，板的彈性穩(wěn)定微分方程式為目前五頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)板的彈性穩(wěn)定微分方程式為:根據(jù)板的邊界條件：

當(dāng)x=0和x=a時(shí)，w＝0、

、

；

當(dāng)y=0和y=b時(shí)，w＝0、

、

。

符合這些邊界條件的板的撓曲面可用二重三角級(jí)數(shù)表示為式中：m和n分別是板失穩(wěn)時(shí)，在x和y方向的半波數(shù)，為各項(xiàng)的待定常數(shù)。目前六頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)對(duì)w微分兩次和四次后代入偏微分方程，得

由于

和

均不為零，

Amn也不為零，否則板仍然為平面平衡狀態(tài)，所以解得

式中：

。

只有當(dāng)n=1時(shí)，上式有最小值，所以有意義的臨界荷載為：目前七頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)或；

式中：K—為穩(wěn)定系數(shù)，由

，可得

，K=4，則。要使上式成立，

m=a/b必須是整數(shù)，如果m=a/b不是整數(shù)，則

或

計(jì)算臨界荷載時(shí)，m的取值應(yīng)使K值最小。當(dāng)n=1時(shí)，即在y方向成一個(gè)半波的條件下，K隨m和a/b成曲線關(guān)系，如前面圖所示。目前八頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)板的長(zhǎng)寬比在

時(shí)，m=1，板以一個(gè)半波的形式失穩(wěn)；長(zhǎng)寬比在

與

之間時(shí)，m=2，板以兩個(gè)半波的形式失穩(wěn)；長(zhǎng)寬比在

與

之間時(shí)，m=3，余類(lèi)推。而當(dāng)長(zhǎng)寬比

時(shí)，K值已非常接近于最小值

。板的臨界應(yīng)力：

由上式可知：?jiǎn)蜗蚓鶆蚴軌喊宓呐R界應(yīng)力與板的寬厚比的平方成反比，而與板的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。

對(duì)于單向均勻受壓的矩形板，當(dāng)加載邊為簡(jiǎn)支，而非加載邊為各種不同的支承條件時(shí)，穩(wěn)定系數(shù)K的最小值如下表所示。目前九頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)穩(wěn)定系數(shù)K的最小值序號(hào)12345非加載邊的支承條件一邊簡(jiǎn)支一邊自由一邊固定一邊自由兩邊簡(jiǎn)支一邊簡(jiǎn)支一邊固定兩邊固定穩(wěn)定系數(shù)K0.4251.2804.0005.4206.970

只有當(dāng)

時(shí)，同時(shí)邊界條件由簡(jiǎn)支變?yōu)楣潭?，穩(wěn)定系數(shù)K才會(huì)有較大提高。通過(guò)上述討論可知，對(duì)于單向均勻受壓的狹長(zhǎng)板，用增加橫向加勁肋來(lái)改變

a/b，從而提高穩(wěn)定系數(shù)的做法并無(wú)明顯的效果；如果把加勁肋的間距取得小于2b又很不經(jīng)濟(jì)。而對(duì)于很寬的薄板，如果采用縱向加勁肋以減少板的寬度b倒是有效的。例如在板的縱向中心加一條加勁肋時(shí)

。目前十頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)屈曲系數(shù)與板件長(zhǎng)寬比的關(guān)系失穩(wěn)系數(shù)與板件長(zhǎng)寬比的關(guān)系

目前十一頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)6.3能量法計(jì)算板的彈性失穩(wěn)

對(duì)于四邊簡(jiǎn)支的均勻受壓板，計(jì)算公式中每一項(xiàng)都有

，

因此，可以從各項(xiàng)中將其分離出來(lái)，這樣用平衡法求解很方便；而當(dāng)板的支承條件不是簡(jiǎn)支時(shí)，三角函數(shù)則無(wú)法分離，這時(shí)就需要用能量法來(lái)求解。1）板的總勢(shì)能

已知

Π=U+V，則彈性應(yīng)變能外力勢(shì)能目前十二頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)

2）瑞利—李茲法

假設(shè)符合板的幾何邊界條件的撓曲面函數(shù)為將此式代入總勢(shì)能公式中，經(jīng)積分后，根據(jù)勢(shì)能駐值原理建立一組

的線性代數(shù)方程組。其非零解的條件是方程組的系數(shù)行列式為零，即可得板的穩(wěn)定方程。3）伽遼金法

已知板的平衡偏微分方程為

，需假定符合板的幾何與自然邊界條件的撓曲面函數(shù)，現(xiàn)假定撓曲面函數(shù)目前十三頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)為可組成伽遼金方程組

上面方程組經(jīng)積分后可得到

A1,A2,……An的線性方程組，為得到它們的非零解，其系數(shù)行列式︱D︱=0應(yīng)為零，則可得穩(wěn)定方程，由穩(wěn)定方程可解的臨界荷載。目前十四頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)6.4均勻受剪簡(jiǎn)支板的彈性失穩(wěn)

均勻受剪的四邊簡(jiǎn)支板如圖所示，在其對(duì)角線方向因受壓而失穩(wěn)，失穩(wěn)時(shí)板的波長(zhǎng)與另一對(duì)角線方向的拉力有關(guān)。對(duì)于長(zhǎng)板，失穩(wěn)時(shí)的半波長(zhǎng)度約為板寬的1.25倍。當(dāng)采用能量法求解剪切臨界荷載時(shí)，板的撓曲面函數(shù)可用二重三角函數(shù)表示。

但是對(duì)于均勻受剪的四邊簡(jiǎn)支板，可以利用均勻受剪四邊簡(jiǎn)支的正方形板來(lái)求解臨界荷載的近似值。

目前十五頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)

如采用伽遼金法求解時(shí)，板的中面力

而。板的平衡偏微分方程為設(shè)滿足幾何和自然邊界條件的撓曲面函數(shù)為可得伽遼金方程組為

將撓曲面函數(shù)w(x,y)的微分代入平衡偏微分方程式中，經(jīng)積分后得到目前十六頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)板的失穩(wěn)條件是解得

這個(gè)均勻受剪簡(jiǎn)支正方形板的剪切失穩(wěn)臨界荷載計(jì)算結(jié)果與精確解相比，誤差為19％；如果采用更多項(xiàng)的撓曲面函數(shù)，則可提高解的精確度。目前十七頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)經(jīng)過(guò)對(duì)矩形板更精確的理論分析，可得式中：

ks為剪切失穩(wěn)系數(shù)。均勻受剪矩形板的剪切穩(wěn)定系數(shù)如下：對(duì)于四邊簡(jiǎn)支的受剪板

當(dāng)a≥b時(shí)，當(dāng)a≤b時(shí)，對(duì)于四邊固定的受剪板當(dāng)a≥b時(shí)，當(dāng)a≤b時(shí)，目前十八頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)6.5單向受壓簡(jiǎn)支板的失穩(wěn)后強(qiáng)度以上研究的板的失穩(wěn)都是建立在小撓度理論基礎(chǔ)上的，即認(rèn)為板在失穩(wěn)時(shí)的撓度遠(yuǎn)小于其厚度，忽略了板失穩(wěn)時(shí)中面上的薄膜拉力。

如果板的支承構(gòu)件剛度較大，板的臨界應(yīng)力雖然不高，但失穩(wěn)后并不破壞。板中的應(yīng)力將重新分布，并產(chǎn)生薄膜拉力，使板的承載能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)其臨界荷載，這種現(xiàn)象被稱為失穩(wěn)后強(qiáng)度。

此時(shí)，板的撓度與板的厚度相比已不是一個(gè)小量，所以需按大撓度理論來(lái)求解。

目前十九頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)6.5.1平衡偏微分方程薄板失穩(wěn)后，板的中面產(chǎn)生了數(shù)值遠(yuǎn)大于其厚度的撓度，外荷載作用下中面力已不再是常量，在非荷載作用的方向也同時(shí)產(chǎn)生了中面力，因此需按大撓度理論研究薄板的失穩(wěn)后強(qiáng)度。

如圖所示，從板中取出的微元體dxdyt上作用著中面力

Nx、

Ny和

Nxy,由這些中面力在x方向的平衡條件,忽略其中的高階微量后可得目前二十頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)同理，由這些中面力在y方向的平衡條件可得由這些中面力在z方向的平衡條件可得

由上式可見(jiàn)大撓度理論的平衡方程與小撓度理論平衡方程式的形式相同，但它是變系數(shù)的。已知中面力

Nx、

Ny和

Nxy都包括了作用于中面的外荷載和因?yàn)榘鍝锨a(chǎn)生的薄膜力，所以都是變量。

這三個(gè)方程中有了四個(gè)因變量，屬于變系數(shù)偏微分方程，并需要根據(jù)板的變形條件補(bǔ)充一個(gè)變形協(xié)調(diào)方程。目前二十一頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)6.5.2變形協(xié)調(diào)方程

薄板微元體中面的應(yīng)變與撓度的變形協(xié)調(diào)方程為6.5.3薄板的大撓度方程組

為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，應(yīng)設(shè)法減少未知量，可引入滿足中面力平衡方程的應(yīng)力函數(shù)

F(x,y)。則

將上面表達(dá)式代入平衡方程和變形協(xié)調(diào)方程中，則可得到以撓度

w和應(yīng)力函數(shù)

F(x,y)為變量的力平衡方程和變形協(xié)調(diào)方程目前二十二頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)薄板的大撓度方程組為6.5.4單向受壓簡(jiǎn)支板的失穩(wěn)后強(qiáng)度

單向均勻受壓四邊簡(jiǎn)支矩形板如下圖所示，現(xiàn)研究其失穩(wěn)后的強(qiáng)度。目前二十三頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)

矩形板在平面外的邊界條件為：當(dāng)

x=0和

x=a時(shí)，

w=0和

；當(dāng)

y=0和y=b時(shí)，w=0和

。板在發(fā)生失穩(wěn)后會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力重新分布，故在研究板的失穩(wěn)后強(qiáng)度時(shí)，還要考慮在板自身平面內(nèi)的邊界條件。為此假設(shè)：板失穩(wěn)后其外形不變，及板的邊緣仍保持直線；沿板的四周不產(chǎn)生剪應(yīng)力，即

Nxy=0；y=0和y=b

的兩條邊在y方向可以自由移動(dòng)。

在上述假設(shè)條件下來(lái)求解板的失穩(wěn)后強(qiáng)度，假設(shè)符合板邊界條件的撓曲面函數(shù)為目前二十四頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)將撓曲面函數(shù)代入變形協(xié)調(diào)方程式，即上式的全解由特解為Fp和通解為Fc兩部分組成，其特解為將上式代入變形協(xié)調(diào)方程式，可得

，。由此可得

通解Fc由平衡偏微分方程式的齊次方程求得，即相當(dāng)于w=0,處在板失穩(wěn)前的平衡狀態(tài)。目前二十五頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)此時(shí)板的中面力Nx=px

，

Ny=0和

Nxy=0；可得

積分得

。則變形協(xié)調(diào)方程式的全解為應(yīng)力函數(shù)F(x,y)與板的最大撓度f(wàn)有關(guān)，因此，可以通過(guò)平衡偏微分方程式用伽遼金法求解板的撓度。建立伽遼金方程如下

將撓曲面函數(shù)

w和應(yīng)力函數(shù)F代入上式，經(jīng)積分后可得目前二十六頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于七點(diǎn)式中的第一項(xiàng)是單向均勻受壓四邊簡(jiǎn)支板的臨界荷載

pcrx，故式中Δpx

即為板失穩(wěn)后荷載的提高值?？梢杂?/p>

算出板在失穩(wěn)后強(qiáng)度的提高幅度。而板的最大撓度f(wàn)為: