2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)章末綜合測評(píng)2點(diǎn)直線平面間的位置關(guān)系2-9412

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精章末綜合測評(píng)(二)點(diǎn)、直線、平面之間的地址關(guān)系（滿分:150分時(shí)間：120分鐘）一、選擇題(本大題共12小題，每題5分,共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)切合題目要求的）1．以下推理錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（)A．A∈l，A∈α,B∈l，B∈α?l?αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A∈l，l?α?A∈α［若直線l∩α＝A，顯然有l(wèi)?α,A∈l,但A∈α。］2．下面給出了四個(gè)條件:①空間三個(gè)點(diǎn)；②一條直線和一個(gè)點(diǎn)；③和直線a都訂交的兩條直線;④兩兩訂交的三條直線．其中，能確定一個(gè)平面的條件有（)A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)D[①當(dāng)空間三點(diǎn)共線時(shí)不能夠確定一個(gè)平面；②點(diǎn)在直線上時(shí)不能夠確定一個(gè)平面；③兩直線若不平行也不訂交時(shí)不能夠確定一個(gè)平面;④三條直線交于一點(diǎn)且不共面時(shí)不能夠確定一個(gè)平面。故以上4-1-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精個(gè)條件都不能夠確定一個(gè)平面．］3．在長方體ABCD。A1B1C1D1中，異面直線AB，A1D1所成的角等于(）A．30°B．45°C．60°D．90°［由于AD∥A1D1，則∠BAD是異面直線AB，A1D1所成的角,很顯然∠BAD＝90°.］4．已知a，b,c是直線，則下面四個(gè)命題：①若直線a，b異面,b，c異面，則a,c異面;②若直線a,b訂交,b，c訂交，則a，c訂交；③若a∥b，則a，b與c所成的角相等．其中真命題的個(gè)數(shù)為( )A．0B．3C．2D．1D［異面、訂交關(guān)系在空間中不能夠傳達(dá)，故①②錯(cuò);依照等角定理,可知③正確．]5．把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A,B,C，D四點(diǎn)為極點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為（)A．30°B．45°C．60°D．90°-2-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精[當(dāng)三棱錐D。ABC的體積最大時(shí)，平面DAC⊥ABC，取AC的中點(diǎn)O，連接OD，OB，則△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO45°.]6．設(shè)l為直線，α,β是兩個(gè)不同樣樣的平面．以下命題中正確的選項(xiàng)是)A．若l∥α，l∥β,則α∥βB．若l⊥α，l⊥β,則α∥βC．若l⊥α，l∥β，則α∥βD．若α⊥β,l∥α,則l⊥β[選項(xiàng)A，平行于同一條直線的兩個(gè)平面也可能訂交,應(yīng)選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，垂直于同素來線的兩個(gè)平面互相平行，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，由條件應(yīng)得α⊥β，應(yīng)選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，l與β的地址不確定,應(yīng)選項(xiàng)D錯(cuò)誤．應(yīng)選B.]7．如圖，點(diǎn)S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2,E,F分別是SC和AB的中點(diǎn)，則EF的長是(）A．1B．錯(cuò)誤!-3-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精C．錯(cuò)誤!D．錯(cuò)誤!［取CB的中點(diǎn)D，連接ED，DF，則∠EDF(或其補(bǔ)角)為異面直線SB與AC所成的角，即∠EDF＝90°。在△EDF中,ED＝錯(cuò)誤!SB＝1，DF＝錯(cuò)誤!AC＝1，所以EF＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!。］αβαβ）8．設(shè)，為兩個(gè)平面，則∥的充要條件是（A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條訂交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線．α,β垂直于同一個(gè)平面[若α∥β，則α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行,反之不成立；若α,β平行于同一條直線,則α與β能夠平行也能夠訂交；若α，β垂直于同一平面,則α與β能夠平行也能夠訂交,故A，C，D中條件均不是α∥β的充要條件．依照平面與平面平行的判判斷理知，若一個(gè)平面內(nèi)有兩條訂交直線與另一個(gè)平面平行，則兩平面平行，反之成立．因此B中條件是α∥β的充要條件．應(yīng)選B。］9．在周圍體ABCD中，已知棱AC的長為錯(cuò)誤!，其余各棱長都為-4-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1，則二面角A.CD-B的余弦值為（）1A．2B．錯(cuò)誤!C．錯(cuò)誤!D．錯(cuò)誤![取AC的中點(diǎn)E,CD的中點(diǎn)F，連接BE,EF，BF,則EF＝錯(cuò)誤!，BE＝錯(cuò)誤!，BF＝錯(cuò)誤!，由于EF2＋BE2＝BF2,所以△BEF為直角三角形,cosθ＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!。]10．如圖，在多面體ACBDE中，BD∥AE，且BD＝2，AE＝1，DFF在CD上，要使AC∥平面EFB，則FC的值為( )A．3B．2C．1D．錯(cuò)誤!B[連接AD交BE于點(diǎn)O，連接OF,由于AC∥平面EFB，平-5-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精面ACD∩平面EFB＝OF，所以AC∥OF.所以錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!。又由于BD∥AE，所以△EOA∽△BOD，所以錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝2。故錯(cuò)誤!＝2。］11．設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)），記直線PB與直線AC所成角為α，直線PB與平面ABC所成角為β，二面角P。AC-B的平面角為γ，則(）A．β＜γ，α＜γB．β＜α，β＜γC．β＜α，γ＜αD．α＜β，γ＜β［如圖G為AC的中點(diǎn),V在底面的射影為O，則P在底面上的射影D在線段AO上，過D作DE⊥AC于E,易得PE∥VG，過P作PF∥AC交VG于F，過D作DH∥AC，交BG于H,則α＝∠BPF，β＝∠PBD,γ＝∠PED，則cosα＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＜錯(cuò)誤!＝cosβ，又α、β錯(cuò)誤!,可得β＜α;tanγ＝錯(cuò)誤!＞錯(cuò)誤!=tanβ，可得β＜γ.-6-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精]12．以以下列圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2,G2G3的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF，EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)周圍體，使G1,G2，G3重合，重合后的點(diǎn)記為G。給出以下關(guān)系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有( )A．①與②B．①與③C．②與③D．③與④[由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G,GE?平面EFG，GF平面EFG，得SG⊥平面EFG，除掉C,D,若SE⊥平面EFG,則SG∥SE。這與SG∩SE＝S矛盾,除掉A.］二、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．直線l1∥l2,在l1上取2個(gè)點(diǎn)，l2上取2個(gè)點(diǎn)，由這4個(gè)點(diǎn)能確-7-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精定平面的個(gè)數(shù)是________。［由于l1∥l2，所以經(jīng)過l1,l2有且只有一個(gè)平面．］14．在空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB和BC上的點(diǎn)，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，則對(duì)角線AC與平面DEF的地址關(guān)系是________.平行［由于AE∶EBCFFBEFAC＝∶＝1∶3，所以∥.又由于AC?平面DEF，EF?平面DEF，所以AC∥平面DEF。]15．已知平面α∩平面β＝l，點(diǎn)A，B∈α，點(diǎn)C∈平面β，且Cl，AB∩l＝R。若過A,B，C三點(diǎn)的平面為平面γ，則β∩γ＝________.CR[依照題意畫出圖形，如圖，由于點(diǎn)C∈β，且點(diǎn)C∈γ，所以C∈β∩γ。由于點(diǎn)R∈AB，所以點(diǎn)R∈γ。又R∈β,所以R∈β∩γ，從而β∩γ＝CR。］16．已知三棱錐S。ABC的所有極點(diǎn)都在球O的球面上,SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC,SB＝BC，三棱錐S。ABC的體積為9，則球O的表面積為________。36π[如圖,連接OA,OB.-8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，知OA⊥SC,OB⊥SC。由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC,OA⊥SC，知OA⊥平面SCB。設(shè)球O的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱錐S.ABC的體積V＝錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!·OA＝錯(cuò)誤!,2π。]即錯(cuò)誤!＝9，∴r＝3,∴S球表＝4π＝r36三、解答題（本大題共6個(gè)大題，共70分,解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．（本小題滿分10分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AC＝9,BC＝12，AB＝15，AA1＝12，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．1）求證：AC⊥B1C;2）求證:AC1∥平面CDB1.-9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精[證明](1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.AC＝9，BC＝12，AB＝15,∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC。又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C?平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.（2)連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接OD.如圖，∵O，D分別為BC1，AB的中點(diǎn)，∴OD∥AC1。又OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1。18．(本小題滿分12分）如圖，四棱錐P.ABCD的底面ABCD是2梯形，AB∥CD，且AB＝3CD.試問在PC上可否找到一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAD?若能，請確定點(diǎn)E的地址，并給出證明；若不能夠，請說明原由．-10-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精[解］在PC上能找到點(diǎn)E，且滿足錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，可使BE∥平面PAD。證明以下：延長DA和CB交于點(diǎn)F，連接PF.在梯形ABCD中,AB∥CD，AB＝錯(cuò)誤!CD.所以錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，所以錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!。又錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，所以在△PFC中，錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，所以BE∥PF。而BE?平面PAD，PF?平面PAD，所以BE∥平面PAD。19．(本小題滿分12分)如圖，已知三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，ACB＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AC,M為PB的中點(diǎn)．1)求證：PC⊥BC；2)求二面角M-AC。B的大?。劢鈃(1）證明：由PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，-11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精又由于∠ACB＝90°，即BC⊥AC，PA∩AC＝A,所以BC⊥平面PAC,所以PC⊥BC。2）取AB中點(diǎn)O,連接MO,過O作HO⊥AC于H，連接MH，由于M是BP的中點(diǎn)，所以MO∥PA，又由于PA⊥平面ABC，所以MO⊥平面ABC,所以∠MHO為二面角M-AC-B的平面角，設(shè)AC＝2，則BC＝3，MO＝1，OH＝錯(cuò)誤!，在Rt△MHO中,tan∠MHO＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，所以二面角M。AC.B的大小為30°。20．（本小題滿分12分）如圖,在四棱錐P.ABCD中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)．1)求證：BD⊥平面PAC;2）若∠ABC＝60°，求證:平面PAB⊥平面PAE;-12-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3)棱PB上可否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說明原由．［解］（1）由于PA⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.又由于底面ABCD為菱形，所以BD⊥AC.又PA?平面PAC，AC?平面PAC,PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2）由于PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD，所以PA⊥AE.由于底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°,且E為CD的中點(diǎn)，所以AE⊥CD。又AB∥CD，所以AB⊥AE.又PA?平面PAB,AB?平面PAB，PA∩AB＝A,所以AE⊥平面PAB。又AE?平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE.(3)棱PB上存在點(diǎn)F，且F為PB的中點(diǎn)，使得CF∥平面PAE。取F為PB的中點(diǎn)，取G為PA的中點(diǎn),連接CF，F(xiàn)G,EG.由于G,F分別為PA，PB的中點(diǎn)，則FG∥AB，且FG＝錯(cuò)誤!AB。-13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精由于底面ABCD為菱形，且E為CD的中點(diǎn)，所以CE∥AB，且CE＝錯(cuò)誤!AB.所以FG∥CE，且FG＝CE。所以四邊形CEGF為平行四邊形，所以CF∥EG.由于CF?平面PAE,EG?平面PAE，所以CF∥平面PAE。21．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1,BC＝3，CD＝4,PD＝2.1）求異面直線AP與BC所成角的余弦值;2）求證:PD⊥平面PBC；3）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．[解］（1)如圖，由已知AD∥BC,故∠DAP或其補(bǔ)角即異面直線AP與BC所成的角．由于AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，所以cos∠DAP＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!。-14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精所以異面直線AP與BC所成角的余弦值為錯(cuò)誤!.(2)由于AD⊥平面PDC，直線PD?平面PDC，所以AD⊥PD。又BC∥AD，所以PD⊥BC,又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（3)過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F,連接PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．由于PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP為直線DF與平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1,由已知，得CF＝BCBF＝2。又AD⊥DC,故BC⊥DC,在Rt△DCF中，可得DF＝錯(cuò)誤!＝2錯(cuò)誤!,在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!。所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為錯(cuò)誤!.22．（本小題滿分12分)如圖①,在Rt△ABC中，∠C＝90°,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn),將△ADE沿DE折起到△A1DE的地址,使A1F⊥CD，如圖②.①②-15-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(1）求證:DE∥平面A1CB；(2)求證：A1F⊥BE；（3）線段A1B上可否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？說明原由．[解］（1）證明：∵D,E分別為AC,AB的中點(diǎn)，DE∥BC。又∵DE?平面A1CB，BC?平面A1CB，DE∥平面A1CB。(2)證明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，DE⊥AC.DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，DE⊥平面A1DC.而A