主成分分析完整版

主成分分析

Principalcomponentanalysis2021/5/91主成分分析的基本思想主成分的計算主成分分析的應(yīng)用2021/5/92主成分分析的基本思想

主成分分析就是把原有的多個指標(biāo)轉(zhuǎn)化成少數(shù)幾個代表性較好的綜合指標(biāo)，這少數(shù)幾個指標(biāo)能夠反映原來指標(biāo)大部分的信息（85%以上），并且各個指標(biāo)之間保持獨立，避免出現(xiàn)重疊信息。主成分分析主要起著降維和簡化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的作用?！?基本思想2021/5/93

主成分分析是把各變量之間互相關(guān)聯(lián)的復(fù)雜關(guān)系進行簡化分析的方法。

在社會經(jīng)濟的研究中，為了全面系統(tǒng)的分析和研究問題，必須考慮許多經(jīng)濟指標(biāo)，這些指標(biāo)能從不同的側(cè)面反映我們所研究的對象的特征，但在某種程度上存在信息的重疊，具有一定的相關(guān)性。

主成分分析試圖在力保數(shù)據(jù)信息丟失最少的原則下，對這種多變量的截面數(shù)據(jù)表進行最佳綜合簡化，也就是說，對高維變量空間進行降維處理。

很顯然，識辨系統(tǒng)在一個低維空間要比在一個高維空間容易得多。2021/5/94基于相關(guān)系數(shù)矩陣/協(xié)方差矩陣做主成分分析？選擇幾個主成分？如何解釋主成分所包含的實際意義？

在力求數(shù)據(jù)信息丟失最少的原則下，對高維的變量空間降維，即研究指標(biāo)體系的少數(shù)幾個線性組合，并且這幾個線性組合所構(gòu)成的綜合指標(biāo)將盡可能多地保留原來指標(biāo)變異方面的信息。這些綜合指標(biāo)就稱為主成分。要討論的問題是：2021/5/95§2數(shù)學(xué)模型與幾何解釋

假設(shè)我們所討論的實際問題中，有p個指標(biāo)，我們把這p個指標(biāo)看作p個隨機變量，記為X1，X2，…，Xp，主成分分析就是要把這p個指標(biāo)的問題，轉(zhuǎn)變?yōu)橛懻搈個新的指標(biāo)F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m(m<p），按照保留主要信息量的原則充分反映原指標(biāo)的信息，并且相互獨立。其中2021/5/96

這種由討論多個指標(biāo)降為少數(shù)幾個綜合指標(biāo)的過程在數(shù)學(xué)上就叫做降維。主成分分析通常的做法是，尋求原指標(biāo)的線性組合Fi。滿足如下的條件：主成分之間相互獨立，即無重疊的信息。即主成分的方差依次遞減，重要性依次遞減，即每個主成分的系數(shù)平方和為1。即2021/5/97?????????????????????????????????????主成分分析的幾何解釋旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸?旋轉(zhuǎn)變換的目的是為了使得n個樣本點在F1軸方向上的離散程度最大，即F1的方差最大，變量F1代表了原始數(shù)據(jù)的絕大部分信息，在研究某經(jīng)濟問題時，即使不考慮變量F2也損失不多的信息。F1與F2除起了濃縮作用外，還具有不相關(guān)性。F1稱為第一主成分，F(xiàn)2稱為第二主成分。2021/5/98主成分的計算先討論二維情形求第一主成分F1和F2。

我們已經(jīng)把主成分F1和F2的坐標(biāo)原點放在平均值所在處，從而使得F1和F2成為中心化的變量，即F1和F2的樣本均值都為零。2021/5/99因此F1可以表示為關(guān)鍵是，尋找合適的單位向量，使F1的方差最大。問題的答案是：X的協(xié)方差矩陣S的最大特征根所對應(yīng)的單位特征向量即為。并且就是F1的方差。2021/5/910同樣，F(xiàn)2可以表示為尋找合適的單位向量，使F2與F1獨立，且使F2的方差（除F1之外）最大。問題的答案是：X的協(xié)方差矩陣S的第二大特征根所對應(yīng)的單位特征向量即為。并且就是F2的方差。2021/5/911其中，aij稱為因子載荷量因子載荷量：主成分與變量間的相關(guān)系數(shù)，即：因子載荷量的大小和它前面的正負(fù)號直接反映了主成分與相應(yīng)變量之間關(guān)系的密切程度和方向。從而可以說明各主成分的意義2021/5/912求解主成分的步驟：1.求樣本均值和樣本協(xié)方差矩陣S;2.求S的特征根求解特征方程，其中I是單位矩陣，解得2個特征根3.求特征根所對應(yīng)的單位特征向量4.寫出主成分的表達式2021/5/913身高x1(cm)胸圍x2(cm)體重x3(kg)149.5162.5162.7162.2156.5156.1172.0173.2159.5157.769.577.078.587.574.574.576.581.574.579.038.555.550.865.549.045.551.059.543.553.5例1下表是10位學(xué)生的身高、胸圍、體重的數(shù)據(jù)。對此進行主成分分析。2021/5/9141.求樣本均值和樣本協(xié)方差矩陣

2.求解協(xié)方差矩陣的特征方程

3.解得三個特征值

和對應(yīng)的單位特征向量：2021/5/9154.由此我們可以寫出三個主成分的表達式：

5.主成分的含義F1表示學(xué)生身材大小。F2反映學(xué)生的體形特征2021/5/916三個主成分的方差貢獻率分別為：前兩個主成分的累積方差貢獻率為：

2021/5/917在一般情況下，設(shè)有n個樣品，每個樣品觀測p個指標(biāo)，將原始數(shù)據(jù)排成如下矩陣：

多指標(biāo)求解主成分的步驟：2021/5/918求樣本均值和樣本協(xié)方差矩陣S;2.求解特征方程=0,其中I是單位矩陣,解得p個特征根3.求所對應(yīng)的單位特征向量

解得4.寫出主成分的表達式

2021/5/919根據(jù)累積貢獻率的大小取前面m個(m<p)主成分選取原則：

且主成分個數(shù)的選取原則2021/5/920例設(shè)的協(xié)方差矩陣為作主成分分析。解：如果從出發(fā)作主成分分析，易求得其特征值和相應(yīng)的正交單位化特征向量為的兩個主成分分別為第一主成分的貢獻率為2021/5/921R型分析為消除量綱影響，在計算之前先將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。標(biāo)準(zhǔn)化變量的S=R，所以用標(biāo)準(zhǔn)化變量進行主成分分析相當(dāng)于從原變量的相關(guān)矩陣R

出發(fā)進行主成分分析。統(tǒng)計學(xué)上稱這種分析法為R型分析，由協(xié)方差矩陣出發(fā)的主成分分析為S型分析。

S型分析和R型分析的結(jié)果是不同的。在一般情況下，若各變量的量綱不同，通常采用R型分析。R型分析的概念2021/5/922這里我們需要進一步強調(diào)的是，從相關(guān)陣求得的主成分與協(xié)差陣求得的主成分一般情況是不相同的。實際表明，這種差異有時很大。我們認(rèn)為，如果各指標(biāo)之間的數(shù)量級相差懸殊，特別是各指標(biāo)有不同的物理量綱的話，較為合理的做法是使用R代替∑。對于研究經(jīng)濟問題所涉及的變量單位大都不統(tǒng)一，采用R代替∑后，可以看作是用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)做分析，這樣使得主成分有現(xiàn)實經(jīng)濟意義，不僅便于剖析實際問題，又可以避免突出數(shù)值大的變量。2021/5/923主成分分析的步驟

1.將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化；2.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化變量求出協(xié)方差矩陣（標(biāo)準(zhǔn)化后協(xié)方差矩陣與相關(guān)矩陣完全一樣）；3.求出相關(guān)矩陣的特征值，計算累計貢獻率，及其對應(yīng)的特征向量；4.確定主成分，進一步分析。對于X=(X1,X2,…,Xp),設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)化變量為2021/5/924企業(yè)的經(jīng)濟效益分析某市對下屬10個企業(yè)作經(jīng)濟效益分析，根據(jù)經(jīng)濟統(tǒng)計原理，用取得的生產(chǎn)成果與各項成本的消耗作對比，來衡量每個企業(yè)的經(jīng)濟效益，也就是用下述五個指標(biāo)來對每個企業(yè)進行分析。

Z1：固定資產(chǎn)的產(chǎn)值率Z2：凈產(chǎn)值勞動生產(chǎn)率

Z3：萬元產(chǎn)值的流動資金占用率

Z4：萬元產(chǎn)值利潤率

Z5：萬元資金的利潤率2021/5/9251、數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化2、

求相關(guān)矩陣R3、

計算R的特征值及累積貢獻率，并計算相應(yīng)的特征向量經(jīng)過計算取2個主成分，信息的可靠程度超過85%2021/5/9264、分析意義第j個企業(yè)的第一主成分值為各企業(yè)的第一主成分值如下表0.77-1.8-1.160.105-0.84-1.2053.830.960.33-0.99311.第一主成分F1的意義在F1的表達式中，只有第三個指標(biāo)Z3（萬元產(chǎn)值流動資金占用率）的系數(shù)為負(fù)值（-0.45），而Z5的系數(shù)最大，Z5與Z3是刻畫企業(yè)經(jīng)營水平高低的。當(dāng)Z3取值較小，Z5取值較大時，F(xiàn)1就較大。于是F1在此突出地反映了一個企業(yè)經(jīng)營水平的高低。由計算結(jié)果可見，企業(yè)7的經(jīng)營水平最高，企業(yè)2的經(jīng)營水平最低。2021/5/9272.第二主成分F2的意義第j個企業(yè)的第二主成分值為各企業(yè)的第二主成分值如下表-2.070.0927-2.1803-0.70770.4047-0.1223-0.43401.96021.7771.3257F2除了第一系數(shù)為正之外，其他約為負(fù)值，其中Z4系數(shù)絕對值最大。Z1的意義是投資水平，Z4的意義是銷售水平。如果投資大，銷售水平低，自然F2的值會增大。所以F2