高考數(shù)學(xué)理科

第8課時(shí)立體幾何中的向量方法(Ⅱ) ——空間角與距離(理科)(一)考綱點(diǎn)擊 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用．(二)命題趨勢(shì)1．從考查內(nèi)容看，本節(jié)是高考的必考內(nèi)容，主要考查利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決求空間角(異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角)及距離等問題．2．從考查形式看，主要以解答題的形式出現(xiàn)，側(cè)重于考查空間向量的應(yīng)用，屬中檔題．1．空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2所成的角θ滿足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.對(duì)點(diǎn)演練(2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α所成角θ滿足sinθ＝|cos〈m，n〉|.如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么，這條斜線與平面所成的角是 ()A．90° B．30°C．45° D．60°對(duì)點(diǎn)演練2°如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．對(duì)點(diǎn)演練對(duì)點(diǎn)演練1．利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面α、β的向量n1，n2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補(bǔ)．2．求點(diǎn)到平面距離的方法：(1)垂面法：借助面面垂直的性質(zhì)來作垂線，其中過已知點(diǎn)確定已知面的垂面是關(guān)鍵；(2)等體積法，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高；(3)等價(jià)轉(zhuǎn)移法；(4)法向量法．(2秀01墳2·上海)如圖，票在四眨棱錐P－AB孝CD中，帶底面AB擱CD是矩滲形，PA⊥底面AB狗CD，E是PC的中帝點(diǎn)．劑已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：(1乎)三角橋形PC忽D的面討積；(2食)異面偷直線BC與AE所成臘的角賊的大購小．題型叢一擋求異膏面直丑線所冠成的舊角圖(1孝)【歸納播提升】異面錢直線漿所成座角范協(xié)圍是(0趕°，90蜓°]，若勸異面芝直線a，b的方場(chǎng)向向歸量為m，n，異攀面直栗線a，b所成雖角為θ，則co雄sθ＝|co乏s〈m，n〉|.解題痕過程驕?zhǔn)牵?1對(duì))建系亦；(2口)求點(diǎn)擋坐標(biāo)庸；(3右)表示硬向量浪；(4魄)計(jì)算愿．證明槳垂直比，只嬸須驗(yàn)役數(shù)量別積是戀否為0.1．如鉤圖所膀示，引在長(zhǎng)瘡方體AB糟CD－A1B1C1D1中，沙已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分別亮是線屈段AB、BC上的綠點(diǎn)，薄且EB＝BF＝1.求直晃線EC1與FD1所成炊的角嗽的余情弦值擋．針對(duì)派訓(xùn)練(2焰01浪3·全國景新課朋標(biāo)Ⅰ)如圖水，三財(cái)棱柱AB傷C－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BA擋A1＝60秤°.(1煌)證明串：AB⊥A1C；(2騾)若平合面AB濃C⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求抓直線A1C與平纖面BB1C1C所成際角的耗正弦北值．題型煌二課求直擦線與梨平面街所成建的角【解】(1腳)證明睜：如努圖，拒取AB的中執(zhí)點(diǎn)O，連濱接OC，OA1，A1B.因?yàn)镃A＝CB，所練以O(shè)C⊥AB.由于AB＝AA1，∠BA導(dǎo)A1＝60鑒°，故△AA1B為等蘆邊三逗角形擾，所以O(shè)A1⊥AB.因?yàn)镺C∩OA1＝O，所況以AB⊥平面OA1C.又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.【歸納技提升】(1龍)分別求鍬出斜蠟線和癥它所督在平怎面內(nèi)拳的射學(xué)影直形線的梨方向曬向量脖，轉(zhuǎn)并化為考求兩憂個(gè)方背向向種量的掩夾角(或其匹補(bǔ)角)．(2胳)通過曾平面倚的法艇向量原來求闖，即汪求出之斜線菜的方礦向向叢量與逮平面旬的法刮向量泊所夾表的銳莊角，步取其著余角前就是處斜線冷和平右面所吼成的那角．針對(duì)脆訓(xùn)練題型絕三肉求二陡面角【解】(1冠)證明朱：連誤結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)千．又D是AB中點(diǎn)征，連服結(jié)DF，則BC1∥DF.因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所岡以BC1∥平面A1CD.【歸納匹提升】二面角土的兩持種常生用求感解方朵法：1．分撞別求銹出二堡面角好的兩胞個(gè)面朱所在塘平面索的法胞向量打，然太后通忽過兩凈個(gè)平棟面的因法向罷量的誰夾角脂得到而二面蘆角的莖大小李，但葬要注掠意結(jié)足合實(shí)拒際圖董形判糕斷所看求角胃為銳編角還暗是鈍研角；2．分蜘別在缺二面役角的愈兩個(gè)早平面區(qū)內(nèi)找鑼到與鏟棱垂杰直且歡以垂直足為恭起點(diǎn)晌的兩趴個(gè)向棉量，節(jié)則這精兩個(gè)衫向量宣的夾煮角的態(tài)大小春就是狼二面膀角的眼大小墳．3．如運(yùn)圖，PA⊥平面AB昆C，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，畝則二胳面角A—PB—C的余乞弦值關(guān)大小告為__浸__聚__做__．針對(duì)奴訓(xùn)練題型織四鼠求空杯間距嘗離針對(duì)頭訓(xùn)練【典例】(滿分12分)如圖，賽已知豬在長(zhǎng)鞠方體AB肚CD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝1，直擁線BD與平票面AA1B1B所成書的角呢為30繡°，AE垂直BD于點(diǎn)E，F(xiàn)為A1B1的中壇點(diǎn)．滿分太指導(dǎo)嗎：利仔用空往間向孩量求鄰角【失分龍警示】(1額)本題易壩錯(cuò)點(diǎn)綠是在饒建立探坐標(biāo)塊系時(shí)