高中數(shù)學(xué)1-1學(xué)案：第二章 §2.5 圓錐曲線的共同性質(zhì) 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精[學(xué)習(xí)目標(biāo)］1。了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義.2.能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)一圓錐曲線的統(tǒng)一方程在平面直角坐標(biāo)系中，有定點(diǎn)F（c，0）,定直線l：x＝eq\f（a2,c)(a>0，c〉0），圓錐曲線上任意一點(diǎn)P(x，y），定義點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離為PF，點(diǎn)P到直線l的距離為d，則稱eq\f（PF,d）＝e(e為離心率，且e＝eq\f(c，a)）為圓錐曲線的統(tǒng)一方程.0〈e〈1時(shí)，它表示橢圓；e〉1時(shí)，它表示雙曲線；e＝1時(shí)，它表示拋物線.知識(shí)點(diǎn)二圓錐曲線的共同性質(zhì)對(duì)于橢圓eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1(a〉b〉0）和雙曲線eq\f(x2，a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a>0，b>0)中，與F（c,0）對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程是l:x＝eq\f（a2,c），與F′(－c，0)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程是l′:x＝－eq\f(a2,c)；如果焦點(diǎn)在y軸上，則兩條準(zhǔn)線方程為y＝±eq\f(a2，c)。題型一統(tǒng)一定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f（y2，9）＝1上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離等于2.5，那么，P到右焦點(diǎn)的距離為________.答案8解析如圖所示,PF1＋PF2＝2a＝10，e＝eq\f（c,a）＝eq\f(4,5)，而eq\f(PF1,2。5)＝e＝eq\f(4，5），∴PF1＝2,∴PF2＝10－PF1＝10－2＝8.反思與感悟橢圓的兩個(gè)定義從不同角度反映了橢圓的特征，解題時(shí)要靈活運(yùn)用.一般地，如果遇到有動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和的問(wèn)題,應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓的第一定義；如果遇到有動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)及一定直線距離的問(wèn)題,應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓的第二定義;若兩者都涉及，則要綜合運(yùn)用兩個(gè)定義才行.跟蹤訓(xùn)練1若雙曲線eq\f(y2,64)－eq\f(x2，36)＝1上一點(diǎn)P到雙曲線上焦點(diǎn)的距離是8,那么點(diǎn)P到上準(zhǔn)線的距離是________.答案eq\f（32，5）解析由eq\f(8,d）＝eq\f（10，8)，得d＝eq\f(32,5）.題型二應(yīng)用統(tǒng)一定義轉(zhuǎn)化求最值例2已知橢圓eq\f（x2,8)＋eq\f（y2，6)＝1內(nèi)有一點(diǎn)P（1,－1），F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓上求一點(diǎn)M，使MP＋2MF之值為最小.解設(shè)d為M到右準(zhǔn)線的距離?！遝＝eq\f(c,a）＝eq\f（1，2），eq\f(MF,d)＝eq\f(1,2)，∴eq\f（MF,\f（1,2)）＝d，即d＝2MF（如圖)，故MP＋2MF＝MP＋d≥PM′.顯然，當(dāng)P、M、M′三點(diǎn)共線時(shí)，所求的值為最小，從而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（eq\f(2，3)eq\r(15)，－1)。反思與感悟本例中，利用橢圓的第二定義，將橢圓上點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再利用圖形的形象直觀，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解決.一般地，像本例這樣的問(wèn)題，若“MF”含有系數(shù)，則應(yīng)考慮用第二定義求解;若不含有系數(shù)，則應(yīng)考慮用第一定義求解。跟蹤訓(xùn)練2已知點(diǎn)A（3,2）,F(2，0），在雙曲線x2－eq\f（y2,3)＝1上是否存在一點(diǎn)P，使PA＋eq\f(1,2)PF的值最小？解∵a＝1，b＝eq\r（3）,∴c＝2，e＝2.∴F即為焦點(diǎn)。設(shè)點(diǎn)P到與焦點(diǎn)F(2，0）相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為d，則eq\f(PF,d)＝2，∴eq\f（1,2）PF＝d,∴PA＋eq\f(1,2）PF＝PA＋d，此時(shí)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為在雙曲線上求點(diǎn)P,使點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離與到準(zhǔn)線的距離的和最小,即直線PA垂直于準(zhǔn)線時(shí)符合題意,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r（21），3）,2)）.題型三圓錐曲線統(tǒng)一定義的綜合應(yīng)用例3已知A、B是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2，\f(9，25）a2）＝1上的點(diǎn)，F(xiàn)2是右焦點(diǎn)，且AF2＋BF2＝eq\f(8，5）a，AB的中點(diǎn)N到左準(zhǔn)線的距離等于eq\f（3,2)，求此橢圓方程.解設(shè)F1為左焦點(diǎn)，連結(jié)AF1，BF1，則根據(jù)橢圓定義有：AF1＋BF1＝2a－AF2＋2a－BF2＝4a－（AF2＋BF2）＝4a－eq\f（8，5）a＝eq\f(12,5)a.再設(shè)A、B、N三點(diǎn)到左準(zhǔn)線距離分別為d1，d2，d3，由梯形中位線定理有d1＋d2＝2d3＝3，而已知b2＝eq\f（9，25)a2，∴c2＝eq\f(16，25)a2,∴離心率e＝eq\f(4，5），由第二定義AF1＝ed1,BF1＝ed2,∴AF1＋BF1＝eq\f（12，5）a＝e（d1＋d2)＝eq\f(12，5），∴a＝1，∴橢圓方程為x2＋eq\f(y2，\f（9，25))＝1。反思與感悟問(wèn)題涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí),應(yīng)考慮用曲線的第一定義.若問(wèn)題涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離時(shí)，應(yīng)考慮第二定義。本例綜合運(yùn)用了第一定義和第二定義，充分體現(xiàn)了定義在解題時(shí)的作用。跟蹤訓(xùn)練3設(shè)P（x0，y0)是橢圓eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1(a>b〉0）上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1為其左焦點(diǎn)。（1）求PF1的最小值和最大值;(2)在橢圓eq\f(x2,25）＋eq\f(y2，5）＝1上求一點(diǎn)P，使這點(diǎn)與橢圓兩焦點(diǎn)的連線互相垂直.解(1）對(duì)應(yīng)于F1的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(a2，c),根據(jù)橢圓的第二定義：eq\f（PF1，x0＋\f（a2,c）)＝e,∴PF1＝a＋ex0。又－a≤x0≤a，∴當(dāng)x0＝－a時(shí),（PF1）min＝a＋eq\f(c，a)×（－a)＝a－c；當(dāng)x0＝a時(shí),（PF1)max＝a＋eq\f（c,a）·a＝a＋c。（2）∵a2＝25，b2＝5，∴c2＝20,e2＝eq\f（4，5)?！逷Feq\o\al（2,1)＋PFeq\o\al(2，2)＝F1Feq\o\al（2，2)，∴（a＋ex0)2＋（a－ex0）2＝4c2.將數(shù)據(jù)代入得25＋eq\f(4,5)xeq\o\al（2,0)＝40.∴x0＝±eq\f（5\r（3），2）.代入橢圓方程得P點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\f(5\r(3),2),eq\f(\r（5）,2）)，(eq\f(5\r(3）,2），－eq\f(\r（5)，2)）,（－eq\f(5\r(3）,2），eq\f（\r(5)，2））,(－eq\f(5\r(3),2）,－eq\f（\r（5）,2））。1.若雙曲線eq\f(x2，13)－eq\f（y2,12)＝1上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離等于eq\r（13）,則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為________。答案eq\f（13，5）解析a＝eq\r（13），b＝2eq\r（3)，c2＝25，c＝5?！鄀＝eq\f(5,\r（13))，P到右焦點(diǎn)的距離為eq\r(13），則它到右準(zhǔn)線的距離d＝eq\f（\r(13），5)×eq\r（13）＝eq\f（13，5）.2.已知橢圓方程為eq\f(x2，16)＋eq\f（y2,12)＝1，右焦點(diǎn)為F，A(2，1)為其內(nèi)部一點(diǎn),P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，使PA＋2PF最小，則P點(diǎn)坐標(biāo)為__________.答案eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2\r（33），3),1））解析由題意得a＝4,b＝2eq\r(3)，∴c＝2，e＝eq\f（c,a)＝eq\f（1，2），由統(tǒng)一定義知2PF即為P到右準(zhǔn)線的距離,因此，要使PA＋2PF最小，P點(diǎn)除了應(yīng)在y軸的右側(cè)外,還要使AP垂直于準(zhǔn)線，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝1，,\f（x2,16)＋\f(y2，12)＝1）)解得P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2\r（33)，3),1)).3。已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).滿足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→）)＝0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是________.答案（0,eq\f（\r(2），2）)解析∵eq\o（MF1，\s\up6(→））·eq\o(MF2，\s\up6(→））＝0，∴M點(diǎn)軌跡方程為x2＋y2＝c2，其中F1F2為直徑，由題意知橢圓上的點(diǎn)在圓x2＋y2＝c2外部，設(shè)點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則OP>c恒成立,由橢圓性質(zhì)知OP≥b，其中b為橢圓短半軸長(zhǎng)，∴b>c,∴c2〈b2＝a2－c2,∴a2>2c2，∴（eq\f(c，a)）2<eq\f（1，2),∴e＝eq\f(c,a)<eq\f(\r（2），2）.又∵0<e<1，∴0<e<eq\f（\r（2),2）。1。當(dāng)題目中出現(xiàn)圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離即焦半徑,焦點(diǎn)弦長(zhǎng)有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義（即第二定義)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離來(lái)研究。2.一