積分變換第講

積分變換

第1講積分變換傅里葉(Fourier)級數(shù)展開在工程計算中,無論是電學(xué)還是力學(xué),經(jīng)常要和隨時間而變的周期函數(shù)fT(t)打交道.例如:具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t),其中T稱作周期,而1/T代表單位時間振動的次數(shù),單位時間通常取秒,即每秒重復(fù)多少次,單位是赫茲(Herz,或Hz).t最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)

fT(t)=Asin(wt+j)

其中w=2p/T而Asin(wt+j)又可以看作是兩個周期函數(shù)sinwt和coswt的線性組合

Asin(wt+j)=asinwt+bcoswtt人們發(fā)現(xiàn),所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的線性組合來逼近.方波4個正弦波的逼近100個正弦波的逼近研究周期函數(shù)實際上只須研究其中的一個周期內(nèi)的情況即可,通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內(nèi)函數(shù)變化的情況.并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近,而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件,即在區(qū)間[-T/2,T/2]上1,連續(xù)或只有有限個第一類間斷點2,只有有限個極值點這兩個條件實際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù).第一類間斷點和第二類間斷點的區(qū)別:第二類間斷點第一類間斷點不滿足狄氏條件的例:而在工程上所應(yīng)用的函數(shù),尤其是物理量的變化函數(shù),全部滿足狄氏條件.因此,任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)fT(t),可表示為三角級數(shù)的形式如下:而利用三角函數(shù)的指數(shù)形式可將級數(shù)表示為:如令wn=nw(n=0,1,2,...)給定fT(t),cn的計算如下:對任何一個非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T時轉(zhuǎn)化而來的.

作周期為T的函數(shù)fT(t),使其在[-T/2,T/2]之內(nèi)等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整個數(shù)軸上,則T越大,fT(t)與f(t)相等的范圍也越大,這就說明當(dāng)T時,周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f(t),即有Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)此公臺式稱積為函潛數(shù)f(t)的傅煤里葉均積分鋒公式,簡稱茂傅氏街積分守公式,傅氏恭積分俗定理若f(t)在(-,槍+向)上滿維足條務(wù)件:葛1,f(t)在任段一有呆限區(qū)雙間上費滿足酬狄氏窯條件;塘2,f(t)在無知限區(qū)旋間(-,集+罰)上絕育對可嚴(yán)積,則有傅氏縮慧變換1.傅氏墓變換環(huán)的概畏念我們瓦知道,若函感數(shù)f(t)滿足趕傅氏點積分鼻定理店的條切件,則在f(t)的連鹽續(xù)點碑處,有(1蘋.8困)式叫最做f(t)的傅氏膀變換默式,財(1邁.9闊)式為F(w)的傅式哄逆變俊換式,f(t)與F(w)可相慕互轉(zhuǎn)血換,可記肥為F(w)=F[f(t)]和f(t)=F-1[F(w)]還可惕以將f(t)放在勿左端,F(w)放在擦右端,中間處用雙赤向箭議頭連漁接:f(t)F(w)(1題.8柱)式右聚端的嘩積分腫運算,叫做f(t)的傅躬氏變委換,同樣,競(1榨.9司)式右重端的板積分準(zhǔn)運算,叫做F(w)的傅倦氏逆狼變換.F(w)稱作f(t)的象函宅數(shù),f(t)稱作F(w)的象原饅函數(shù).可以悅說象罰函數(shù)F(w)和象幅原函范數(shù)f(t)構(gòu)成抖了一圈個傅桂氏變略換對.tf(t)根據(jù)(1煤.8鹿)式,有這就侄是指皮數(shù)衰蜂減函簡數(shù)的碑傅氏百變換.2.單位書脈沖偉函數(shù)機及其脅傅氏澇變換在物停理和日工程竹技術(shù)樸中,常常裝會碰悔到單乘位脈喚沖函電數(shù).因為轉(zhuǎn)有許披多物妨理現(xiàn)供象具徒有脈窯沖性冰質(zhì),如在儲電學(xué)拋中,要研凝究線撥性電蠻路受去具有進脈沖濤性質(zhì)狡的電膝勢作炮用后泳產(chǎn)生傻的電曲流;在力劃學(xué)中,要研卡究機稼械系錫統(tǒng)受初沖擊籮力作牛用后愚的運偽動情職況等.研究樣此類梯問題籠就會會產(chǎn)生梨我們現(xiàn)要介興紹的弄單位膛脈沖僅函數(shù).在原恐來電覆流為攤零的淺電路積中,某一凡瞬時(設(shè)為t=0圍)進入競一單弄位電誕量的杏脈沖,現(xiàn)在桐要確避定電奇路上創(chuàng)的電宴流i(t).以q(t)表示私上述裳電路辮中的扎電荷炎函數(shù),則由于旁電流囑強度翻是電丈荷函奧數(shù)對頭時間往的變室化率,即所以,當(dāng)t0時,i(t)=盒0,由于q(t)是不餡連續(xù)毅的,從而減在普懲通導(dǎo)樹數(shù)意肅義下,q(t)在這陷一點性是不竊能求軋導(dǎo)數(shù)比的.如果閣我們溝形式年地計毅算這喊個導(dǎo)圓數(shù),則得這表冤明在棒通常輔意義孩下的淋函數(shù)依類中質(zhì)找不聲到一狀個函扇數(shù)能蓋夠表閣示這訂樣的麻電流擁強度.為了錄確定界這樣好的電飲流強哨度,引進中一稱澆為狄唐拉克(Di苦ra宗c)的函罩?jǐn)?shù),簡單拾記成d-函數(shù).有了遠(yuǎn)這種授函數(shù),對于與許多帆集中約于一考點或招一瞬關(guān)時的圓量,例如捐點電致荷,點熱博源,集中紙于一藥點的忌質(zhì)量辨及脈曠沖技久術(shù)中熱的非拼常窄說的脈豬沖等,就能堡夠象變處理糧連續(xù)弟分布煙的量酷那樣,以統(tǒng)摔一的銷方式鼠加以匹解決.工程診上將d-函數(shù)逗稱為單位過脈沖月函數(shù),可將d-函數(shù)瞧用一予個長群度等厚于1的有飽向線揉段表顆示,這個唯線段凡的長啊度表音示d-函數(shù)譯的積樸分值,稱為d-函數(shù)大的強婦度.tOd(t)1d-函數(shù)寺有性狀質(zhì)d-函數(shù)般的傅掏氏變迎換為:tOd(t)1wOF(w)1可見,單位肥脈沖數(shù)函數(shù)d(t)與常龜數(shù)1構(gòu)成攏了一跌傅氏刊變換證對.同理,d(t-t0)和伶亦圓構(gòu)成珠了一證個傅灘氏變屬換對.在物蓄理學(xué)權(quán)和工脾程技與術(shù)中,有許孔多重殖要函最數(shù)不蒙滿足棒傅氏俘積分巨定理全中的盲絕對混可積共條件,即不巴滿足潑條件例如常常數(shù),符號領(lǐng)函數(shù),單位昏階躍暮函數(shù)藏以及志正,余弦螞函數(shù)戲等。傅氏唐變換衡的性捧質(zhì)這一狹講介督紹傅牧氏變識換的裁幾個寶重要株性質(zhì),為了齒敘述瞎方便比起見,假定心在這買些性蓄質(zhì)中,凡是飾需要響求傅縮慧氏變傅換的念函數(shù)伍都滿幼足傅板氏積蹲分定暗理中普的條憶件,在證屠明這耳些性歷質(zhì)時,不再句重述渠這些酬條件.線性潑性質(zhì)設(shè)F1(w)=F[f1(t)]連,F2(w)=F[f2(t)]畏,a,b是常浪數(shù),則F[af1(t)+bf2(t)]甲=aF1(w)+bF2(w)宴(僻1.慎13病)這個蓄性質(zhì)土的作蠻用是做很顯驗然的,它表逮明了蓬函數(shù)供線性誕組合貼的傅娘氏變另換等重于各衛(wèi)函數(shù)欣傅氏停變換噸的線狀性組界合.它的極證明寸只需培根據(jù)喪定義詞就可頂推出.同樣,傅氏訊逆變至換亦房誠具有夏類似射的線柜性性參質(zhì),即F-1[aF1(w)+bF2(w)]陜=af1(t)+bf2(t)舟(1榜.1丸4)2.位移藏性質(zhì)證宅由笛傅氏鵝變換厲的定挨義,可知微分嶼性質(zhì)如果f(t)在(-,援+追)上連留續(xù)或謊只有牌有限運個可頂去間堂斷點,且當(dāng)|t|粉+時,f(t)積0,則F[f'(t)]傅=jwF[f(t)]魔.顛(階1.溝17斥)證氧由墾傅氏妄變換抵的定叛義,并利嶺用分亂部積惑分可軍得推論F[f(n)(t)]透=(jw)nF[f(t)]腔.銅(盈1.膚18鳥)同樣,我們鼠還能筋得到吸象函顏數(shù)的絨導(dǎo)數(shù)派公式,設(shè)F[f(t)]態(tài)=F(w),則本書君中的無積分山的記蜘號有騙不嚴(yán)區(qū)格的箱寫法,即4.積分托性質(zhì)例2求微箱分積西分方爐程的解,其中<t<+既,a,b,c均為刊常數(shù).根據(jù)撤傅氏傍變換歸的微元分性骨質(zhì)和棗積分耕性質(zhì),且記F[x(t)]叉=X(w),F[h(t)]羞=H(w).在方裙程兩愁邊取鵝傅氏正變換,可得運用鼠傅氏割變換荷的線犬性性底質(zhì),微分到性質(zhì)象以及碧積分液性質(zhì),可以酸把線制性常法系數(shù)將微分掙方程秘轉(zhuǎn)化望為代蒜數(shù)方澤程,通過靠解代芳數(shù)方滴程與啊求傅輪氏逆才變換,就可聯(lián)以得浙到此俘微分書方程奶的解.另外,傅氏怠變換閃還是必求解沃?jǐn)?shù)學(xué)草物理懷方程漢的方汽法之腰一.性質(zhì)河小結(jié):若F[f(t)]母=F(w),F[g(t)]酷=G(w)卷積作定理希與相民關(guān)函嬌數(shù)卷積俱的概海念若已該知函爺數(shù)f1(t),f2(t),則積段分稱為妥函數(shù)f1(t)與f2(t)的卷積,記為f1(t)*f2(t)在積頌分中,令u=t-t,則t=t-u,du=-dt,則即卷府積滿器足交插換律.例1證明f1(t)*[f2(t)+f3(t)]過=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)證根據(jù)琴卷積亞的定牧義任給槽函數(shù)f(t),都有f(t)*d(t)=f(t),這是權(quán)因為因此,單位聚脈沖暈函數(shù)d(t)在卷隆積運所算中淋起著注類似尾數(shù)的走運算伯中的1的作鞭用.在近篩世代推數(shù)中,代數(shù)(a藍(lán)lg生eb丟ra今)一詞階表示副兩個臭元素汪到一穩(wěn)個元鍵素的旱映射靈規(guī)則.比如翁數(shù)的更加減奇乘除,向量頁的加,內(nèi)積,矩陣冊的加每和乘,向量豪或者最矩陣蠅乘數(shù),等等,都是孝代數(shù)靠運算.如果魂一個液代數(shù)敘運算逼滿足釘類似權(quán)加法鄭的性位質(zhì),如有0元素,有負(fù)介元素,滿足殺交換排律和期結(jié)合破律,則相愁應(yīng)的稱集合慶叫做塑加法前群,簡稱群.如果渣在加投法群肝上再傳定義險一個乒被稱棍作乘例法的河運算,滿足嘩交換棄律和銜結(jié)合柱律,有1元素,且同盾相應(yīng)牽的加忘法運捏算滿厭足分聞配律,此集悅合就殘叫做俱乘法舊環(huán),簡稱環(huán).如果飾乘法鑄除0元素亡