第九章第節(jié)多元函數(shù)的基本概念

推廣第九章一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)全微分第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第六節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法2第九章第一節(jié)二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念五、小結(jié)一、平面點(diǎn)集維空間31.鄰域一、平面點(diǎn)集維空間說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑,也可寫成點(diǎn)P0的去心鄰域記為4(1)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集E及一點(diǎn)P:若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)E,若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,若對(duì)點(diǎn)P的任一鄰域U(P)既含E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E的外點(diǎn);則稱P為E的邊界點(diǎn).的外點(diǎn),顯然,E的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E的外點(diǎn)必不屬于E,E的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.2.區(qū)域5若對(duì)任意給定的,點(diǎn)P

的去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn),則稱點(diǎn)P是E的聚點(diǎn).2)聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為E的邊界點(diǎn))（2）聚點(diǎn)1)內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說明：例如,(0,0)是聚點(diǎn)但不屬于集合．例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．6D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集；若點(diǎn)集E

E

,則稱E為閉集；

若點(diǎn)集D中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連，

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D是連通的；

連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域；。。E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界,記作E;7例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域8

整個(gè)平面點(diǎn)集是開集，是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.o

對(duì)區(qū)域D,若存在正數(shù)K,使一切點(diǎn)PD與某定點(diǎn)A的距離APK,則稱D為有界域,

界域.否則稱為無93.n維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n維空間,n維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的稱為該點(diǎn)的第k個(gè)坐標(biāo).記作即一個(gè)點(diǎn),101).n維空間的記號(hào)為說明：2).n維空間中兩點(diǎn)間距離公式3).n維空間中鄰域、區(qū)域等概念內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義．鄰域：設(shè)兩點(diǎn)為11二、多元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強(qiáng)三角形面積的海倫公式12定義1.設(shè)非空點(diǎn)集數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.映射稱為定義在

上的元函數(shù),記作點(diǎn)集

稱為函數(shù)的定義域;特別地,當(dāng)

時(shí),有二元函數(shù)當(dāng)

時(shí),有三元函數(shù)1314例1求的定義域．解所求定義域?yàn)?5二元梢函數(shù)格的圖殺形通小常是末一張爹曲面.16例如,圖形片如右漠圖.例如,左圖稱球面.單值逗分支:1718三、多元朗函數(shù)混的極態(tài)限點(diǎn),(也稱姻為n重極史限)當(dāng)n=2時(shí),記二元環(huán)函數(shù)奸的極馳限可煌寫作區(qū)：P0是D的聚對(duì)一記作都有對(duì)任專意正究數(shù),總存訓(xùn)在正絹數(shù),切定義2.

設(shè)

元函數(shù)若存在常數(shù),則稱為函數(shù)19例2求證證當(dāng)時(shí)，原結(jié)押論成掏立．20說明掏：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限2122例5求極蘭限解其中232425例7證明雞不舒存在斤．證取其值軋隨k的不儲(chǔ)同而瞇變化印，故極淋限不似存在欠．26確定陵極限不存攏在的方聚法：2728四、戲多浸元函藝數(shù)的斜連續(xù)勤性定義3.設(shè)n元函瞞數(shù)定義供在D上,如果偽存在否則災(zāi)稱為不連吩續(xù),此時(shí)稱為間斷磨點(diǎn).則稱n元函機(jī)數(shù)連續(xù),二元販函數(shù)違在點(diǎn)P0處連液續(xù)性助的表艘達(dá)方音法:2.全增葡量293031例9討論宴函數(shù)在(0趙,0花)處的逗連續(xù)博性．解32例10討論貼函數(shù)在(0滴,0柔)的連殊續(xù)性傻．解取其值叨隨k的不爆同而狀變化州，極限封不存夜在．故函隱數(shù)在(0連,0結(jié))處不蝴連續(xù)再．33閉區(qū)蛾域上段連續(xù)漫函數(shù)治的性遣質(zhì)在有渣界閉煎區(qū)域D上的琴多元吼連續(xù)壞函數(shù)眨，在D上至券少取嫁得它零的最診大值挑和最菊小值立各一呀次．在有眨界閉東區(qū)域D上的庭多元供連續(xù)童函數(shù)斧，如侄果在D上取薄得兩倚個(gè)不仿同的顆函數(shù)賤值，慮則它純?cè)贒上取練得介父于這盡兩值除之間翠的任芒何值疊至少提一次紐奉．（1）最禍大值含和最臨小值夜定理（2）介賴值定痰理34多元礙初等伶函數(shù)墳：由多者元多辨項(xiàng)式源及基孟本初磚等函示數(shù)經(jīng)某過有禾限次蠅的四束則運(yùn)瓶算和至復(fù)合偷步驟濕所構(gòu)千成的廈可用如一個(gè)甚式子津所表獨(dú)示的任多元貴函數(shù)罰叫多臥元初舉等函襯數(shù)一切崗多元紋初等功函數(shù)摸在其積定義那區(qū)域嗽內(nèi)是贊連續(xù)惡的．定義束區(qū)域義是指疑包含進(jìn)在定樓義域購內(nèi)的炸區(qū)域殺或閉蓄區(qū)域勞．35四.小結(jié)1.區(qū)域鄰域:區(qū)域連通印的開遣集2.多元鴿函數(shù)椅概念n元函堅(jiān)數(shù)常用二元天函數(shù)(圖形號(hào)一般曬為空紐奉間曲爐面)三元爹函數(shù)36有3.多元薪函數(shù)惑的極屯限4.多元降函數(shù)莫的連京續(xù)性1)函數(shù)2)閉域宇上的飾多元變連續(xù)廁函數(shù)墳的性梅質(zhì):有界速定理;最值臘定理;介值擾定理3)一切忍多元攀初等尸函數(shù)潑在定蜓義區(qū)杜域內(nèi)稿連續(xù)P6桐2題2;辯4;蓋5掙(3洋),付(柔5)江(畫圖)澡;嘴8P1季30題3;拘4思考屢與練懇習(xí)37解答薦提示