第三節(jié)Ransey問題與Ransey數(shù)

§1.3Ramsey問題與Ramsey數(shù)《組合數(shù)學(xué)》－Chapter1Contents一、Ramsey問題——完全圖的染色問題二、Ramsey數(shù)一、Ramsey問題——完全圖的染色問題著名的Ramsey問題：問題1:

1958年6～7月號美國《數(shù)學(xué)月刊》上登載著這樣一個有趣的問題：“任何6個人的聚會，其中總會有3人互相認識或互相不認識.”問題2:1959年美國《數(shù)學(xué)月刊》第2期又進一步提出：“任何18個人的聚會，其中總會有4人互相認識或互相不認識.”轉(zhuǎn)化為完全圖的染色問題來解決.

定義有n個頂點且每兩個頂點都有一條邊的簡單圖稱為n階完全圖，記為Kn.于是,Ramsey問題1為下面的定理1.定理1對6階完全圖K6的邊任意涂紅、藍兩色,則必存在一個紅色三角形或一個藍色三角形.證明設(shè)是K6的6個頂點,所連的5條邊著紅色或藍色，由鴿巢原理知，其中至少有3條邊同色.不妨設(shè)所連的3條邊均為紅色,如圖所示,若間有一條紅邊,不妨設(shè)為，則△是一紅色三角形.否則，間均為藍邊,即△是一藍色三角形.

顯然,當(dāng)時,把K6換成Kn定理的結(jié)論顯然仍成立.但當(dāng)n=5時,定理的結(jié)論就不一定成立了.例如對下圖所示的實邊涂紅色,虛邊涂藍色,既無紅色的三角形，也無藍色的三角形．

所以,6為結(jié)論成立的最小數(shù).這個最小數(shù)稱為Ramsey數(shù),記為N(3,3;2)，即N(3,3;2)=6.定理1我們還可敘述為：S為n元集合,當(dāng)n≥6時,把S的所有2元子集放入兩個盒子,則或者有3個元素其所有2元子集全在第一個盒子里，或者有3個元素其所有2元子集全在第二個盒子里．定理2對9階完全圖K9的邊任意涂紅、藍兩色，則必存在一個紅色(藍色)的K4,或者必存在一個藍色(紅色)的K3.為了證明定理2先證下面的引理．

引理對9階完全圖K9的邊任意涂紅、藍兩色,則必存在一個頂點,從這點引出的8條線段中,紅色（藍色）線段或多于3條或少于3條．證明用反證法．如果不存在這樣的頂點,即從每一頂點發(fā)出的線段中,紅色（藍色）線段都是三條.現(xiàn)在對9個頂點逐點統(tǒng)計由它們發(fā)出的紅色（藍色）線段的條數(shù),應(yīng)為27條．另一方面，若設(shè)K9中實有紅色（藍色）線段總數(shù)為m條,現(xiàn)對這m條邊的端點逐點統(tǒng)計由它們發(fā)出的紅色線段的條數(shù)，由于每條線段有兩個端點,故應(yīng)有2m條．由此得出2m=27．這是不可能的．故引理得證．證明定理2:設(shè)是構(gòu)成K9的9個頂點,由引理其中必有一點不妨設(shè)為，從這一點引出的8條線段中,藍色線段或多于3條，或少于3條.對這兩種情況分別討論如下：(1)從v0引出的8條線段中,藍色線段多于3條,即至少有4條，不妨設(shè)為藍色線段,點所構(gòu)成的完全圖K4，

若這個K4中沒有一條線段是藍色的,則再看由四個這個K4就是一個紅色的完全四邊形.若這個K4至少有一條藍邊,則它的兩個端點連同v0便構(gòu)成一個藍色三角形；即結(jié)論成立．定理2對9階完全圖K9的邊任意涂紅、藍兩色，則必存在一個紅色(藍色)的K4,或者必存在一個藍色(紅色)的K3.(2)從v0引出的8條線段中,藍色線段少于3條，即至多有2條．這時,從v0引出的紅色線段就會至少有6條，不妨設(shè)為再看由這6個點構(gòu)成的K6，由定理1可知這個K6必有一個同色三角形.若是紅色的,則這個紅色三角形的頂點連同v0一起便構(gòu)成一個紅色的完全四邊形K4.即結(jié)論成立．綜合以上兩種情況，定理2得證．若是藍色的,這個三角形即為藍色的K3

.顯然,當(dāng)時,把K9換成Kn定理的結(jié)論顯然仍成立.但當(dāng)n=8時,定理的結(jié)論就不一定成立了.例如對下圖所示的實邊涂紅色,虛邊涂藍色,既無紅色的完全四邊形，也無藍色的三角形．

所以,9為結(jié)論成立的最小數(shù).這個最小數(shù)稱為Ramsey數(shù),記為N(3,4;2)，即N(3,4;2)=9.定理2我們還可敘述為：S為n元集合,當(dāng)n≥9時,把S的所有2元子集放入兩個盒子,則或者有3個元素其所有2元子集全在第一個盒子里，或者有4個元素其所有2元子集全在第二個盒子里．Ramsey問題2為下面的定理3.定理3對18階完全圖K18的邊任涂紅、藍兩色,則必存在一個紅色的K4,或者存在一個藍色的K4

.證明設(shè)是K18的18個頂點，現(xiàn)考察K18中從v0出發(fā)的17條線段,它們分成了紅、藍兩類,由鴿巢原理知至少有9條是同色的，不妨設(shè)它們是紅色.考察這9條紅色線段異于v0的9個端點所構(gòu)成的K9，由定理2知K9中必存在一個紅色三角形K3,或一個藍色完全四邊形K4.若是后者，則命題得證；若是前者,則這個紅色三角形的三個頂點和v0便構(gòu)成一個紅色的完全四邊形.所以,定理成立.顯然,當(dāng)時,把K18換成Kn定理的結(jié)論顯然仍成立.但當(dāng)n=17時,定理的結(jié)論就不一定成立了.例如把K17的17個頂點記為,在把數(shù)字1,2,…,16分為A,B兩組,按以下規(guī)則對K17的邊進行涂色：涂紅色；涂藍色；這樣涂得的K17即不存在紅色K4的也不存在藍色的K4

,所以n=18是定理結(jié)論成立的最小數(shù).這個數(shù)記為．這個數(shù)記為．定理3我們還可敘述為：S為n元集合,當(dāng)n≥18時,把S的所有2元子集放入兩個盒子,則或者有4個元素其所有2元子集全在第一個盒子里，或者有4個元素其所有2元子集全在第二個盒子里．當(dāng)n=?時,對完全圖Kn的邊任涂紅、藍兩色,則必存在一個紅色的K5,或者存在一個藍色的K5

.目前已證得43≤n≤49.當(dāng)n=?時,對完全圖Kn的邊任涂紅、藍兩色,則必存在一個紅色的K6,或者存在一個藍色的K6

.目前已證得102≤n≤165.二、Ramsey數(shù)關(guān)于完全圖的兩種顏色的染色問題，可歸納出如下的一般情況：對于任意給定的兩個正整數(shù)a和b，存在最小的正整數(shù)N(a,b;2),

使得當(dāng)

對Km的邊任意涂于紅、藍兩色,Km中必存在紅色的Ka或藍色Kb.

我們把N(a,b;2)稱為Ramsey數(shù).簡記為r(a,b).由上面的定理可知:S為n元集合,對于任意給定的兩個正整數(shù)a和b，存在最小的正整數(shù)N(a,b;2),當(dāng)n≥N(a,b;2)時,把S的所有2元子集放入兩個盒子,則或者有a個元素其所有2元子集全在第一個盒子里，或者有b個元素其所有2元子集全在第二個盒子里．

Ramsey于1928年已經(jīng)證明了對于任給的整數(shù)a和b,Ramsey數(shù)的存在性.但是Ramsey數(shù)的確定卻是一個非常難的問題,以致于至今知道的還極少.(見P17表.)雖然難以確定，但關(guān)于它具有以下的一些性質(zhì)．性質(zhì)1為Ramsey數(shù)，則有性質(zhì)2對任意的正整數(shù),有證明令

下面只要證明對KN的邊任著紅、藍兩色，必存在紅色的Ka或藍色的Kb.設(shè)x為KN的一個頂點，與x關(guān)聯(lián)的邊有N-1條，對這些邊任意著紅、藍兩色,由鴿巢原理性質(zhì)2對任意的正整數(shù),有1.若至少有r(a-1,b)條紅邊.這些紅邊與x相關(guān)聯(lián)的頂點有r(a-1,b)個,在這些頂點構(gòu)成的完全圖中,必有一個紅色的Ka-1或一個藍色的Kb.若為紅色的Ka-1,則該紅色的Ka-1加上頂點x及x與Ka-1之間的紅邊,即構(gòu)成一個紅色的Ka;否則，就有一個藍色的Kb.2.若至少有r(a,b-1)條藍邊.這些藍邊與x相關(guān)聯(lián)的頂點有r(a,b-1)個,在這些頂點構(gòu)成的完全圖中,必有一個紅色的Ka或藍色的Kb-1.若為前者結(jié)論成立,若為后者,則該藍色的的Kb-1加上頂點x及關(guān)聯(lián)的藍邊即構(gòu)成一個藍色的Kb.所以有性質(zhì)3對任意的正整數(shù),當(dāng)都為偶數(shù)時,有證明考慮棄由t個點趕所構(gòu)網(wǎng)成的隊完全扭圖Kt，將敵它的率邊涂約以紅菊、藍氧兩色,我們裕證明籍必定得存在胞紅色常（藍戒色）指的Ka或存在糟藍色炒（紅言色）Kb,為此,我們監(jiān)從t個點沸中選懷取一鈔個點v0,它與付其余t-1個點捏所連而成的t-1條邊糕中，忽一定喪出現(xiàn)溜有多浮于2m-1條紅餡色邊口，或溝少于2m-1條紅輩色邊竭．因為狼否則橋從每都一頂或點引鴨出的曾紅色爐邊都痕是2m-1條,這時蓄從t個頂率點引心出的極紅色伸邊將棉共(2m-1)激(2m+2l-1妨)有條.由于哈其中燥每條員邊有耽兩個浙端點妹都被狹計算振了兩摟次,假設(shè)kt中有h條紅碑色邊,于是司便有產(chǎn)生示矛盾歡，所腐以從v0引出旺的t-局1條邊漂中，商一定刑出現(xiàn)釀有多渴于2m-1條紅勉色邊爽，或煩少于2m-1條紅柜色邊桐．對上亂面的看兩種漏情況攔分別絲式討論茅如下各：(1瞧)從v0點引恒出的t-1條邊格中紅封色邊興多于2m-1條，峰即至歡少有2m條．我們禿考察墾由2m條紅載色邊衛(wèi)所有罪異于v0的端期點構(gòu)磚成的與完全垃圖K2m.因為,所以K2m中必愈定存紛在紅征色的Ka-1，或韻存在準藍色秘的Kb,若為丑后者革結(jié)論株成立,若為灣前者,則紅灶色的Ka-1連同v0一起劉便構(gòu)應(yīng)成了培紅色倚的Ka,結(jié)論干也成辣立。(2具)從v0點引坊出的t-1條邊避中紅角色邊腹少于2m-1條，躬即至剃多有2m-2條,于是陰藍色大邊至宗少有2l條，我們炭考察明由2l條藍畜色邊茂所有抖異于v0的端休點構(gòu)辯成的框完全客圖K2l．因為,所以K2l中必讀定存略在紅口色的Ka，或挪存在信藍色潔的Kb-1,若為躁前者寬結(jié)論鈔成立,若為運后者,則藍芽色的Kb-1連同v0一起柿便構(gòu)歐成了村藍色擺的Kb,結(jié)論咳也成幣立所以佩有性質(zhì)4對任意的正整數(shù),有證明學(xué)對a+才b進行諒歸納.當(dāng)a+墾b≤5時，取有a=2或b=2冠,由性腦質(zhì)1結(jié)論山成立.假設(shè)渡對一柱切滿舌足5≤a+先b<m+跟n的a,丟b都成宿立，再下面勇證明a+孝b=m+裕n時結(jié)并論也擋成立.由歸浩納假主設(shè)有由歸涂納法離，結(jié)觀論成儉立.世界徹各國諸的數(shù)非學(xué)競慣賽經(jīng)銀常出摔現(xiàn)與Ra筒ms園ey問題通有關(guān)池的題劇目.例1（波交蘭）虎平面宅上有6個點甲，任彈何3點都仍是一買個不繡等邊源三角忠形的景頂點癢，則叼這些吵三角堂形中賊，有誤一個腦三角岸形的少最長穩(wěn)邊是四另一海個三興角形偵的最夸短邊.證明趙：以塑平面狡上這6個點圾構(gòu)作結(jié)完全揚圖K6,并按射如下貨方式訂用紅確、藍睛二色低對K6的邊浪著色載：對K6的每歇個三嫌角形纏的最忠短邊巴都涂藥上紅播色，撐剩余雖的邊蛋再涂羊上藍號色.由定經(jīng)理1，此K6中必旬有同隙色的到三角構(gòu)形.由于皂該三城角形袖的最私短邊為紅段色,因此郵這個糊同色策的三死角形求是紅桃色的縫三角誼形.而這犁個三吐角形的腿最長碼邊為拴紅色,按涂嬌色方拌法知,必是尸另一根個三南角形篇的最敗短邊.所以,有一版?zhèn)€三濤角形害的最管長邊斬是另麻一個串三角林形的蠢最短滿邊.19貧64年第徹六屆郊國際污數(shù)學(xué)兩奧林敵匹克般數(shù)學(xué)誓竟賽掏有這體樣一肆道試蟻題：有17名學(xué)雜生互點相通鎮(zhèn)信討諷論3個問灶題，強但每研對學(xué)嗚生間叨僅討無論其晚中一剖個問藏題，綿證明洞至少道有3名學(xué)鐮生間愁彼此呀討論愿的是受同一熄個問賤題.這個濤問題記是前澡面Ra憂ms除ey問題1問題2的推伸廣，劣把它梅轉(zhuǎn)化奇為圖嬸的染菠色問牧題，嶼可得愚到下銜面定模理：定理4對17階完竭全圖K17的邊塊任涂跟紅、甲藍、藏黃三址色，休則必暴存在弄一個飾同色何的三零角形.證明設(shè)是K17的17個頂點，現(xiàn)考察K17中從v0出發(fā)虹的16條線述段,當(dāng)對疏它們截涂于報紅、比藍、府黃三衡色時,由鴿肺巢原庸理知抹至少譜有6條邊