第六章高階譜

第六章高階譜分析6.1三階相關(guān)和雙譜的定義及其性質(zhì)

6.2累量和多譜的定義及其性質(zhì)6.3累量和多譜估計(jì)

6.4基于高階譜的相位譜估計(jì)

6.5基于高階譜的模型參數(shù)估計(jì)

6.6利用高階譜確定模型的階

6.7多譜的應(yīng)用第六章高階譜分析6.0引言我們先回顧一下前面的所學(xué)的知識(shí)。維納Filter，自適應(yīng)信號(hào)處理，現(xiàn)代譜估計(jì)等，都是用信號(hào)模型分析法，代替了信號(hào)波形分析法。在這些理論中，認(rèn)為：一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)是由圖6-1所示信號(hào)模型產(chǎn)生：

V(n)u(n)y(n)x(n)H(z)[h(n)]∑圖6-1隨機(jī)信號(hào)的模型其中：①是均值為零，方差為的高斯（正態(tài)）白噪聲。②是線性時(shí)不變系統(tǒng)，具有最小相位。則信號(hào)的譜與模型參數(shù)有如下關(guān)系：

（6.1）

③模型中，還假設(shè)：加性測量噪聲是高斯白噪聲，其均值為0，方差為1，且與信號(hào)統(tǒng)計(jì)無關(guān)，即不影響信號(hào)的譜形狀，即：

（6.2）

從上面的式子，可以看出，功率譜（及相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)）是不含信號(hào)的相位信息的→被稱為“盲相”的。而在實(shí)際中，往往非高斯，不是最小相位，甚至是非線性的，也往往不是白色的。這就需要用高階譜來分析信號(hào)。6.1三階相關(guān)和雙譜的定義及性質(zhì)一、定義

設(shè)為零均值，三階實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列，其三階相關(guān)函數(shù)為：

（6.3）

（2nd-order它的二維付里葉變換就是雙譜（Bi-spectrum）。

bi-spectrum

（6.4）二、性質(zhì)⒈三階相關(guān)函數(shù)的對稱性（symmetryProperties）（6.5）這可以通過定義式，直接證明。00032101231/8平面內(nèi)值！意義：只要知道圖中由，兩直線在第一象限中所限定的無限三角形內(nèi)的，就可以得知整個(gè)平面內(nèi)所有的的值。⒉雙譜的對稱性，周期性和共軛性：當(dāng)為實(shí)序列時(shí)，由定義和三階相關(guān)函數(shù)的對稱性很易證明！說明意義：（共軛性：ConjugateSymmetricProperties）

雙譜的對稱性和周期性說明，只要知道如圖中的陰影部分內(nèi)的，就可知道整個(gè)平面內(nèi)各點(diǎn)的值。⒊確定性序列的雙譜設(shè)為有限長確定性序列，其雙譜為：（6.6）

其中：0π-ππ平面內(nèi)的值可以這樣來證明：

的三階相關(guān)函數(shù)為

∴其雙譜為：⒋雙譜中的相位信息

由，并設(shè)：

則有：（6.7）例：求一正弦波

和含直流分量的正弦波

的雙譜。解：

的頻譜是兩個(gè)的函數(shù)

由雙譜定義式（確定序列）：的雙譜，只在的公共交點(diǎn)上有非零值（即三個(gè)因子全不為0時(shí)，）有三組線：，0三組線沒有共同交點(diǎn)∴

的頻譜為同理，只是這時(shí)每組直線變成三根：

0

從上例可見，雙譜可以顯示一個(gè)系統(tǒng)的對稱性，即輸出中有無直流分量。實(shí)際上，一雙譜還可以顯示系統(tǒng)是否顯現(xiàn)非線性，輸出將含有高次諧波，如

等。若

除了含有

外還有，則每組直線將含四根，他們有六個(gè)公共交點(diǎn)。

利用這個(gè)特點(diǎn)，即可監(jiān)測機(jī)械系統(tǒng)是否發(fā)生損壞而產(chǎn)生高次諧波振動(dòng)。6.2累量和多譜的定義及其性質(zhì)前面討論了三階相關(guān)及其付里葉變換——雙譜。它不是將K階相關(guān)orK階矩定義為K階譜，而是將與高階矩相關(guān)的參數(shù)——累量作為高階譜的付氏變換對。只是特別的，三階累量正好與三階相關(guān)等同。6.2.1隨機(jī)變量的累量（probabilitydensityfunction）設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為，則的特征函數(shù)為：

（6.8）TaylorSeries（泰勒）展開：這里：，為的階累量例：考察具有特殊地位的高階隨機(jī)變量的累量解：的概率密度函數(shù)為其特征函數(shù)：

結(jié)果表明，高斯隨機(jī)變量的二階以上的累量為零。這是因?yàn)槎A以上的矩不提供新的信息。二、畜累量匪與矩旗的關(guān)谷系先將與按泰步勒級(jí)盡數(shù)展俯開代入寫成頂：（6.爺10宅a）又由遺累量培定義棟式，還可盲寫成放：（6.滑10酷b）比較耕這兩唐個(gè)式痕子：項(xiàng)次齡：可見創(chuàng)：二嫁、三劑階累助量分型別就能是二厲、三斜階中貿(mào)心矩叼。當(dāng)嘉均值慰為零塑時(shí)，始就是涼二、課三階帶相關(guān)慨。但翼四階匹及其股更高華階累涼量相業(yè)應(yīng)的厘中心眠矩。累量裳的物西理意零義：一階白累量西是隨真機(jī)變缸量的違數(shù)學(xué)踢期望禽，大肯致地巖描述關(guān)概率士分布城的中懇心。二階僅累量膠是方想差，料描述敘了概領(lǐng)率分烘布的趣離散高程度躍。三階滑累量慌是三慰階中送心矩掠，描醋述了低概率凳分布鐵的非驢對稱詳性。定義每：（無褲量綱趴）為偏真態(tài)系假數(shù)，抹或偏極態(tài)（送歪斜痛度）磨。顯然境，正后態(tài)隨舊機(jī)變廉量的偏稍態(tài)（）設(shè)，對四閑階累季量的哥分析艷（正疏態(tài)隨削機(jī)變欄量）而正桑態(tài)隨踩機(jī)變噸量的秤四階膏矩為輸：說明極：累戶量是爽任意架隨機(jī)知變量謀的矩琴與正釀態(tài)隨辭機(jī)變伸量的損同階展矩的妙差。用均溪方差神的四認(rèn)次方除四版階累塌量，沫記為Ku睜rt認(rèn)os喂is踩峰度為峰礦態(tài)，笛顯然側(cè)正態(tài)冤分布童=0正態(tài)分布比正態(tài)分布尖銳的直線比正態(tài)分布平坦的曲線x0f(x)6.著2.則2隨機(jī)霞過程涉的累歷量考慮依隨機(jī)睬序列房誠的士階雙累量堆。設(shè)訪矢量，頃是別隨機(jī)港矢量棉；矢尖量鐵，凳是的特袍征函脆數(shù)的蟲自變敢量。的酬階霉累量吊定答義為泊累量甲生成功函數(shù)剩的泰伶勒級(jí)屑數(shù)展似開式劑中象的系買數(shù)。排其中扎累量功生成會(huì)函數(shù)休為即（6.木11）隨機(jī)掉過程吐的累攤量與棵前面燦討論傭的隨提機(jī)變份量的尾累量溪類似雹，只奸是用鞠矢量遷代替而了標(biāo)夸量，對所以爛它們瓦所用慮的運(yùn)勇算方眨法和哪所得勸到的賀結(jié)論照都是秩類似番的。6.鄰2.廚3多普李的定拴義設(shè)籍為罵平穩(wěn)朵隨機(jī)蟻過程勝，其笑階累渾量竊是絕陣對可藝和的旦，則凈的路階裂譜植定義創(chuàng)為同階翁累量嫁的際重模傅里概葉變鋒換，閃即通常本把譯的昌稱萌為高福階譜前或多突譜，驗(yàn)特別壁地，歇將三無階譜留稱緣瑞為雙固譜，繪四階滾譜電稱綢為三按譜。6.掃2.漢4累量掘和多拴譜的惰性質(zhì)1、熊累量在具有盾對稱許性2、線相互喊獨(dú)立伐的兩火隨機(jī)普序列邪的組膽合序尊列的嶺累量扣等于完零3、昂隨機(jī)孩信號(hào)繡通過恐線性涌系統(tǒng)寇后的剖累量晉等于衣隨機(jī)粱信號(hào)為的累沒量系琴統(tǒng)沖艦激響伶應(yīng)的磚累量巴的卷皺積4、那信號(hào)念的高蠢階累斃量能露夠決彼定模云型的緞沖激姐響應(yīng)6.德3累量密和多希譜估洲計(jì)在信艙號(hào)模悠型中宰，信乎號(hào)勁的糞累量祖可根寒據(jù)式孔（6.戲17顧b）由狐信號(hào)贏模型扒的沖貿(mào)激響仔應(yīng)各來計(jì)克算。揭但在臘許多嘩實(shí)際趨應(yīng)用何中，贈(zèng)信號(hào)縮慧的累勇量只釋能夠捐由測女量到遭的有地限長堡數(shù)據(jù)紫序列領(lǐng)來估刻計(jì)。而結(jié)合厘第四侮章中承自相命關(guān)函希數(shù)的盡估計(jì)密式（4.補(bǔ)5），揉也可文以用寨時(shí)間鑄平均辰代替緩統(tǒng)計(jì)處平均窯，來驕求得班累量季的宅估計(jì)稱為隔取樣舒累量技。例欲如均捐值為飽零的臘信號(hào)距的三衰階取嚷樣累停量為（6.跑30）式中氣，站是在記區(qū)間R內(nèi)的填取樣躁數(shù)。救四階絡(luò)取樣恰累量竊要復(fù)其雜一賽些，鼠根據(jù)搞式（6.拖12）可代知，超四階消累量晝與四潔階相杯關(guān)和鋒二階竿相關(guān)武有關(guān)會(huì)，因揪此，營四階陡取樣紅累量是定義擠為（6.請31）式中消，二搜階累章量的妹估計(jì)利就是產(chǎn)第四木章中撞式（4.腐5）所心表示譯的自抗相關(guān)憶函數(shù)包的估飾計(jì)—從—取允樣自圍相關(guān)氏。累量悉估計(jì)僚的計(jì)零算量鴨比自篩相關(guān)腥估計(jì)粘大得暑多，全而且諸估計(jì)闖方差溝也大爛得多銀。通委常應(yīng)方用分博段、賴加窗牛等平鈔均、劍平滑澤技術(shù)柿來減海少估遙計(jì)的刺方差梁。6.扛4基于酒高階簽譜的劃相位畫譜估董計(jì)自相針關(guān)函姻數(shù)丟民失了感信號(hào)責(zé)的相冊位信荷息，趙而由催累量鬧可以洗得到賣信號(hào)齒的相略位譜喉。在榮圖6.豈1所示然的信滋號(hào)模咸型中羨，把谷隨機(jī)站信號(hào)劣看成雹是由役白噪平聲瞞激敬勵(lì)線泰性系鄙統(tǒng)屈產(chǎn)口生的昂。設(shè)描非最換小相長位系治統(tǒng)表遮示為盟，疲其中舒是刃相位棵譜。在實(shí)感際應(yīng)鈔用中植，使詳用與其三階砍累量傅對應(yīng)伐的雙甚譜和四旁階累太量對濫應(yīng)的乳三譜知就盟夠了酸。根點(diǎn)據(jù)式殿（6.究18茶b）,紹它們?nèi)雠c系多統(tǒng)頻在率特誘性襪有霜如下相關(guān)系側(cè)：（6.運(yùn)32）（6.迎33）根據(jù)蓬式（6.垃32）或竿式（6.勇33），懶可由翅估計(jì)轉(zhuǎn)得到階的棒或推算家出系騎統(tǒng)勻的相耗位譜憂。一國般有潑迭代孩算法陳和矩炊陣偽英逆算法每兩種剃估計(jì)畝相位霸譜的覆方法饅，下支面介巴紹矩竄陣偽供逆算已法。（1鵲）由寸推蒙算在實(shí)御際應(yīng)且用中受，都泳是用梨離散決值進(jìn)違行計(jì)則算。件式（6.逼32）的清離散善形式擾為（6.梅34）式中鬧的橋?qū)?yīng)買于襪。堡這里旗，香是壺和逃的取粗樣間左隔，引即假禾設(shè)它忠們的挺取樣器間隔舞相等符，表副示為。當(dāng)考或被等于N時(shí)，燦對應(yīng)推的穗或薪等夸于勾。踢取初湯值。因雷此，廚和星離散教化后漫分別抵用整結(jié)數(shù)切和戚表示。在籃圖6.役2（皂b）的陰倘影區(qū)榜域所擔(dān)表示聯(lián)的雙借譜的紅主值伯區(qū)域中，亞的取車值為恐；咽的取去值為終。由式壓（6.既34）可深以得什到方銜程組將以倚上方負(fù)程組攜寫成粗矩陣濤形式式中可以全證明剩，矩的倒秩等除于N-最1，可揉以消屠去提中勺與寸有煙關(guān)的雷最后媽一行竟，便朱得到奇一組度滿秩咸方程式中湊，矩陣扶的維鑄數(shù)決察定于N是奇辣數(shù)還陡是偶擱數(shù)。答當(dāng)N是奇跨數(shù)時(shí)遼，維抄數(shù)為盈；破當(dāng)N是偶盜數(shù)時(shí)羨，維宮數(shù)為最后臭，通侮過偽彼逆求墨解，反得到(2車)由艱推算式（6.密33）的熊離散明形式殖為定義取佩,大初嘆值爸，有寫成囑矩陣煎形式式中抖，且矩陣冊是娘的正毒定矩茶陣，粱對其際直接商求逆尸便得睬到相佛位譜6.忽5錫基油于高配階譜械的模銜型參即數(shù)設(shè)斬計(jì)6.目0嫌引狂言根據(jù)維已知疼的有嗓限長倆的數(shù)競據(jù)序涉列來根估計(jì)狡圖6羊.1屬所示褲的隨難機(jī)信卷號(hào)模個(gè)型的年參數(shù)筆，稱篩為模犬型參夕數(shù)估乏計(jì)。學(xué)模型灘可以怨是A伴R模狀型、紗MA賞模型憶和A泛RM冰A模長型，弄估計(jì)也它們誦的參衰數(shù)時(shí)喊，要婦依據(jù)治一定翁的準(zhǔn)掀則，廈例如擴(kuò)通常呈比較勸多地怖采用攻最小題均方宮差準(zhǔn)廟則。卷第四旬章討珍論基鴨于自遞相關(guān)庭函數(shù)鵲的模亞型參借數(shù)估抗計(jì)問杯題。勤在那濁里，報(bào)估計(jì)口得到鎖的模病型參悅數(shù)僅摸與信側(cè)號(hào)的具自相宜關(guān)函炕數(shù)或刻功率披譜包但絡(luò)相牢匹配宰，只茶適合緩于高勸斯隨尚機(jī)信財(cái)號(hào)（悅因?yàn)槌罡咚勾筮^程恩僅用圓二階垂統(tǒng)計(jì)車量就期能夠劇完全框加以設(shè)描述啟）。魯基于私自相煌關(guān)函束數(shù)的我模型摟參數(shù)架估計(jì)蘭存在合以下仇幾個(gè)鞠問題提。（1苗）若明要估波計(jì)非蛋高斯巾信號(hào)耀的模基型參斥數(shù)，大那么畢僅僅湊考慮斗與自弄相關(guān)行函數(shù)解相匹噴配，扯就不桐可能牲充分累獲得湊隱含廊在數(shù)災(zāi)據(jù)中譯的信籠息。（2膝）若籃信號(hào)耳不僅然是非狐高斯腹的而咐且還凍是非詠?zhàn)钚∨辔煌玫模心敲答埐捎霉S基于東自相征關(guān)函略數(shù)的載估計(jì)自方法洋所得談的模券型參逐數(shù)，睜由于搬它只敬能是料最小償相位呢的，哲所以漠反映焰不出識(shí)原信召號(hào)的命非最濁小相邊位的蛋特點(diǎn)濟(jì)。（3摔）當(dāng)菊測量箏噪聲嗎較大萍，尤廈其當(dāng)蜘測量提噪聲冶是有半色噪萍聲時(shí)窗，基糾于自堅(jiān)相關(guān)臣函數(shù)尋方法晴所得細(xì)的模劃型參慎數(shù)有屠較大款的估越計(jì)誤剖差?；跔幐咚故ёV的阻模型羞參數(shù)艷估計(jì)剪方法扎能夠肆有效飼地解欣決上貼述三釣個(gè)問居題?？紤]脊圖6縱.1救所示滑的信頭號(hào)模參型，志現(xiàn)在爽假設(shè)嗚，圖忙中的是平灑穩(wěn)非瓜高斯殊白噪要聲序吩列，；姐是高坑斯有數(shù)色噪影聲；墓是底有理匠傳輸沫函數(shù)框，其差禽分方果程如膠式(6害.2妄4)所示陵。將式（6咱.2畫5）并、式菜（6廊.2抓6）域和式慚（6閣.2俘8）合寫怖成一擦個(gè)公明式如社下：該式冷在形共式上哀類似兔于式猶（4.股8）。避考慮梢到殘，是因屠果的貞，即戀當(dāng)然時(shí)上膏式右孤端等糊于零威，便鵝可從巖上式唱得到赤所謂懂高階平Y(jié)u蹦le待-W鐘al殃ke滋r，劣方程街如下蜘：，，拐（6.智35）下面負(fù)分別扛討論切基于烘高斯霉譜的AR里、M蕩A和斗AR映MA模型真參數(shù)乎及階冶數(shù)的唱估計(jì)望。對赤各種長算法寸的復(fù)池雜程抄度、范抗噪蟻能力正及它面性質(zhì)這則不鞠作深鍋入討懇論。6.歌5.各1駝A葵R模型披參數(shù)雷估計(jì)令A(yù)R華MA模型寺的差潑分方幟程式勁（6.極24）中累的納，堵就得蝦到模撐型。脈這種脫情況道下，概高階然Yu令le屬-W丸al模ke紐奉r方廈程式百（6.僵35）成常為式中折，消是一沃個(gè)取良任意暫值的眠參量扔，搖是閱信號(hào)謝階累量處的一恭維“給切面托”，風(fēng)即在撞中，俊僅有折是自懸變量，束其它遲參數(shù)熟均由為固薦定值喝。上賣式中誘取個(gè)線香性方夾程聯(lián)擠立，械令調(diào)，則邀上式儀可表稀示成其中和矩陣誦具賞有T陵oe革pl買it掌z性拴質(zhì)，歇參數(shù)頓的錫選擇臟應(yīng)保婆證雅的晴秩為砌，獄從而地可解激出囑個(gè)稻變量掉。旗但這健個(gè)問鳥題的夸求解圖尚無寧一般覽性結(jié)叨論。澤通常角為“旗安全千”起英見，欠取班個(gè)邪一維滔切面射，即潤取丟；取透；栗將對球應(yīng)的據(jù)線性嘩方程襪聯(lián)立逝求解室，得妥到星。雀在超常用僚的三憤階和乘四階旬累量哲Yu青l(xiāng)e溉-W黃al嘴ke雁r方米程中氧，系營數(shù)分粘別為和由于優(yōu)基于車?yán)哿勘硜砉狼矣?jì)AR模型威參數(shù)續(xù)的方月法，絕也歸等納為禽求解晨Yu園le頁-W事al瀉ke啄r方管程，活因此段，這昏種方椒法與遍基于增自相渴關(guān)函禿數(shù)估衣計(jì)AR模型兔參數(shù)棄的方借法具撫有類段似的昌估計(jì)聽性質(zhì)步，同月時(shí)也辛同樣洗存在禍著估首計(jì)的穩(wěn)穩(wěn)定安性問揚(yáng)題。與4.受6節(jié)中秒討論繭的AR譜估但計(jì)性表質(zhì)相芝類似委，AR過程毅的多沾譜估敗計(jì)與牌已知哈的多捐譜相哈匹配既程度騎，也老可以朽用線幟性預(yù)踢測誤劣差的廳多譜開來度地量，黨同樣況也可待以用匪多譜傭的平寺坦度框來衡揚(yáng)量。篩若用賭前個(gè)防值生作線珍性預(yù)米測（是見式4.跌42）即則預(yù)凈測誤蓬差為根據(jù)擺式（6.型18鋤b）可縮慧寫出礎(chǔ)預(yù)測傅誤差秩的淹多譜庭為若線切性預(yù)族測系高數(shù)柏，使和得上式碧中黎為一停常量羞，則窄有（6.逼36）即確殃實(shí)是限由的崇非正父態(tài)白幸噪聲喂激勵(lì)植一個(gè)滅參數(shù)偷為的AR過程草所產(chǎn)生容的。舒因此橫，預(yù)游測誤隊(duì)差的騰多譜嚴(yán)的平徒坦程蓬度可斗以作仁為AR過程汁與實(shí)盒際多叢譜接亂近程多度的陣度量堡。另一問方面輸，用影多譜捆來估營計(jì)AR模型酷參數(shù)鄉(xiāng)豐，也昆存在岔著穩(wěn)升定性繼問題妥。在碌用功恥率譜應(yīng)估計(jì)AR模型始參數(shù)既時(shí)，留為解子決穩(wěn)哨定性仿問題獎(jiǎng)，只據(jù)要把洽不穩(wěn)弓定的俘極點(diǎn)刺替換努成其互倒數(shù)母極點(diǎn)作（它尤們關(guān)沈于園愿是對婆稱的伍）就抗行了陶，因房誠而用饒多譜孫來估碌計(jì)AR模型洪參數(shù)體時(shí)，牲卻不餃能作充這種供替換講（即相將控?fù)Q成危）嗓，因愛為以在雙譜艷為例夏，而，可以般看出漿與頌并不語相等呆。對污其它禿高階醉譜也考是一嘉樣。些因此恒，用泉多譜構(gòu)估計(jì)AR模型應(yīng)參數(shù)價(jià)時(shí)，象必須艦用合挪適的吳方法險(xiǎn)把非卷穩(wěn)定陣極點(diǎn)雕變換盜成非腳因果AR過程旦。實(shí)托際上詢，非岸因果AR模型饒?jiān)谝坏刃┨佚R殊情撓況下悟，例如如，尤在天潔文信亮號(hào)、凱空間練信號(hào)告、地碌質(zhì)信棋號(hào)以蛛及被污加染了艙的圖疾像信砌號(hào)的抗處理莖中大父量得題到應(yīng)墨用。非因鴨果AR模型貍估計(jì)壁方法秋通常嘗有三壟種：娘全搜稼索法林，優(yōu)成化計(jì)忠算法偵和轉(zhuǎn)滔換為MA模型準(zhǔn)法。6.籠5.2卸MA模型砌參數(shù)徹估計(jì)對于身由第營四章匙中的辰式（4.斑11）所椅表示今的MA模型密，已掌有不童少用秒累量己方法析估計(jì)乏模型待參數(shù)嘗的方踏法。院這些鹽方法篩大致毯可分主為三弓類：但閉合炸解方好法，笛線性互代數(shù)孝方法臘和非現(xiàn)線性命優(yōu)化襯方法濃。式易（6.勒22）或跑式（6.懼23）就質(zhì)是閉原合解巡壽方法還的公笛式。究這種蜻方法冒抗噪愛音能港力差盆，而賓且沒賽有提些供任遣何關(guān)捐于估僵計(jì)誤王差和草修正析方差認(rèn)的信蝦息，竄因此射難以追實(shí)際繪使用提。但羅它有解理論隊(duì)分析內(nèi)價(jià)值尸。比識(shí)較而母言，玩線性短代數(shù)最方法崖最為務(wù)實(shí)用穿。優(yōu)鼓化方招法涉盟及非渣線性夸問題賄。因度而實(shí)拌現(xiàn)起鑒來比術(shù)較困播難。柿但近拳年來毅，有艙人提煌出用悼類人檔工神康經(jīng)網(wǎng)傳絡(luò)的閥并行絡(luò)結(jié)構(gòu)荷解非捕線性遇規(guī)劃秒問題知，從腔而可毛以實(shí)古現(xiàn)優(yōu)散化方帳法。需下面嫌討論咽后兩豬類算恩法。線性局代數(shù)碧法為了收得到盜基于逃累量萄的關(guān)挖于變畢量嗎的線趣性方僻程，瓣需要革利用休信號(hào)撥的二標(biāo)階統(tǒng)覆計(jì)量科與高腿階統(tǒng)喘計(jì)量顫之間咱的關(guān)落系。宣先考培察累扛量祝的一零維切醉面古：式中旅，m為參喜量，栽取任敲一數(shù)撐值。花例如尿，當(dāng)破時(shí)妻，是床的鬧一維他對角襲切面滾。林的傅翁里葉溫變換蕩記為應(yīng)，集其Z變換竄記為擇，即根據(jù)粒累量卡計(jì)算奪公式除（6.楚17生b）以忌及Z變換樂的性粗質(zhì)，賤上兩忙式可低分別珠表示君成上式遵代入務(wù)式（6.解38），賢得到（6.發(fā)39）式（6.岸39）給感出了池高階抓譜與射二階貌譜之駕間的酸關(guān)系岡，它玻對應(yīng)肥的時(shí)遇域表述達(dá)式半為（6.宜40）根據(jù)鼠累量脾的對制稱性貴，可害以只傾取其春主區(qū)妨域（摔參見基圖6.嚴(yán)2（煮b）的陰影蓬區(qū)域描），縫即取果。不若取松，則載式(6驗(yàn).4痛0)的右摩端僅油有一統(tǒng)項(xiàng)是座非零劃值，鄙于是漁得到債線性丑方程須組和（6.淹38）式（6.魄38）中摸，痛是滴的Z變換威，實(shí)恢際上符號(hào)語*表言示復(fù)敵卷積壇。再考管慮二氏階譜廳即秀功率宅譜深，售由式露（4.菜9）得屈知：或?qū)懣偝沙Ｓ皿w的三鹽階和于四階喂累量肚線性貞方程夏組分奸別為利用漸最小誘二乘費(fèi)法即秧可由乳上兩規(guī)式的雹任一招式子分解出做式中永的q涼+1個(gè)變攏量值腹和車。繭當(dāng)存含在測漏量噪輩聲時(shí)街，在此晚情況遺下，腐若，袋則可稀不需斑要知沉道。2、屠非線卻性優(yōu)宴化算具法優(yōu)化躬算法階有全蝴搜索鄉(xiāng)豐法和休非線系性最麻小二占乘法犯兩種喬方案記。全搜索迷法與搜前面烈介紹校的A幻玉R模睡型的執(zhí)全搜鴨索法增相同管，只床是需桶要將代皺之以墊。現(xiàn)才在討濃論非恐線性扁二乘塊法。以三里階累倒量為悠例，盤首先脆由N個(gè)已價(jià)知數(shù)辨據(jù)遠(yuǎn)來比估計(jì)繞三階幣累量決，得森到利用壩累量粉的對駐稱性圖質(zhì)，淹只需損要計(jì)殼算圖6.亭2（體b）的陰倆影區(qū)胞域（肌即主悟區(qū)域巾）中取的累格量，蒙即上托式中候的緣瑞和礦只取陳以下蠢點(diǎn)上縮慧的值咱：然后暫，調(diào)妨整q+孫1個(gè)參歌數(shù)劃和端使下迎式所羊示的局代價(jià)修函數(shù)筒最小宿：（6.趨41）調(diào)整磁參數(shù)旦可以蟻采用粉迭代奇算法本，如各最陡致下降敢法、撐牛頓喉法或勞Ma吩rq株na佳rd垃t-置he愉ve船nb喊er滋g等章。例磚如，記用最冊陡下隆降法式中應(yīng)，信是增勝益常幟量，伙由式琴（6廁.4隊(duì)0）爐得到這是癢一個(gè)抓非線另性最停小二拼乘方圓問題差，M醒en矩de旬l等慣人提誕出用慣人工智神經(jīng)朵網(wǎng)絡(luò)哭來實(shí)蟲現(xiàn)這請個(gè)問攪題的權(quán)求解騎。人光工神農(nóng)經(jīng)網(wǎng)塊絡(luò)將鍬在本否書第緞八章第中討斗論。6.濱5.漏3佩AR陵MA資模型聲參數(shù)載估計(jì)人們已搭提出藥不少鑒基于剪累量暑的A滅RM磁A模描型參搶數(shù)估善計(jì)方果法。抹下面衡介紹廳其中掘的三漁類方逗法：伸剩余租時(shí)間潛序列萌法、凍非線奶性優(yōu)拿化法容和相啊位恢賊復(fù)法豪。1、剩余縫時(shí)間兄序列歲法實(shí)際耽上這縱就是壟第四壟章4驕.1綠0.右2節(jié)榜中的車方法貢。這仿種方士法分救成三叼步來戴完成蘋。第一全步：吉估計(jì)星AR穿MA聾模型皮中的咽AR魄系數(shù)壯，繪可采增用最鞋小二購乘方習(xí)或A否R模漲型參賠數(shù)估毅計(jì)等產(chǎn)真法蓬來求魔解超癢定線許性方舉程組戴式（按6.及35野），伸其中姿取第二已步：蟻求剩鏈余時(shí)憂間序摧列型，其搏中欲是由摧AR等MA謎模型兵差分礦方程班決定許的信彎號(hào)，即是對燭的估挖計(jì)：式中青，單是威的估蒼計(jì)值點(diǎn)。現(xiàn)政在假晃設(shè)抹，覽則有就是貫說，鴿剩余怖時(shí)間榜序列揮是奴一個(gè)MA模型怪；第三飄步：霉用前呆面介匯紹的住任何款一種MA模型睬參數(shù)蛇估計(jì)經(jīng)方法斯估計(jì)蘆。2、非線宇性優(yōu)惑化法該方墨法與MA模型硬參數(shù)停估計(jì)勵(lì)的非溜線性歐二乘糖法相攤同，下也分皆兩步嶄進(jìn)行藝。第一套步：豬根據(jù)惠測量傷數(shù)據(jù)估計(jì)沸自相畢關(guān)函緞數(shù)(式(4.栗5))和累欠量(式(6.歪30)或式(6.片31))。第二圓步：宇設(shè)矢坊量求最腸佳估池計(jì)，使屬下式河表示冶的代籍價(jià)函頂數(shù)最小式中稍，為一夜常數(shù)純。3、相位逢恢復(fù)奶法首先規(guī)，基弦于二碗階統(tǒng)視計(jì)量拋（即判功率嚴(yán)譜）憐估計(jì)砍出一教個(gè)最甘小相拋位的建參數(shù)憂模型監(jiān)，然忙后，欣用各根種技刑術(shù)恢娛復(fù)相許位信墳息。斥下面伍介紹具三種躍恢復(fù)屯相位蚊的技?jí)判g(shù)。第一愛，全輝搜索六法。圈這種商方法負(fù)前面宋已經(jīng)垂討論鬧過。轎其具塌體步填驟是煩：首關(guān)先，特基于碎二階說統(tǒng)計(jì)喝量估窩計(jì)出團(tuán)最小槳相位頌?zāi)Ｐ?；然糕后，嫌將若霸干零京點(diǎn)映慌射到撞單位伙圓外肝，極移點(diǎn)不教動(dòng)，繡使代件價(jià)函出數(shù)(式(6.知37決))最小刺，從增而得達(dá)到非便最小閃相位仇系統(tǒng)。值編得注潛意的散是，架這種侍方法腳丟失杏了系濃統(tǒng)中的轉(zhuǎn)全通戚因子梳，稱酒為盲摧全通杜因子麻的方釋法。芹這是矩因?yàn)檗q第一忠步處演理中貓采用責(zé)的是博相關(guān)偉函數(shù)狠的信潑息（莖即二腫階統(tǒng)誓計(jì)量途）。穩(wěn)設(shè)某航一系凡統(tǒng)的為式中暈，是全辱通因題子，替它對勤幅度查特性看沒有塞任何千貢獻(xiàn)收，但卻揀提供張了部壓分相母位信苗息。臨只要澤采用梢了相喂關(guān)處刃理，畏全通游因子突就會(huì)亭被丟久掉。第二匆，相征位估兼計(jì)法盤。首松先基愁于二統(tǒng)階統(tǒng)肝計(jì)量酒估計(jì)敞出的模，即婦由得出。然季后基于高搜階譜尾估計(jì)的相鮮位譜。第三商，系甚統(tǒng)級(jí)乳聯(lián)法偉。將土最小蓋相位密系統(tǒng)分解少成一晶個(gè)最尿小相的位系悅統(tǒng)與一模個(gè)全踐通系話統(tǒng)的級(jí)叔聯(lián)?；趪@二階禮統(tǒng)計(jì)筆量來數(shù)進(jìn)行疲估計(jì)蘋，然后險(xiǎn)用作郵相位塑校正歐。與的功無率譜神相同環(huán)。6.孩6利用延高階春譜確驚定模島型的始階由于壤累量勁含有以相位近信息渴，且糖具有綿抗有證色高飲斯噪月聲的束能力等，所召以基泉于高閑階譜準(zhǔn)來確制定模疤型的愧階，脅比基趣于功悅率譜彩要可溜信。普但信跨息論拌中的噴一些檔準(zhǔn)則誕，如竄AI染C等暮是以勸二階粉統(tǒng)計(jì)熊為基血礎(chǔ)，禾而且陽應(yīng)用須了高委斯過啟程的救似然坑函數(shù)魯，所脊以這缸些準(zhǔn)元?jiǎng)t對港于有漫色高濤斯測兔量噪滿聲的地干擾幣便不槍適用荷。下伏面討紹論基囑于高潤階譜摩來確患定模型蔬的階夸的方戰(zhàn)法。慶至于模型寇和模型選的階拍的確禿定問真題，臣只不棉過是模型抄的特除例。高階賴Yu愛le以-W腰al甘ke赤r方虧程式夕（6慌.3要2)恢描述駱了A禾RM況A模趁型。鼠為了肯書寫連方便熟，以龍三階野累量栗為例鏟，并今注意躺到露，變聲量，將楚方程移寫成踩以下宅矩陣形式用：記為（6.銷42）若椒矩陣鴉的秩為震，則惹式（6.罰42）可概唯一蠟確定AR系數(shù)千。因膨此，咽選擇隸適當(dāng)溫的故，荷可使蓋得右為糟滿秩鋸。但猾是，鐵可以靈找到殲?zāi)承〢R王MA模型緣瑞，對繩所有烈的銜都撞不是燦滿秩頂?shù)摹Ｈ虼私?，取族累量回的湯個(gè)亭切面士：得出乖個(gè)聯(lián)傭立方胃程:為：上式鴉左端跑的肆的盡矩陣譯記為濱?？善鹨宰C態(tài)明，害矩陣有滿錢秩脂。將絮更加剛一般范化地啊表示縣為塊，上述奶結(jié)論燙仍然滿成立名，這濱里（6.門43）即是睬說，鹽的拉秩為紹，或炮者說涌，殲的觸非零匙奇異雖值有囑個(gè)（慶關(guān)于乎奇異參值分步解，冤見附爽錄6.國3）。根據(jù)弱上述瓶原理必，AR醒MA模型儉的階弦的確拌定，頂可按士以下竊步驟所進(jìn)行狗。第一痰步：項(xiàng)由先壁驗(yàn)知橫識(shí)給犬出俱和悶的筒上限乞和。握例如杰，在語陪音分它析中支，可氏以證咬明，六聲道唉的AR模型展的階的上降限；第二喪步：茶寫出然矩陣，取。根維據(jù)測靜量數(shù)億據(jù)估計(jì)捷累量；第三糧步：特對作奇披異值獸分解臣，非紙零奇蝴異值包的個(gè)要數(shù)即削為階趁數(shù)。實(shí)榆際上勾，由田于用茅估計(jì)遷值代替驗(yàn)真值，所最以所檢有的斜奇異鎮(zhèn)值從大悠到小閣排列快，都冬不為極零。羽選擇怒有效墊的AR模型的方菠法是倘找出邊差值統(tǒng)最大復(fù)的奇爺異值，以暗確定疏階數(shù)。實(shí)際扣上，指奇異論值分速解法銜還可滲以同外時(shí)被顫用來匆估計(jì)AR參數(shù)，它龜具有膚保留右全通廉因子字的特扔點(diǎn)。傲但這撤里不串進(jìn)行券討論辦，可后參閱普本章侄參考韻文獻(xiàn)[6挺]。關(guān)于MA模型故的階云的確認(rèn)定，糧有幾偵種不域同的擦方法列，如寧：由迫高階效譜相席位得梢到極匯零點(diǎn)于階數(shù)添差的奏方法敲，直胡接計(jì)膏算累踩量法坦等.下面嘗介紹灰直接鴿計(jì)算慌累量陳法。對于AR追MA模型飲，可脂先確塵定AR模型娃的階，并槍估計(jì)AR模型書系數(shù)，再纖用剩珍余時(shí)鄉(xiāng)豐間序援列方索法得服到模型胞，這凍個(gè)模禁型由扛方程蜓式（6.哈20）描叉述。洗很明兼顯，省最后蘿一個(gè)每非零揀累量睛的時(shí)子延就堆是階情數(shù)。以各三階分累量掘式（6.營21）為群例，控有6.闖7多藥譜的祥應(yīng)用多譜泛已廣邊泛地捏應(yīng)用州于海奮洋學(xué)怨、地乘球物池理學(xué)規(guī)、生焦物醫(yī)圾學(xué)、戴機(jī)械堪學(xué)等葡學(xué)科順領(lǐng)域斜，用極于經(jīng)鵲