專題20函數(shù)與等腰三角形的存在性問題（學(xué)生版）

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題20函數(shù)與等腰三角形的存在性問題解題策略解題策略經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】（2022秋?青島期中）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AB＝6cm，BC＝8cm，點E從點D出發(fā)，沿DA方向勻速運動，速度是2cm/s；點F從點B出發(fā)，沿BD方向勻速運動，速度是1cm/s．兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜4），請回答下列問題（1）當(dāng)t為何值時，EF∥AB？（2）設(shè)四邊形ABFE的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)t為何值時，四邊形ABFE的面積S等于矩形ABCD面積的？（4）當(dāng)t為時，△EFD是等腰三角形．【例2】（2022?佳木斯模擬）如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，以A為原點，AB，AD所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．正方形ABCD的邊長是方程x2﹣8x+16＝0的根．點P從點B出發(fā)，沿BC→CD向點D運動，同時點Q從點E出發(fā)，沿EB→BC向點C運動，點P的速度是每秒2個單位長度，點Q的速度是每秒1個單位長度當(dāng)點P運動到點D時，P，Q兩點同時停止運動設(shè)點P運動的時間為t秒，△APQ的面積為S．（1）求點C的坐標(biāo)；（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)△AQP是等腰三角形時，直接寫出點P的坐標(biāo)．【例3】（2022秋?前郭縣期中）如圖，對稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，其中點B的坐標(biāo)為（2，0），點C的坐標(biāo)為（0，4）．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖①，若點P為拋物線上第二象限內(nèi)的一點，且到y(tǒng)軸的距離是2．點M為線段CO上的一個動點，求△APM周長的最小值；（3）如圖②，將原拋物線繞點A旋轉(zhuǎn)180°，得新拋物線y'，在新拋物線y'的對稱軸上是否存在點Q，使得△ACQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【例4】（2022秋?法庫縣期中）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，四邊形ABCO是菱形，點A的坐標(biāo)為（﹣3，4），點（在x軸正半軸上，直線AC交y軸于點M．連接BM，AB邊交y軸于點H．（1）求MH的長；（2）如圖2所示，動點P從點A出發(fā)，沿折線．A→B→C方向以每秒1個單位的速度向終點C勻速運動，設(shè)△PMB的面積為S（S≠0），點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的情況下，當(dāng)點P在線段AB上運動時，是否存在以BM為腰的等腰三角形？如存在，直接寫出t的值；如不存在，說明理由．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一．解答題1．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E為對角線AC上的一個動點．（1）如圖①，連接BE作EF⊥BE交線段DC于點F，的值；（2）如圖②，連接DE，作EF⊥DE交射線BC于點F．①設(shè)CF＝y(tǒng)，AE＝x，當(dāng)點F在線段BC上時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)△EFC為等腰三角形時，求AE的長．2．（2022春?惠山區(qū)期中）如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝8．延長BC到D，使得CD＝BC，以AC、CD為鄰邊作平行四邊形ACDE，連接BE交AC于點O．（1）求證：四邊形ABCE為菱形；（2）如圖2，點P是射線BC上一動點（不與點B、C、D重合），設(shè)BP＝x，連接PO并延長，延長線交直線AE于點Q．①以P、Q、E、D四點圍成的四邊形面積記為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)△POC為等腰三角形時，求x的值．3．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）已知：如圖，在△ABC紙片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按圖所示的方法將△ACD沿AD折疊，使點C恰好落在邊AB上的點C′處，點P是射線AB上的一個動點．（1）求折痕AD長．（2）點P在線段AB上運動時，設(shè)AP＝x，DP＝y(tǒng)．求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出此函數(shù)的定義域．（3）當(dāng)△APD是等腰三角形時，求AP的長．4．（2022春?廈門期末）如圖，已知△ABC中，AC＝2，BC＝4，AB＝6，點P是射線CB上一點（不與點B重合），EF為PB的垂直平分線，交PB于點F，交射線AB于點E，聯(lián)結(jié)PE、AP．（1）求∠B的度數(shù)；（2）當(dāng)點P在線段CB上時，設(shè)BE＝x，AP＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)△APB為等腰三角形時，請直接寫出AE的值．5．（2020秋?郫都區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx+b與x軸交于點A，與y軸交于點B，已知OA＝OB＝6，點P是第一象限內(nèi)在直線AB上一點．（1）直接寫出k，b的值；（2）設(shè)P（x，y），求△OPA的面積S與x的函數(shù)解析式；（3）當(dāng)△POA是等腰三角形，求點P的坐標(biāo)．6．（2021?永嘉縣校級模擬）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，DB⊥BC于點B，E，F(xiàn)，G分別在AC，BC，AC的延長線上，連接BG，EF的延長線分別交BG，DB于點K，H．已知CE，CF，CG的長度分別為3t，4t，4t（0＜t＜1）．（1）求證：HB＝EA．（2）設(shè)y＝．①求y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式．②當(dāng)△HBK為等腰三角形時，求所有滿足條件的y的值．（3）如圖2，過點F作FP∥AC交AB于點P，連接KP交BF于點M．記△KPF，四邊形EFPA的面積分別為S1，S2．當(dāng)tan∠KPB＝時，求的值．7．（2020秋?伊通縣期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，動點E、F同時從點B出發(fā)，分別沿BA、BC的方向向終點A、終點C運動，點E的速度是1cm/s，點F的速度是2cm/s，當(dāng)一點到達(dá)終點后，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t（s），四邊形DAEF的面積為S（cm2）．（1）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)△DEF為等腰三角形時，求t的值．8．（2020秋?東城區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm，P是上的動點，設(shè)A，P兩點間的距離為xcm，B，P兩點間的距離為y1cm，C，P兩點間的距離為y2cm．小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，分別對函數(shù)y1，y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小騰的探究過程，請補充完整：（1）按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點、畫圖、測量，分別得到了y1，y2與x的幾組對應(yīng)值：x/cm01234y1/cm4.003.692.130y2/cm3.003.914.715.235（2）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點（x，y1），點（x，y2），并畫出函數(shù)y1，y2的圖象；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，①當(dāng)△PBC為等腰三角形時，AP的長度約為cm；②記AB所在圓的圓心為點O，當(dāng)直線PC恰好經(jīng)過點O時，PC的長度約為cm．9．（2020?西城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm．P是上的動點，設(shè)A，P兩點間的距離為xcm，B，P兩點間的距離為y1cm，C，P兩點間的距離為y2cm．小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，分別對函數(shù)y1，y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小騰的探究過程，請補充完整：（1）按照表中自變量x的值進(jìn)行取點、畫圖、測量，分別得到了y1，y2與x的幾組對應(yīng)值：x/cm01234y1/cm4.003.692.130y2/cm3.003.914.715.235（2）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點（x，y1），點（x，y2），并畫出函數(shù)y1，y2的圖象；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，①當(dāng)△PBC為等腰三角形時，AP的長度約為cm；②記所在圓的圓心為點O，當(dāng)直線PC恰好經(jīng)過點O時，PC的長度約為cm．10．（2020?長春模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（1，0）、B（3，0）（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，過點C作CD∥x軸，交拋物線于點D，過點D作DE∥y軸，交直線BC于點E，點P在拋物線上，過點P作PQ∥y軸交直線CE于點Q，連接PB，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，PQ的長為d．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)0＜m＜4時，求d關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；（4）當(dāng)△PQB是等腰三角形時，直接寫出m的值．11．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，將一個30°角的頂點P放在AB邊上滑動，保持30°角的一邊平行于BC，且交邊AC于點E，30°角的另一邊交射線BC于點D，聯(lián)結(jié)ED．（1）四邊形PEDC有可能為平行四邊形嗎？若可能，求出PEDC為平行四邊形時AP的長，若不可能，請說明理由；（2）設(shè)AP＝x，在移動的過程中，這個角和Rt△ABC重疊部分的圖形面積為y，試建立y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)定義域；（3）若△PED是等腰三角形，求AP的長．（請直接寫出AP的長）12．（2021秋?道縣期末）已知：如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點D是BC邊上的一個動點（不與B，C點重合），∠ADE＝45°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）設(shè)BD＝x，AE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)△ADE是等腰三角形時，求AE的長．13．（2022秋?肇源縣期中）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸交于點A（6，0），與y軸交于點B（0，3），與正比例的函數(shù)y＝x的圖象交于點C．（1）求一次函數(shù)的解析式及點C的坐標(biāo)；（2）請結(jié)合圖象直接寫出不等式組0＜kx+b≤2的解集；（3）在x軸上是否存在一點P，使△COP是等腰三角形，若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．14．（2022秋?鹿城區(qū)校級月考）如圖1，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點D在AB上且，點P，Q分別從點D，B出發(fā)沿線段DB，BC向終點B，C勻速移動，P，Q兩點同時出發(fā)，同時到達(dá)終點．設(shè)BQ＝x，AP＝y(tǒng)．（1）求AD的值．（2）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．（3）如圖2，過點P作PE⊥AC于點E，連結(jié)PQ，EQ．①當(dāng)△PEQ為等腰三角形時，求x的值．②過D作DF⊥BC于點F，作點F關(guān)于EQ的對稱點F'，當(dāng)點F'落在△PQB的內(nèi)部（不包括邊界）時，則x的取值范圍為．15．（2022秋?臨澧縣期中）如圖，一次函數(shù)y＝﹣2x+8的圖象經(jīng)過B（2，a），交y軸于點A．反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點B．（1）求反比例函數(shù)表達(dá)式；（2）將直線AB向右平移1個單位長度，得到對應(yīng)直線MN，求直線MN與反比例函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)；（3）將線段AB向右平移m個單位長度，得到對應(yīng)線段CD，連接AC、BD．在線段AB運動過程中，連接BC，若△BCD是以BC為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的m的值．16．（2022秋?靖江市校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延長線交BA的延長線于點G，CE的延長線交DA的延長線于點H，連接AC，EF，GH．（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）線段AC，AG，AH有什么關(guān)系？請說明理由；（3）設(shè)AE＝m．①△AGH的面積S有變化嗎？如果變化．請求出S與m的函數(shù)關(guān)系式；如果不變化，請求出定值；②請直接寫出使△CGH是等腰三角形的m值．17．（2021?銅梁區(qū)校級模擬）拋物線y＝﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖1，點P是線段BC上的一個動點，過點P作x軸的垂線與拋物線相交于點Q，當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形CDBQ的面積最大？求出四邊形CDBQ的最大面積及此時P點的坐標(biāo)；（3）如圖2，設(shè)拋物線的頂點為M，將拋物線沿射線CB方向以每秒個單位的速度平移t秒，平移后的拋物線的頂點為M′，當(dāng)△CBM′是等腰三角形時，求t的值．18．（2022秋?招遠(yuǎn)市期中）如圖，拋物線y＝﹣x2+mx+n與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，4）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出此時E點的坐標(biāo)以及四邊形CDBF的最大面積；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．19．（2022秋?西湖區(qū)校級期中）如圖1，我們把一個半圓和拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“蛋圓”，已知A，B，C，D分別為“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點，y＝x﹣3與“蛋圓”中的拋物線y＝x2+bx+c交于B，C兩點．（1）求“蛋圓”中的拋物線的解析式，并直接寫出“蛋圓”被y軸截得的線段BD的長．（2）“蛋圓”上是否存在點P使△APC是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．（3）如圖2，E為直線BC下方“蛋圓”上一點，連結(jié)AE，AB，BE，設(shè)AE與BC交于F，△BEF的面積記為S1，△ABF的面積記為S2，求的最小值．20．（2022秋?和平區(qū)校級期中）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A和點B，其中點A的坐標(biāo)為（﹣2，0），拋物線的對稱軸x＝1與拋物線交于點D，與直線BC交于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）若點F是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使四邊形ABFC的面積最大，若存在，求出點F的坐標(biāo)和最大值；若不存在，請說明理由；（3）平行于DE的一條動直線l與直線BC相交于點P，與拋物線相交于點Q，若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求P點的坐標(biāo)．（4）探究對稱軸上是否存在一點P，使得以點P，C，A為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的P點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．21．（2022春?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交于A（﹣4，0）、B（2，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式及頂點坐標(biāo)；（2）如圖1，連接AC，BC，若點M是第二象限內(nèi)拋物線上一點，過M作MN∥y軸，交AC于點N，過N作ND∥BC交x軸于點D，求的最大值及此時點M的坐標(biāo)；（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)取最大值時，將拋物線y＝ax2+bx+2沿射線AC方向平移個單位，得到新拋物線y'，新拋物線與y軸交于點K，P為y軸右側(cè)新拋物線上一點，過P作PQ∥y