勾股定理經(jīng)典例題(含標(biāo)準(zhǔn)答案)

2222222經(jīng)典例題析2222222類一勾股理直接法、在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，C=90°(1)已知，c=10求b，已知，b=9求c；(3)已知c=25，，求思點(diǎn)寫解的過程中，一定要先寫上在哪個(gè)直角角形中，注意勾股定理的變形使用。解(1)在ABC中C=90°在中C=90°在ABC，C=90°，c=25，舉反【變式】如圖∠B=∠ACD°AD=13,CDBC則AB的長(zhǎng)是多?【答案】∵°AD=∴

－

2

－12∴又∵∠ABC=90且BC=3∴由勾股定理可得=AC－3∴AB4∴AB的是4.類二勾股理構(gòu)造用、圖，已知：在

中，，，

求的長(zhǎng)思點(diǎn)：條件

，想到構(gòu)造含

角的直角三角形，為此作

于，則有，

，再由勾股定理計(jì)算出的，進(jìn)而求出的長(zhǎng).解：作∴

于，因（

，的兩個(gè)銳角互余）∴（在中如果一個(gè)銳角等于那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

，根據(jù)勾股定理，在

中，根據(jù)勾股定理，在

中，∴

舉反【式】如圖，已知：

，

，

于P.求：

/

222222解：連結(jié)BM，據(jù)勾股定理，在

中，而在

中，則根據(jù)勾股定理有∴

又∵（知∴在∴

中，根據(jù)勾股定理有，【變式】知：如圖，D=90，A=60°，。求：四邊形ABCD的積。分：如構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC或延長(zhǎng)DC交，延長(zhǎng)AD、交于點(diǎn)E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡(jiǎn)單。解：延長(zhǎng)BC交?！摺螦=∠°，∠B=90，∴°?！?，CE=2CD=4，∴=AE-AB-4=48

=

?！?CE-CD-2，∴

=

?！?AB·BE-ABCDABE

CD·DE=類型三：股定理的實(shí)應(yīng)用

（）勾定求點(diǎn)間距問、如

圖所示，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中明從營(yíng)A點(diǎn)出發(fā)沿偏東°方向走了然后再沿北偏西°方向走了到目的地C點(diǎn)。AC兩點(diǎn)之間的距離定目的地在地A的么方向。（1過B點(diǎn)作BE//AD

到

達(dá)點(diǎn)（）（）解：∴∠∠°30°+∠ABE=180∴°即△為直角三角形由已知可得：BC=500m，AB=

由勾股定理可得：（2在eq\o\ac(△,Rt)中

所以∵∴∠°∠°∠DAC=30即點(diǎn)在點(diǎn)A北偏東30°的方向舉反【變式】一輛裝滿貨的卡車，其外形高.5M，寬1.6M，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠問這輛卡車能否通/

過該工廠的廠門【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于CH．如圖所示，點(diǎn)D在離廠門中線0.8M處且⊥ＡＢ，與地交于H解OC1M(門寬度一)OD＝0.8M卡車寬度一半）在eq\o\ac(△,Rt)中由勾股定理得：CD＝＝０.６M，CＨ６＋２３＝.９（）＞５（M因此高度上有0.4M的量，所以卡車能通過廠門．（）勾定求短題4國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電費(fèi)過高的現(xiàn)狀前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊AB、、D，正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線分．請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線．

思點(diǎn)：答本題的思路是：最省電線就是線路長(zhǎng)最短，通過利用勾股定理計(jì)算線路長(zhǎng)，然后進(jìn)行比較，得出結(jié)論．解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則圖（1（2中的總線路長(zhǎng)分別為AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3圖（）中，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中同理

∴圖（3中的路線長(zhǎng)為

圖（4）中，延長(zhǎng)交于H，F(xiàn)HBC，BHCH由∠FBH＝

及勾股定理得：EA＝＝＝FC＞2.828>2.732

∴＝2FH＝－∴此圖中總路的長(zhǎng)為＝∴圖（4）連接線路最短，即圖4的架設(shè)方案最省電線．舉反【式】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm，高ＡＢ為，Ｃ上底面的直徑．一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，/

沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程．解根據(jù)勾股定理得（提問：勾股定理）∴AC＝＝答：最短路程約為１０．７７．

如圖，在eq\o\ac(△,Rt)ＡＣ中，ＢＣ＝底面周長(zhǎng)的一半＝１，≈１０．７７（股定理類四利用股理作為

的段、作長(zhǎng)為、、

的線段。思點(diǎn)：勾股定理得，直角邊為1的腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于就是，似地可作。作：如圖所示

，直角邊為

和直角三角形斜邊長(zhǎng)（1作直角邊為（單位長(zhǎng)）的等腰直角△ACB使AB為斜邊；（2以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角

。斜邊為

；（3順次這樣做下去，最后做到直角三角形

，這樣斜邊

、

、、

的長(zhǎng)度就是、、、。舉反【式】在數(shù)軸上表示

的點(diǎn)。解：以把

看作是直角三角形的斜邊，

，為了有利于畫圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù)，而10又1這個(gè)完全平方數(shù)的和，另外兩邊分別是和。作：如圖所示在數(shù)軸上找到A點(diǎn)使OA=3，作ACOA且取，以O(shè)C為半徑，以為心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即。類五逆命與股定逆理、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1原命題：貓有四只腳確）．原命題：對(duì)頂角相等（正確）．原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等）．原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等確）思點(diǎn)：握原命題與逆命題的關(guān)系。解：1.逆題：有四只腳的是貓（不正確）/

22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222逆題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．（確）逆題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上）總升：題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。、如Δ的三邊分別為b，且滿足a+b+50=6a+8b+10c判Δ的狀路撥要判斷ΔABC的形狀，需要找到a、c的系，而題目中只有條件a+b，故只有從該條件入手，解決問題。解：由a

+b

+c

2

，：a-6a+9+b-10c+25=0,∴(a-3)+(b-4)+(c-5)?！?a-3)

≥(b-4)

≥

≥0∴，b=4?！?5,∴a=c。由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形?？偵汗啥ɡ淼哪娑ɡ硎峭ㄟ^數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系在明中也常要用到。舉反【式】四邊形ABCD中，°AB=3，，，，四邊形ABCD的積。【答案結(jié)AC∵∠B=90°AB=3，∴（勾股定理）∴∵，AD∴∴°勾股定理逆定理）【變式】知eq\o\ac(△,:)ABC的邊分別為－,2mn,m為正整數(shù)且＞判斷ABC是否為直角三角形.分:本題是利用勾股理的的逆定理，只要證a+bc即證：形.【變式】圖正方形ABCD，E為BC中，為AB上點(diǎn)，且BF=請(qǐng)問與DE是垂請(qǐng)說明?！敬鸢浮看餌EEF。證明：設(shè)，則AF=3a，AB=4a,∴=BF+BE=a=5a；DE=CE+CD=20a。連接（如圖）DF=9a?！郉F=EF+DE∴⊥。/

所eq\o\ac(△,以)ABC是角三角AB。

222222222222222222222222222經(jīng)例精析型：勾定及其定的本用1若直角三角形兩直角邊的比是3，斜邊長(zhǎng)是20求此直角三角形222222222222222222222222222思點(diǎn)：直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長(zhǎng)度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。解：此直角三角形兩直角邊分別是3x，根據(jù)題意得：（3x+（）＝20化得x＝16∴直角三角形的面積＝×3x×4x＝＝96總升：角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解。舉反【變1等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，求它的面積?！敬稹咳纾冗匒BC，作AD⊥BC于D則：BD＝BC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）∵ABACBC＝（等邊三角形各邊都相等）∴＝在直角三角形中＝，即AD＝AB－BD＝4－＝3∴AD＝

＝ABC

BC·＝

注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長(zhǎng)為，則其面積為

a【變2直角三角形周長(zhǎng)為，邊長(zhǎng)為5cm，求直角三角形的面積?！敬稹吭O(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別是，y根據(jù)題意得：由（）得：＝，（）

2

＝49，+2xy+y

＝49(3)(3)－(2)，得＝∴直角三角形的面積是xy＝×12＝（cm）【變3若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是n+1，，，求。思點(diǎn)：先要確定斜邊（最長(zhǎng)的邊）長(zhǎng)n+3然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，由勾股定理可得：（）（）＝）化得n＝4∴n，當(dāng)＝－2時(shí)＝1<0∴n＝總升：意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊?！咀?以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（）A815、4，6、5，8，D，，40解：題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷，對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用

＝

+b

2

的變形b＝c－＝（－c+a）判斷。例如：對(duì)于選擇D∵8≠（）×（40∴以，39，40為長(zhǎng)不能組成直角三角形。同理可以判斷其它選項(xiàng)案【變式】四邊形ABCD，B=90AB=3BC=4CD=12，求四邊形ABCD的積。解：連結(jié)AC∵∠B=90°AB=3，∴（勾股定理）∴∵，AD∴∴°勾股定理逆定理）∴ABBC+AC·ABCDACD/

2類型二：股定理的應(yīng)、如圖，公路和路PQ在處匯，且∠＝°點(diǎn)A處一所中學(xué)，AP＝。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公MN上沿方行駛時(shí)學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？2思點(diǎn)要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A實(shí)上是看A到公路距離是否小于小于則影響，大于不受影響，故作垂線段AB并算其長(zhǎng)度）求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。解：作⊥，足為B在RtABP中∵＝°，∠APB＝30，＝160，∴＝AP。（在角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半∵點(diǎn)A到直線MN的離小于∴這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上PN方行駛到點(diǎn)處校開始受到響，那么AC，由勾股定理得：BC＝＝∴BC。同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處校開始脫離影響，那么AD＝100(m)，BD60(m),∴CD＝120(m)。拖拉機(jī)行駛的速度為:18km/h＝5m/st＝÷5m/s＝。答：拖拉機(jī)在公路MN上沿方行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為秒?？偵垂啥ɡ硎乔缶€段的長(zhǎng)度的很重要的方法若圖形缺少直角條件,則可以通過作輔助垂線的方法,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理舉一三【變式】如圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑花園內(nèi)走出了一條“路們僅少走_(dá)_________步路（假設(shè)2步1m踩傷了花草。解讀：他們?cè)瓉碜叩穆窞椋皆O(shè)走“捷徑”的路長(zhǎng)為xm則故走的路長(zhǎng)為－5＝又因?yàn)?步為1m所以他們僅僅少走了4路案【變】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。（1直接寫出單位正三角形的高與面積。（2圖中的平行四邊形ABCD有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形ABCD的積多少？（3求出圖中線段AC的長(zhǎng)（可作輔助線【答案）位正三角形的高為，積是。（2如圖可直接得出平行四邊形ABCD含個(gè)單位正三角形，因此其面積/

。

（3過A作AKBC于K（如圖所示在eq\o\ac(△,Rt)中，，故

類型三：學(xué)思想方法（一轉(zhuǎn)的想法我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪?，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為角三角形問題來解決．、如圖所示，△ABC是腰直角三角形，AB=AC，D是邊的點(diǎn)E、分是、AC邊的