不定積分例題及參考答案87427763教案資料

此文檔僅供學習和交流不定積分不定積分不定積分的概念性質(zhì)計算方法分分容概要主要內(nèi)容或dF(x)=f(x)dx，則稱F(x)為f(x)的一個原函數(shù)。f(x)的全部原函數(shù)稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為注：(1)若f(x)連續(xù)，則必可積；(2)若F(x),G(x)均為f(x)的原函數(shù)，則第一換元積分法 法t若有理函數(shù)為假分式，則先將其變?yōu)槎囗検胶驼娣质降暮停粚φ嫣幚戆辞闆r確定。本章在下一章定積分中由微積分基本公式可知---求定積分的問題，實質(zhì)上是求被積函數(shù)位與終的解決都歸結為對定積分的求解；而求解微分方程更是直接歸結為求不定積分。作用從這種意義上講，不定積分在整個積分學理論中起到了根基的作用，積分的問題會不會求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對這一章掌握的好壞。這一點隨著學習的深入，同學們會慢慢體會到！此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除此文檔僅供學習和交流此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除課后習題全解習題4-1接積分法的練習——求不定積分的基本方法。思路分析：利用不定積分的運算性質(zhì)和基本積分公式，直接求出不定積分！x2x思路:被積函數(shù)1=x，由積分表中的公式(2)可解。x2xx2x3x思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。x4思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。ln23思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。5x2+1x2+1此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除注：容易看出(5)(6)兩題的解題思路是一致的。一般地，如果被積函數(shù)為一個有理的假分式，通常先將其分解為一個整式加上或減去一個真分式的形式，再分項積分。xxxx思路:分項積分。x2xxx423思路:分項積分。★★(9)jxx思路:xxx=思路:xxx=？看到xxx=x2+4+8=x8，直接積分。解：jxxxdx=+C15.此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除思路:裂項分項積分。Cx2(1+x2)x21+x2x21+x2x★(11)ex1ex1ex1ln(3e)x3x3x3x3ln2ln32思路:若被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時，一般地先降冪，再積分。2222此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除思路:應用弦函數(shù)的升降冪公式，先升冪再積分。xC1+cos2x2cos2x22cos2x.sin2xcos2x.sin2xsin2xcos2x2+思路:注意到被積函數(shù)====j1+cos2xdx===sec2x+，則積分易得。222知識點：考查不定積分(原函數(shù))與被積函數(shù)的關系。解：等式兩邊對x求導數(shù)得：此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除1xf(x)=,：f(x)=1xx1x2知識點：仍為考查不定積分(原函數(shù))與被積函數(shù)的關系。思路分析：連續(xù)兩次求不定積分即可。11121ex★4、證明函數(shù)e2x,exshx和exchx知識點：考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關系。思路分析：只需驗證即可?！?、一曲線通過點(e2,3)，且在任意點處的切線的斜率都等于該點的橫坐標的倒數(shù)，求此知識點：屬于第12章最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關系。思路分析：求得曲線方程的一般式，然后將點的坐標帶入方程確定具體的方程即可。dxx(1)在3秒后物體離開出發(fā)點的距離是多少？？知識點：屬于最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不定積分)與此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除思路分析：求得物體的位移方程的一般式，然后將條件帶入方程即可。習題4-2★1、填空是下列等式成立。思路分析：根據(jù)微分運算湊齊系數(shù)即可。72122x5x5(7)1dt=2d(t);(8)dx=1d(tan2x);(9)dx=1d(arctan3x).tcos22x21+9x23分。知識點：(湊微分)第一換元積分法的練習。練掌握。此外第二類換元法中的倒代換法對特定的題目也非常有效，這在課外例題中專門介★(1)je3tdt思路:湊微分。33思路:湊微分。此文檔僅供學習和交流此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除520思路:湊微分。思路:湊微分。353x3353x32思路:湊微分。abat路:如果你能看到d(t)=dt，湊出d(t)易解。2tt思路:湊微分。思路:連續(xù)三次應用公式(3)湊微分即可。xlnxlnlnxlnxlnlnxlnlnx此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除思路:本題關鍵是能夠看到是什么，是什么呢？就是1+x2！這有一定難度！思路:思路:湊微分。解：sinxcosxsin2xsinxcosxsinxcos2xtanxtanxdxexdxdexdex思路:湊微分：===ex+exe2x+11+(ex)2思路:湊微分。22x此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除x=思路:由=x23x263思路:湊微分。思路:湊微分。思路:湊微分。1x441x441x441x44思路:湊微分。思路:湊微分。思路:經(jīng)過兩步湊微分即可。x2102x21021()22思路:分項后分別湊微分即可。此文檔僅供學習和交流此文檔僅供學習和交流1)d2x221)d2x22222x+1332342x21★★(19)2x21思路:裂項分項后分別湊微分即可。2x21(2222思路:分項后分別湊微分即可。(45x)25(45x)22545x41=1j1d(45x)412545x25(45x)225思路:分項后分別湊微分即可。(x1)100(x1)100(x1)100(x1)100(x1)10024=+C=+C★★(22思路:裂項分項后分別湊微分即可。x81(x41)(x4+1)2x41x4+14x41x4+1x81(x41)(x4+1)2x41x4+14x41x4+1xxxxx2+13思路:降冪后分項湊微分。224224思路:積化和差后分項湊微分。2102此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除思路:積化和差后分項湊微分。24244243xln10★★(29)jdxxC★★★★(30)jarctanxdx思路:湊微分arctanxdx=2arctanxdx=2arctanxd(arctanx)xxx。xx1+(x)2此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除★★★★(31)jlntanx 2解：jlntanx2解：jdx=j1解：方法一：思路:將被積函數(shù)的分子分母同時除以ex，則湊微分易得。方法二：思路:分項后湊微分方法三：思路:將被積函數(shù)的分子分母同時乘以ex，裂項后湊微分。此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除解：方法一:424x6+4424424x6+4424令x=，則dx=-dt。tt2：jdx=jt根(-1)dt=-1jd(4t6)=-1jd(4t6+1)x(x6+4)1+4t2241+4t6241+4t6t6t24x6解：方法一:xxxxxx-x2x8x6x4x21-x2此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除方法二：思路:利用第二類換元法的倒代換。1xdxdt。tt2：jdx=jt8(一1dt)=一jt8dt=一j(t6+t4+t2+1+1)dtt2tC7532t+17x75x53x3x21+x知識點：(真正的換元，主要是三角換元)第二種換元積分法的練習。思路分析：題目特征是----被積函數(shù)中有二次根式，如何化無理式為有理式？三角函數(shù)中，下列二恒等式起到了重要的作用。統(tǒng)限制在銳角范圍內(nèi)，得出新變量的表達式，再形式化地換回原變量即可?！铩铩?1)jdx思路:令x=sint,t<幾，先進行三角換元，分項后，再用三角函數(shù)的升降冪公式。22ctdt2★★★(2)jx2一9dxx此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除22x xx★★★(3)jdx(x2+1)3思路:令x=tant,t，三角換元。22jdxjsectdtjdtjcostdtsintCx+Cxsectsect1+x2★★★(4)jdx(x2+a2)3思路:令x=atant,t，三角換元。22(x2+a2)3a3sec3ta2secta2a2★★★★(5)jx2+1dxxx4+1思路:先令u=x2，進行第一次換元；然后令u=tant,t，進行第二次換元。2xx4+12x2x4+1xx4+12uu2+12此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除：jx2+1dx=1ju+1du=1jtant+1sec2tdt=1jtant+1sectdtxx4+12uu2+12tant.sect2tant22222uu22x2(與課本后答案不同)★★★(6)j54xx2dx2224232f1思路:求出的不定積分，由條件f(0)=1確定出常數(shù)的值即可。思路:由目標式子可以看出應將被積函數(shù)tannx分開成tann2xtan2x，進而寫成：n此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除n2n1n2n2n1n25434214242習題4-3思路分析：嚴格按照“‘反、對、冪、三、指’順序，越靠后的越優(yōu)先納入到微分號下湊微思路:被積函數(shù)的形式看作x0arcsinx，按照“反、對、冪、三、指”順序，冪函數(shù)x0優(yōu)先納入到微分號下，湊微分后仍為dx。1+x21+x21+x21+x21+x221+x2此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除22按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。22222222224222242242228216221722按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。3331+x2331+x2331+x2331+x2331+x23331+x23661+x23662思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。222222222按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除22按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。xx按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。222x122x122x122x122x12422★★(10)jln2xdxx2x思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。x2xxxxxx2xxxxx2xxxx按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。x此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除x2★★(12)jlnxdxx2x思路：詳見第(10)小題解答中間，解答略。按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可?！铩?15)jx3(lnx)2dx按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。444x4248488x488483284★★(16)jlnlnxdxx思路：將積分表達式dx寫成lnlnxd(lnx)，將lnx此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除xlnxxx按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。2224448482思路：先將cos2降冪得，然后分項積分；第二個積分嚴格按照“反、對、冪、思路：先將cos2降冪得，然后分項積分；第二個積分嚴格按照“反、對、冪、2三、指”順序湊微分即可。2222262622626262222222222222242224222★★★(20)je3xdx此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除思路：首先換元，后分部積分。按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可?！铩铩?22)jexsin2xdx按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：方法一：55方法二：22222此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除5x按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。x1+xx★★★(24)jdx思路：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。★★★(25)jxlndx按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除=1x2ln1+x+x1ln1+x+C=1(x21)ln1+x+x+C21x21x21xx21x★★★(26)jdx★★★(26)jdx然后分部積分2sinx22sinx222、用列表法求下列不定積分。成。我們?nèi)匀挥靡话惴椒ń獬?，不用列表法。此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。3333933按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。x222x+122x+1242222x+12422按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除2★3、已知sinx是f(x)的原函數(shù)，求jxf(x)dx。xCxxxx2xxxx★★4、已知f(x)ex，求jxf(x)dx。xjxf(x)dx中出現(xiàn)了f(x)，應馬上知道積分應使用分部積分。又f(xex,：f(x)xexex=ex(x1),：xf(x)ex(x1);xx2x2xxxxnnsinn1xnsinn1xn2函數(shù)中1的變形應用，初等和表函數(shù)中1的變形應用，初等和表達式sinnxsinn1xsinn2x此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除nsinnxsinnxsinnxsinnxsinnxsinn2xsinnxn2sinnxn2sinnxsin2nxn2cosxInjsinxdxIsinn-1xn2sinnxn2sinn1xn2sinnxn2=cosx+I+nInI+I=cosx+nI(n2)Isinn1xn2nn2n2sinn1xnn2xnn★★★★6、設fx為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，fx為其反函數(shù)，且jf(x)dx=F(x)+C，知識點：本題考察了一對互為反函數(shù)的函數(shù)間的關系，還有就是分部積分法的練習。思路分析：要明白x=f(f1(x))這一恒等式，在分部積分過程中適時替換。解：jfxxxfxjxfx又x=f(f1(x))習題4-41、求下列不定積分思路分析：被積函數(shù)為有理函數(shù)的形式時，要區(qū)分被積函數(shù)為有理真分式還是有理假分式，此文檔僅供學習和交流xxxx+1xxxxx+1x-132★★★(2)jdxx2x3-xxx+1x-1xx32★★★(3)jdx此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除分子x的同次項的系數(shù)得：xxxx3+1x+1x2x+1x+113(x)2+()2xx1)31xdxjdxx3+1x+1(x)2+2(x)2+(23)22(x1)2+324x1324(2)2+12323★★★(4)jx+思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。x+1ABCx+1ABCx+1：jx+1dx=j1dx+j2dx=11+C=x+C(x1)3(x1)2(x1)3x1(x1)2(x1)2此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除★★★(5)j3x思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。xABxABCDx(x+1)3(x+1)3x(x+1)3，x(x+1)3xx+1(x+1)2(x+1)3等式右邊通分后比較兩邊分子x的同次項的系數(shù)得：=+jxdxjdxj2dxj2dx+j2dxx(x+1)3(x+1)3(x+1)2x+1x思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。(x+2)(x+3)2(x+2)(x+3)2(x+2)(x+3)2(x+2)(x+3)2通分后比較兩邊分子x的同次項的系數(shù)得：〈02解此方程組得：此文檔僅供學習和交流1-x-213而==+=+13而==+=+3：j3xdx=j2dx+j1dx-1j(2x+1)dxx3-1x2+x+1x-12x2+x+1=3j11j1d(x2+x+1)x2x2+x+1(2)2+1232323此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除★★★(8)j1xx2dx(x2+1)2思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。xxx(x2+1)2x2+1(x2+1)2(x2+1)2(x2+1)2x2+1(x2+1)2(x2+1)2=j1dx1j1d(x2+1)+2jdxx2+12(x2+1)2(x2+1)2(x2+1)2x2+1x2+(x2+1)2x2+1x2+1(x2+1)2x2+12x2+12x2+1思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。3ABC等式右邊通分后比較兩邊分子x的同次項的系數(shù)得：(32此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除3 ：jxdx=1j1dx+2jdx3jdx(x+1)(x+2)(x+3)2x+1x+22x+322★★★(10)jx2+1dx(x+1)2(x1)xx(x+1)2(x1)(x+1)2(x1)x+1(x+1)2(x1)21111x：jx2+1dx=1jdx+1jdxj1dx(x+1)2(x1)2x12x+1(x+1)2★★★(11)j1★★★(11)j1dx思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除ABA1x：j1dx=j1dx一jxdx=lnx一1j1d(x2+1)x(x2+1)xx2+12x2+12x2+1★★★(12)jdx★★★(12)jdx思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。11(x2+x)(x2+1)x(x+1)(x2+1)221(x2+x)(x2+1)x2x+12x2+111x1111x11(x2+x)(x2+1)x2x+12x2+12x2+1(x2+x)(x2+1)x2x+12x2+12x2+1x24x2+12242★★★★★思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除(2xxxxx2(2x+2)+2x4+14x2+12x4x2+1+2x2222=[]+[+82121=[]+[+82121421])2+2x(x)2+(x+)2)2+2222222+]dx222：jdx=2j[(2x+]dx222x4+18212142(x+)2+(x)2+(x+22222=2[j(2x+2)21dx=2[j(2x+2)21x2+1+2xx2+1+2x2222=2[j12x)]d(x2+1+2x)j1d=2[j12x)]xx2+1+xx2+1+2x4(14(1xxx+188x22x+12x22x+1此文檔僅供學習和交流22x22xxx4+12x4+1x4+1xxxxx2+1x2+12x22x2x2+1xx2+1xx2x2xx(x)2+1xx22xxxx2x2★★★★★(14)j一x2一2dx(x2+x+1)2思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。此文檔僅供學習和交流x+112x+1+：jx22dx=jdx+1j2x+1dx3j1dx(x2+x+1)2x2+x+12(x2+x+1)22(x2+x+1)242()222=23j3+1j1d(x2+x+1)3j1dx3(2x+1)2+12(x2+x+1)22(x2+x+1)23=23arctan(2x+1)113j1dx332x2+x+12(x2+x+1)2又3j1dx=12x+1+jdx2(x2+x+1)22x2+x+1x2+x+1：jx22dx=43arctan(2x+1)x+1+C.(x2+x+1)233x2+x+1n(x2+a2)n1x若記I=jn(x2+a2)n1xI=[+(2n3)I]n2a2(n1)(x2+a2)n1n1。2、求下列不定積分知識點：三角有理函數(shù)積分和簡單的無理函數(shù)積分法的練習。思路分析：求這兩種積分的基本思路都是通過適當?shù)淖儞Q化為有理函數(shù)積分去完成?！铩?1)jdx思路：分子分母同除以x變?yōu)閏sc2x后湊微分。此文檔僅供學習和交流3此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除3x+(cot)x+(26263萬能代換！1+t2jdx=1arctan(1tanx)+C.3+cosx222222tan2x+22(tanx)2+(2)2222222萬能代換！ 2+sinx2+2tt2+t+132433此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除xx★★(4)jdx：jdx=j1+t2=jdt：jdt=1(j1dt一jtdt+j1dt)(1+t)(1+t2)21+t1+t21+t221+tanx22萬能代換！能代換！此文檔僅供學習和交流而jdt=1jdt=而jdt=1jdt=334此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除：jdx=j1+t2=jdt5xx★★★★(7)jdx★★★★(7)jdx思路一：萬能代換！sinxcosxtt(5t2+8t+5)(1一t2)=一(=一(+)dt444令=((1||C=16此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除=(一.+.一.一.)dt(5+4sinx)cosx16t一116t+145t2+8t+585t2+8t+5sinxcosxtttt85t2+8t+5164243xx162162422243：jdx=j1一t2=jdt=一jdt11ABC(16(5+4sinx)cosx9182此文檔僅供學習和交流(1A(1A11111t此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除★★★★(8)jdxtt一(1+cosx)sinx4421+cosx1此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除(1+cosx)sinx4421+cosx2322422★★(9)jdxx+11+t1+t1+t22★★(10)j1+(x)3dx思路：變無理式為有理式，變量替換t=x。23.★★(11)jx+11dx此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除★★★(12)jdx4x+x：jdx=j8t7dt=8jt5dt=8jt5+t3t3t+tdt=8j(t3t+t)dt4x+xt2+t41+t21+t21+t2★★★(13)jx3dx233ja+x變形為思路：將被積函數(shù)a2x22axa2x2acostaa2x2xa2x2a2x2a1(x)22a2x2aa此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除★★★(15)jdx3(x+1)2(x1)43(x+1)2(x1)23t2222總習題四f(x)的一個原函數(shù)是e2x，則f(x)=().分析：略。解：(B)。f(x)f(x)思路分析：對條件兩邊求導數(shù)后解出f(x)后代入到要求的表達式中，積分即可。f(x)223f(x)223此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除思路分析：求出f(x)后解得(x)，積分即可。xx1xx1思路分析：注意到dF(x)=f(x)dx，先求出F(x)，再求f(x)即可。244x4sinx4思路分析：具體問題具體分析。xdx變量替換t=25x。()x+1313x2x()x+1313x2x此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除5555252535★(2)jdx(x>1)xx212xx21secttantx9x4x★★★(3)j2x9x4x()x()x39x4x為)x]23)x]232322解：令t=()x，則dt23223329x4x1[(23()x1()x1=ln+C=ln2(ln3ln2)t+12(ln3ln2)=ln+C2(ln3ln2)3x+2x★★(4)★★(4)jx2dx(a>0)a6x6此文檔僅供學習和交流dxdx此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除解：jx2dx=1j1dx3=1j1dx3令t=x3axatatataat+a3★★(5)jdx或先湊微分再換元。解：方法一：jdx=jdx222222C2dx2換！此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除tt2：jdx=jt(1dt)=jt9dt=1jdt10=1jd(2t10+1)x(2+x10)2+1t22t10+1102t10+1202t10+1tt思路是將被積函數(shù)的分子寫成分母和分母的導數(shù)的線性組合的形式，然后分項分別積分即5cosx+2sinx5cosx+2sinx5cosx+2sinx5cosx+2sinx5cosx+2sinx思路：分項積分后對前一積分采用分部積分，后一積分不動。sxcosxcosxxx22222cos22222222此文檔僅供學習和交流此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除★★★★6、求不定積分：j[f(x)f2(x)f(x)]dxf(x)f3(x)動，合并同種積分，出現(xiàn)循環(huán)后解出加一個任意常數(shù)即可。解：j[f(x)f2(x)f(x)]dx=jf(x)dxjf2(x)f(x)dxf(x)f3(x)f(x)f3(x)而jf2(x)f(x)dx=jf2(x)df(x)=f2(x)f(x)jf(x)d(f2(x))f3(x)f3(x)f3(x)f3(x)=f2(x)jf(x)2f(x)f4(x)3f5(x)f(x)f2(x)dxf2(x)f6(x)=f2(x)2jf(x)dx+3jf2(x)f(x)dxf2(x)f(x)f3(x)：j[f(x)f2(x)f(x)]dx=f2(x)+3j[f(x)f2(x)f(x)]dxf(x)f3(x)f2(x)f(x)f3(x)：j[f(x)f2(x)f(x)]dx=1f2(x)+C.f(x)f3(x)2f2(x)分部積分法考察，三角恒等式的應用，湊微分等。思路分析：由要證明的目標式子可知，應將tannx分解成tann2xtan2x，進而寫成tann2x(sec2x1)，分部積分后即可得到I。n2nn1n2n1n25434214242此文檔僅供學習和交流dt2dt2此文檔收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除★★★9、設不定積分=j1+xdx，若u=10、求下列不定積分:思路分析：基本思路——將被積