高考數(shù)學(xué)真題分類匯編10立體幾何

1.12015高考浙江，文4】設(shè)a,4是兩個不同的平面，/,相是兩條不同的直線，且/ua,

tnu0()

A.若/，夕，則a_L夕B.若aL夕,則/，加

C.若〃/夕，則a〃夕D.若a〃尸，則〃/〃？

【答案】A

【解析】采用排除法，選項A中，平面與平面垂直的判定，故正確；選項B中，當(dāng)時,

/,〃?可以垂直，也可以平行，也可以異面；選項C中，〃/月時，體力可以相交；選項D中，

a〃夕時，/,/〃也可以異面.故選A.

【考點定位】直線、平面的位置關(guān)系.

【名師點睛】本題主要考查空間直線、平面的位置關(guān)系.解答本題時要根據(jù)空間直線、平面的

位置關(guān)系，從定理、公理以及排除法等角度，對個選項的結(jié)論進(jìn)行確認(rèn)真假.本題屬于容易題,

重點考查學(xué)生的空間想象能力以及排除錯誤結(jié)論的能力.

2.12015高考新課標(biāo)1,文6】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的

數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺,

問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為

一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆

的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓

周率約為3,估算出堆放的米有()

(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛

【答案】B

【解析】設(shè)圓錐底面半徑為八則1x2x3r=8,所以r=3,所以米堆的體積為

43

2

lxlx3x(—)x5=—,故堆放的米約為型+1.62弋22,故選B.

43399

【考點定位】圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式

【名師點睛】本題以《九章算術(shù)》中的問題為材料，試題背景新穎，解答本題的關(guān)鍵應(yīng)想到

米堆是,圓錐，底面周長是兩個底面半徑與工圓的和，根據(jù)題中的條件列出關(guān)于底面半徑的

44

方程，解出底面半徑，是基礎(chǔ)題.

3.【2015高考浙江，文2】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積是

（）

32

A.8cm3B.12cm3C.—cm3

【答案】C

【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個棱長為2的正方體與一個底面邊長為2,高為2的正

13?

四棱錐的組合體，故其體積為V=23++x2?x2=土cwP.故選c.

33

【考點定位】1.三視圖；2.空間幾何體的體積.

【名師點睛】本題主要考查空間幾何體的體積.解答本題時要能夠根據(jù)三視圖確定該幾何體的

結(jié)構(gòu)特征，并準(zhǔn)確利用幾何體的體積計算方法計算求得體積.本題屬于中等題，重點考查空間

想象能力和基本的運算能力.

4.【2015高考重慶，文5】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

正視圖惻視圖

13萬

(A)—F27r(B)(D)

3~6~T

【答案】B

【解析】由三視圖可知該幾何體是由一個底面半徑為1,高為2的圓柱，再加上一個半圓錐:

11Q

其底面半徑為1,高也為1,構(gòu)成的一個組合體，故其體積為%X12x2+±X7x/xl=!?，

66

故選B.

【考點定位】三視圖及柱體與錐體的體積.

【名師點睛】本題考查三視圖的概念和組合體體積的計算，采用三視圖還原成直觀圖，再利

用簡單幾何體的體積公式進(jìn)行求解.本題屬于基礎(chǔ)題，注意運算的準(zhǔn)確性.

5.12015高考陜西，文5］一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A.3兀B.44C.2乃+4〃3乃+4

【解析】由幾何體的三視圖可知該幾何體為圓柱的截去一半，所以該幾何體的表面積為

Txlx2+'x乃xFx2+2x2=3乃+4,故答案選。

2

【考點定位】1.空間幾何體的三視圖；2.空間幾何體的表面積.

【名師點睛】1.本題考查空間幾何體的三視圖及兒何體的表面積，意在考查考生的識圖能力、

空間想象能力以及技術(shù)能力；2.先根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再計算出幾何體

各個面的面積即可；3.本題屬于基礎(chǔ)題，是高考?？碱}型.

6.【2015高考廣東，文6】若直線4和4是異面直線，4在平面a內(nèi)，4在平面力內(nèi)，/是平

面a與平面尸的交線，則下列命題正確的是（）

A./至少與小4中的一條相交B./與小4都相交

C./至多與4,4中的一條相交D./與4,4都不相交

【答案】A

【解析】若直線、和4是異面直線，4在平面a內(nèi)，4在平面￡內(nèi)，/是平面a與平面萬的交

線，則/至少與小4中的一條相交，故選A.

【考點定位】空間點、線、面的位置關(guān)系.

【名師點晴】本題主要考查的是空間點、線、面的位置關(guān)系，屬于容易題.解題時一定要注

意選項中的重要字眼“至少”、“至多”，否則很容易出現(xiàn)錯誤.解決空間點、線、面的位置

關(guān)系這類試題時一定要萬分小心，除了作理論方面的推導(dǎo)論證外，利用特殊圖形進(jìn)行檢驗，

也可作必要的合情推理.

7.12015高考浙江，文7】如圖，斜線段AB與平面a所成的角為60,B為斜足，平面a上

的動點P滿足NPAB=30,則點P的軌跡是()

A.直線B.拋物線C.橢圓D.雙曲線的

一支

【答案】C

【解析】

由題可知，當(dāng)P點運動時，在空間中，滿足條件的AP繞AB旋轉(zhuǎn)形成一個圓錐，用一個與圓

錐高成60角的平面截圓錐，所得圖形為橢圓.故選C.

【考點定位】1.圓錐曲線的定義；2.線面位置關(guān)系.

【名師點睛】本題主要考查圓錐曲線的定義以及空間線面的位置關(guān)系.解答本題時要能夠根據(jù)

給出的線面位置關(guān)系，通過空間想象能力，得到一個無限延展的圓錐被一個與之成60角的平

面截得的圖形是橢圓的結(jié)論.本題屬于中等題，重點考查學(xué)生的空間想象能力以及對圓錐曲線

的定義的理解.

8.12015高考湖北，文5】表示空間中的兩條直線，若。：44是異面直線；°：44不相

交，貝I()

A.0是1?的充分條件，但不是。的必要條件

B.0是。的必要條件，但不是。的充分條件

C.。是q的充分必要條件

D.0既不是q的充分條件，也不是0的必要條件

【答案】A.

【解析】若。：44是異面直線，由異面直線的定義知，44不相交，所以命題。：44不相交

成立，即p是q的充分條件；反過來，若°：4/不相交，貝1〃，4可能平行，也可能異面，所

以不能推出/?/2是異面直線，即p不是q的必要條件，故應(yīng)選A.

【考點定位】本題考查充分條件與必要條件、異面直線，屬基礎(chǔ)題.

【名師點睛】以命題與命題間的充分條件與必要條件為契機，重點考查空間中直線的位置關(guān)

系，其解題的關(guān)鍵是弄清誰是誰的充分條件誰是誰的必要條件,正確理解異面直線的定義,

注意考慮問題的全面性、準(zhǔn)確性.

9、【2015高考新課標(biāo)1,文11】圓柱被一個平面截去一部分

后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體的三視圖中

的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為

16+201,則r=()

(A)1(B)2

(C)4(D)8

俯視圖

【答案】B

【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半

徑都為r,圓柱的高為2r,其表面積為，x4乃/+乃「*2/+乃/+2rx2r=5萬/+4/=16+

2

20萬，解得r=2,故選B.

【考點定位】簡單幾何體的三視圖；球的表面積公式；圓柱的測面積公式

【名師點睛】本題考查簡單組合體的三視圖的識別，是常規(guī)提，對簡單組合體三三視圖問題,

先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀，再根據(jù)“長對正,

寬相等，高平齊”的法則組合體中的各個量.

10.[2015高考福建，文9）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體

的表面積等于（）

A.8+20B.H+2V2C.14+2后D.15

陀生圖

【答案】B

【解析】由三視圖還原幾何體，該幾何體是底面為直角梯形，

高為2的直四棱柱，且底面直角梯形的兩底分別為1,2,直角腰長為1,

斜腰為正.底面積為2x,x3=3,側(cè)面積為2+2+4+2及=8+20,

2

所以該幾何體的表面積為11+20,故選B.

【考點定位】三視圖和表面積.

【名師點睛】本題考查三視圖和表面積計算，關(guān)鍵在于根據(jù)三視圖還原體，要掌握常見幾

何體的三視圖，比如三棱柱、三棱錐、圓錐、四棱柱、四棱錐、圓錐、球、圓臺以及其

組合體，并且要弄明白幾何體的尺寸跟三視圖尺寸的關(guān)系；有時候還可以利用外部補形

法，將幾何體補成長方體或者正方體等常見幾何體，屬于中檔題.

11.【2015高考山東，文9】已知等腰直角三角形的直角邊的長為，將該三角形繞其斜邊所

在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()

(A)(B)()2叵兀()兀

33

【答案】B

【解析】由題意知，該等腰直角三角形的斜邊長為2及，斜邊上的高為近，所得旋轉(zhuǎn)體為

同底等高的全等圓錐，所以，其體積為g萬x(J5)2x20=^^，，故選3.

【考點定位】L旋轉(zhuǎn)體的幾何特征；2.幾何體的體積.

【名師點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的幾何特征及幾何體的體積計算，解答本題的關(guān)鍵，是理解

所得旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，確定得到計算體積所需要的幾何量.

本題屬于基礎(chǔ)題，在考查旋轉(zhuǎn)體的幾何特征及幾何體的體積計算方法的同時，考查了考生的

空間想象能力及運算能力，是“無圖考圖”的一道好題.

12.[2015高考湖南，文10]某工作的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工作通過切削，加工成一

個體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個面落在原工作的一個面內(nèi)，則原工件材

料的利用率為(材料利用率=新工件的體積/原工件的體積)()

?8萬口8,24(72-I)2口8(&-

927乃7171

1

俯視圖

【答案】A

■yr2一〃

【解析】由題可得,問題等價于圓錐的內(nèi)接長方體的體積，如圖所示,則有，=h:/=2-2%

所以長方體體積為/&={2幻12-20=4不"（2-2幻=4|'士士三|,當(dāng)且僅當(dāng)

七n/?2?

32

2個二16

x=2-2x：即x=：時，等號成立，故利用率為「士一=—,故選A.

9t

31p9

J

【考點定位】三視圖、基本不等式求最值、圓錐的內(nèi)接長方體

【名師點睛】運用基本不等式求最值要緊緊抓住“一正二定三相等”條件，本題“和為定”

是解決問題的關(guān)鍵.空間想象能力是解決三視圖的關(guān)鍵，可從長方體三個側(cè)面進(jìn)行想象幾何體.

求組合體的體積，關(guān)鍵是確定組合體的組成形式及各部分幾何體的特征，再結(jié)合分割法、補

體法、轉(zhuǎn)化法等方法求體積.

13.12015高考北京，文7】某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）

A.IB.6c.V3D.2

側(cè)（左）視圖

俯視圖

【答案】c

【解析】四棱錐的直觀圖如圖所示:

由三視圖可知，SC_L平面ABCD,SA是四棱錐最長的棱，

S/i=7SC2+AC2=y/sC2+AB2+BC2=V3,故選C.

【考點定位】三視圖.

【名師點晴】本題主要考查的是三視圖，屬于容易題.解題時一定要抓住三視圖的特點，否

則很容易出現(xiàn)錯誤.本題先根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再計算出兒何體中最長棱的

棱長即可.

14【2015高考安徽，文9】一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）

正（主）視圖例（左）視圖

（力）1+V3（6）1+20（O2+73（〃）2&

【答案】C

【解析】由該幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖，如下圖所示:

其中側(cè)面21cL底面力比1，且AP4C也A4BC,由三視圖中所給數(shù)據(jù)可知：

PA=PC=A8=8C=痣，取AC中點0,連接P0,30,則RM0B中，

n?

「。=80=1=＞尸3=亞二S=2-J?2+--2?2=2+Q,故選C

42

【考點定位】本題主要考查空間幾何體的三視圖、錐體表面積公式.

【名師點睛】在利用空間幾何體的三視圖求幾何體的體積或者表面積時，一定要正確還原幾

何體的直觀圖，然后再利用體積或表面積公式求之；本題主要考查了考生的空間想象力和基

本運算能力.

【2015高考上海，文6】若正三棱柱的所有棱長均為。，且其體積為16百，則a=.

【答案】4

?反

【解析】依題意，一xaxax〕Lxa=16在，解得。=4.

22

【考點定位】等邊三角形的性質(zhì)，正三棱柱的性質(zhì).

【名師點睛】正三棱柱的底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面.柱體的體積等于底面積乘以高.

邊長為。的正三角形的面積為二■〃上

4

15.12015高考天津，文10】一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為

m3

【解析】該幾何體是由兩個高為1的圓錐與一個高為2的圓柱組合而成,所以該幾何體的體積

18幾

^2x-xnxl+7ix2=—(m1).

【考點定位】本題主要考查三視圖及幾何體體積的計算.

【名師點睛】由于三視圖能有效的考查學(xué)生的空間想象能力,所以以三視圖為載體的立體幾何

題基本上是高考每年必考內(nèi)容，高考試題中三視圖一般常與幾何體的表面積與體積交匯.由三

視圖還原出原幾何體,是解決此類問題的關(guān)鍵.

16.12015高考四川，文14］在三棱住/比■一45G中，N物C=90°,其正視圖和側(cè)視圖都是

邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，設(shè)點弘N,。分別是06,BC,

8G的中點，則三棱錐產(chǎn)一4/V的體積是.

【答案】—

24

【解析】由題意，三棱柱是底面為直角邊長為1的

等腰直角三角形，高為1的直三棱柱，底面積為，

2

如圖，因為皿/月V,故44〃面9M

故三棱錐一一4歷￥與三棱錐〃一4即體積相等,

三棱錐產(chǎn)一4眼的底面積是三棱錐底面積的一，高為1

4

故三棱錐。一4，眥的體積為-x-x-=—

32424

【考點定位】本題主要考查空間幾何體的三視圖、直觀圖及空間線面關(guān)系、三棱柱與三棱錐

的體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、圖形分割與轉(zhuǎn)換的能力，考查基本運算能力.

【名師點睛】解決本題，首先要正確畫出三棱柱的直觀圖，包括各個點的對應(yīng)字母所在位置,

結(jié)合條件，三棱錐。一4,肺的體積可以直接計算，但轉(zhuǎn)換為三棱錐~和加的體積，使得計算

更為簡便，基本上可以根據(jù)條件直接得出結(jié)論.屬于中檔偏難題.

17.[2015高考安徽，文19]如圖，三棱錐I^ABC中，用_L平面ABC,

PA=1,A6=1,AC=2,ZBAC=60°.

(I)求三棱錐尸/比1的體積；

PM

(II)證明：在線段也上存在點M使得并求——的值.

MC3

【解析】

(I)解：由題設(shè)A6=l,AC=2,NBAC=60°

iA

可得SMsc=3ABACsin60°=5

由PAJ_面ABC

可知PA是三棱錐P—ABC的高，又PA=1

所以三棱錐P-ABC的體積V=--S^-PA=—

3BC6

(II)iiE：在平面ABC內(nèi)，過點、8作BN上AC,垂足為N,過N作MN〃PA交PC于M,

連接BM.

由PA_1面A6C知PALAC,所以MNLAC.由于BNcMN=N,故AC上面M3N,

叉BMu面MBN,所以AC,8M.

13

在直角ABAN中，AN=AB?cosNBAC=—,從而NC=AC—AN.由MN〃PA,得

22

PM_AN

~MC~~NC~3'

【考點定位】本題主要考查錐體的體積公式、線面垂直的判定定理和其性質(zhì)定理.

【名師點睛】本題將正弦定理求三角形的面積巧妙地結(jié)合到求錐體的體積之中，本題的第(II)

問需要學(xué)生構(gòu)造出線面垂直，進(jìn)而利用性質(zhì)定理證明出面面垂直，本題考查了考生的空間想

象能力、構(gòu)造能力和運算能力.

18.12015高考北京，文18](本小題滿分14分)如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB1

平面ABC,AVAB為等邊三角形，

AC_LBC且AC=BC=0,O,M分別為AB,VA的中點.

(I)求證：VB〃平面M0C；

(II)求證：平面MOCL平面VAB；

(III)求三棱錐V—ABC的體積.

V

【答案】（I）證明詳見解析：（II）證明詳見解析：（in）—.

3

【解析】

試題分析：本題主要考查線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體

積公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化能力、計

算能力.（D在三角形ABV中，利用中位線的性質(zhì)得。ATb揖，最后直接利用線面平行的判定得到結(jié)論;

（H）先在三角形ABC中得到。。,再利用面面垂直的性質(zhì)得。C_L平面VAB,最后利用面面垂直

的判定得出結(jié)論；（HD將三棱錐進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)化，利用尸一；十=4一1sc，先求出三角形VAB的面積，由

于。平面VAB,所以O(shè)C為錐體的高，利用錐體的體積公式計算出體積即可.

試題解析：（I）因為。，迎分別為AB,\飛的中點，

所以。3九；*3.

又因為「3仁平面MOC,

所以平面MOC.

（II）因為AC=BC,。為AB的中點，

所以。CLAB.

又因為平面VAB±平面ABC,且。Cu平面ABC,

所以0C1平面VAB.

所以平面MOC_L平面VAB.

（Ill）在等腰直角三角形ACS中，AC=BC=6,

所以A8=2,OC=1.

所以等邊三角形VAB的面積SWAB=也.

又因為0C,平面VAB,

所以三棱錐C-VAB的體積等于gX。。XSAMB=y--

又因為三棱錐V-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，

n

所以三棱錐V-ABC的體積為—.

3

考點：線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公

式.

【名師點晴】本題主要考查的是線面平行、面面垂直和幾何體的體積，屬于中檔題.證明線

面平行的關(guān)鍵是證明線線平行，證明線線平行常用的方法是三角形的中位線和構(gòu)造平行四邊

形.證明面面垂直的關(guān)鍵是證明線面垂直，證明線面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直

得到線面垂直一定要注意找兩個面的交線，否則很容易出現(xiàn)錯誤.求幾何體的體積的方法主

要有公式法、割補法、等積法等，本題求三棱錐的體積，采用了等積法.

19.12015高考福建，文20］如圖，A8是圓。的直徑，點C是圓。上異于A,8的點，PO垂

直于圓O所在的平面，且PO=OB=1.

（I）若。為線段AC的中點，求證AC1平面PDO：

（II）求三棱錐P-A6c體積的最大值；

（III）若8C=拒，點E在線段上，求CE+OE的最小值.

【答案】（I）詳見解析；（II）-；（in）°+瓜

32

【解析】解法一：（I）在AAOC中，因為OA=OC,D為AC的中點,

所以ACLOD.又PO垂直于圓O所在的平面，所以POLAC.

因為DOPO=O,所以AC_L平面PDO.

(II)因為點C在圓O上，

所以當(dāng)COLAB時，C到AB的距離最大，且最大值為1.

又AB=2,所以AABC面積的最大值為，x2xl=l.

2

又因為三棱錐P-ABC的高PO=1,故三棱錐P-ABC體積的最大值為1xl=-.

(HI)在APOB中，PO=OB=1,NPOB=90,所以PB==0.

同理PC=J^,所以PB=PC=BC.

在三棱錐P-ABC中，將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC'P,使之與平面ABP共面，如圖

所示.

當(dāng)O,E,C'共線時，CE+OE取得最小值.

又因為OP=OB,C'P=C'B,所以0C'垂直平分PB,

即E為PB中點.從而OC'=OE+EC'=Y2+，5=在上四,

222

亦即CE+0E的最小值為叵N5.

解法二：(I)、(II)同解法一.

(HI)在APOB中，PO=OB=1,ZPOB=90,

所以NOPB=45,PB=A/12+12=^2.同理PC=夜.

所以PB=PC=BC,所以NCPB=60.

在三棱錐P—ABC中，將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC'P,使之與平面ABP共面，如圖

所示.

當(dāng)O,E,C'共線時，CE+OE取得最小值.

所以在AOC'P中，由余弦定理得：

OC"=1+2-2xlx&xcos(45+60)

=]+2一2臼也」一也xg

(2222)

=2+5/3.

從而0C'=也+百=立+池.

2

所以CE+0E的最小值為YfS.

2

【考點定位】1、直線和平面垂直的判定；2、三棱錐體積.

【名師點睛】證明直線和平面垂直可以利用判定定理，即線線垂直到線面垂直；也可以利用

面面垂直的性質(zhì)定理，即面面垂直到線面垂直；決定棱錐體積的量有兩個，即底面積和高，

當(dāng)研究其體積的最值問題時，若其中有一個量確定，則只需另一個量的最值；若兩個量都不

確定，可通過設(shè)變量法，將體積表示為變量的函數(shù)解析式，利用函數(shù)思想確定其最值；將空

間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn)，通過旋轉(zhuǎn)到一個平面內(nèi)，利用兩點之間距離

最短求解.

20.12015高考廣東，文18](本小題滿分14分)如圖3,三角形PDC所在的平面與長方形

ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,

AB=6,BC=3.

(1)證明：BC〃平面PDA；

(2)證明：BC1PD；

(3)求點C到平面PDA的距離.

H

用3

377

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析：（3）

2

【解析】

試題分析：（1）由四邊形ABCD是長方形可證BC〃AD,進(jìn)而可證BC〃平面PDA；（2）先

證BCLCD,再證BC,平面PDC,進(jìn)而可證BCLPD；（3）取CD的中點E,連結(jié)AE

和PE,先證PEJ,平面ABCD,再設(shè)點C到平面PDA的距離為〃，利用

h

V:枝椎C_PDA=V三極錐P_ACD可得的值，進(jìn)而可得點C到平面PDA的距離?

試題解析：（1）因為四邊形ABCD是長方形，所以BC〃AD,因為BC2平面PDA,ADu

平面PDA,所以BC〃平面PDA

（2）因為四邊形ABCD是長方形，所以BC_LCD,因為平面PDC_L平面ABCD,平面

PDC平面ABCD=CD,BCu平面ABCD,所以BC_L平面PDC,因為PDu平面

PDC,所以BC1PD

（3）取CD的中點E,連結(jié)AE和PE,因為PD=PC,所以PELCD,在RlAPED中,

PE=VPD2-DE2

="2-32=不，因為平面PDCL平面ABCD,平面PDC平面ABCD=CD,PEu平

面PDC,所以PE，平面ABCD,由（2）知：BCL平面PDC,由（1）知：BC//AD,

所以ADJ_平面PDC,因為PDu平面PDC,所以ADJ.PD,設(shè)點C到平面PDA的距離

為人，因為V,孩錐c-PDA=V滋雌p-ACD所以,即

CM—x3x6xsfj

/,=SAACD-PE=2亙,所以點C到平面PDA的距離是短

SAPDA-X3X422

2

【考點定位】1、線面平行；2、線線垂直；3、點到平面的距離.

【名師點晴】本題主要考查的是線面平行、線線垂直和點到平面的距離，屬于中

檔題.證明線面平行的關(guān)鍵是證明線線平行，證明線線平行常用的方法是三角形

的中位線和構(gòu)造平行四邊形.證明線線垂直的關(guān)鍵是證明線面垂直，證明線面垂直可由面面

垂直得到，但由面面垂直得到線面垂直一定要注意找兩個面的交線，否則很容易出現(xiàn)錯誤.點

到平面的距離是轉(zhuǎn)化為幾何體的體積問題，借助等積法來解決.

21.12015高考湖北，文20】《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四

棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉膈.在如圖所示的陽馬

中，側(cè)棱底面ABC。，且尸。=CD,點E是PC的中點，連接力及8DBE.

(I)證明：DE1平面PBC.試判斷四面體EBCD是

否為鱉牖，若是，寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，請說明理由;

V

(II)記陽馬P-A8CQ的體積為乂，四面體EBCQ的體積為％,求/的值.

【答案】(I)因為PO1?底面A8CO,所以由底面ABC"為長方形，有BCLCD,

而PO€7)=0,所以BCJ,平面尸C￡).DEu平面PCQ,所以BC_L￡)E.又因為PO=CO,

點后是/^?的中點，所以。ELPC.而尸CBC=C,所以。平面P8C.四面體EBCD是

一個鱉腌；(II)匕=4.

匕

【解析】(I)因為PZ5_L底面ABC。，所以PCJ.BC.由底面ABC。為長方形，有BCLCD,

而POCZ)=Q,所以BC_L平面PCO.。后匚平面/^/^所以^^力仁又因為PD=CD,

點E是PC的中點，所以O(shè)E_LPC.而PCBC=C,所以。E_L平面P8C,由8C_L平面

PCD,平面尸BC,可知四面體EBCO的四個面都是直角三角形，即四面體EBCQ是一

個鱉牖，其四個面的直角分別是NBCD/BCE,NDEC,NDEB.

(II)由已知，尸。是陽馬P-ABC3的高，所以匕=1SABCD"Q='BC-CQP￡＞；由(I)

13t\D\-u3

知，DE是鱉腌D-BCE的高，8C_LCE,所以匕=~S^CE?QE=CE-￡)E.在Rt△PDC

36

中，因為PD=CD,點E是尸C的中點，所以DE=CE=—CD,于是

2

V2-BCCEDE

6

【考點定位】本題考查直線與平面垂直的判定定理、直線與平面垂直的性質(zhì)定理和簡單幾何

體的體積，屬中高檔題.

【名師點睛】以《九章算術(shù)》為背景，給予新定義，增添了試題的新穎性，但其實質(zhì)仍然是

考查線面垂直與簡單幾何體的體枳計算，其解題思路：第一問通過線線、線面垂直相互之間

的轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明，第二問關(guān)鍵注意底面積和高之比，運用錐體的體積計算公式進(jìn)行求解.結(jié)

合數(shù)學(xué)史料的給予新定義，不僅考查學(xué)生解題能力，也增強對數(shù)學(xué)的興趣培養(yǎng)，為空間立體

幾何注入了新的活力.

22.12015高考湖南，文18](本小題滿分12分)如圖4,直三棱柱ABC-44G的底面是

邊長為2的正三角形，分別是BC,CG的中點。

(I)證明：平面AEF1平面B.BCC,；

(II)若直線AC與平面4AB耳所成的角為45,求三棱錐P—AEC的體積。

【答案】(I)略；(II)—.

12

【解析】

試題分析：(I)首先證明34，AE1BC,得到平面耳BCG，利用面面垂直

的判定與性質(zhì)定理可得平面AEF±平面B}BCC}；(II)設(shè)AB的中點為D,證明直線ZCA.D

直線4c與平面4AB4所成的角，由題設(shè)知NCAO=45,求出棱錐的高與底面面積即可

求解幾何體的體積.

試題解析：(I)如圖，因為三棱柱ABC-44G是直三棱柱，

所以4七184，又E是正三角形A6C的邊的中點，

所以因此AEJ.平面4BCG，而AEu平面AEF,

所以平面AEF1平面B.BCC)。

(II)設(shè)A8的中點為。，連接ARC。，因為A4BC是正三角形，所以CO1AB,又三

棱柱ABC—4與G是直三棱柱，所以CDLAA，因此COJ_平面4A耳8,于是NC4。直

線AC與平面AA84所成的角，由題設(shè)知NC4Q=45,

所以4。=8=曰AB=百，

在心澳4。中，AA,=^\D--AD1=V3^1=V2,所以

故三棱錐/一AEC的體積V=LSA￡CXFC=LXX3X42=X5。

3832212

【考點定位】柱體、椎體、臺體的體積；面面垂直的判定與性質(zhì)

【名師點睛】證明面面垂直的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，注意平面圖形

中的一些線線垂直關(guān)系的靈活利用，這是證明空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ).由于“線線垂直”“線

面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心而展

開，這是化解空間垂直關(guān)系難點的技巧所在.求錐的體積關(guān)鍵在于確定其高，即確定線面垂

直.

23.【2015高考山東，文18］如圖，三棱臺OEE-A6C中，AB=2DE,G,”分別為

AC,3c的中點.

(I)求證：BD//平面FGH；

(H)若AB18C,求證：平面BCOJ_平面EG”.

【答案】證明見解析

【解析】

(I)證法一：連接。G,CD設(shè)COcGF=M，連接，在三棱臺。EF—ABC中,

AB=2DE,G分別為AC的中點，可得。///GC,。/=GC,所以四邊形。FCG是平行

四邊形，則M為CO的中點，又”是3c的中點，所以HMi/BD,

又“Mu平面EG”，平面FG"，所以6。//平面/G”.

證法二：在三棱臺DEF—ABC中，由=為3C的中點，

可得BH//EF,BH=EF,所以HBEF為平行四邊形,可得BE//HF.

在A4BC中，G,H分別為AC,3c的中點，

所以GH//AB,又GHcHF=H,

所以平面FGH//平面ABED,

因為BOu平面A8E0,

所以B。//平面FG”.

(II)證明：連接因為G〃分別為AG8c的中點，所以GH//AB,由ABJ.BC,得

GH1BC,又“為BC的中點，所以所//"。,后口=”。,因此四邊形所?！笔瞧叫兴倪?/p>

形，所以CF//HE.

又CF1BC,所以

又HE,GHu平面EGH,HEcGH=H,所以8C,平面EG",

又8Cu平面BCD,所以平面8co，平面EGH.

【考點定位】1.平行關(guān)系；2.垂直關(guān)系.

【名師點睛】本題考查了空間幾何體的特征及空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的

平行關(guān)系和垂直關(guān)系，從證明方法看，起點低，入口寬，特別是第一小題.證明過程中，關(guān)鍵

是注意構(gòu)造線線的平行關(guān)系、垂直關(guān)系，特別是注意利用平行四邊形，發(fā)現(xiàn)線線關(guān)系，進(jìn)一

步得到線面關(guān)系、面面關(guān)系.

本題是一道能力題，屬于中等題，重點考查兩空間幾何體的特征及空間直線、平面的平行關(guān)

系和垂直關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查考生的邏輯推理能力、空間想象能力思維的嚴(yán)密性、函

數(shù)方程思想及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.

24.【2015高考陜西，文18］如圖1,在直角梯形中，

冗1

AD/IBC,ZBAD=-,AB=BC=-AD=a,E是的中點，。是。。與BE的交點，

22

將A4BE沿BE折起到圖2中的位置，得到四棱錐％-BCDE.

(I)證明：平面AOC；

(II)當(dāng)平面平面8CQE時，四棱錐A—8CDE的體積為360,求a的值.

Ai⑷

圖1圖2

【答案】（D證明略，詳見解析；（H）a=6.

【解析】

1

試題分析：（D在圖1中，因為A3=8C=上AO=a,E是A0的中點，ABAD=-,所

22

以四邊形ABCE是正方形，故又在圖2中，BE1^0,BELOC,從而

平面A0C,又DEI/BC且DE=BC,所以CD〃BE,即可證得平面

A。。；

（II）由己知，平面A]E1.平面BCDE,且平面A8E平面BCDE=3E,又由（I）

知，\01BE,所以4。J_平面3COE,即4。是四棱錐4—BCOE的高，易求得

平行四邊形BCDE面積S=BCAB=a2,從而四棱錐/I,-BCDE的為

V=-xSxA,O=—a3,由也。3=36&,得a=6.

366

1JI

試題解析：（I）在圖1中，因為AB=BC=—AO=a,E是A。的中點NB4O=—,所以

22

BE±AC,

即在圖2中，BEA.A{0,BEL0C

從而BE_L平面A。。

又CDHBE

所以CQ,平面AQC.

（H）由已知，平面ABEJ,平面BCDE,

且平面AfE平面BCDE=BE

又由（I）知，AOIBE,所以AOJ_平面BCDE,

即4。是四棱錐4—BCDE的高,

由圖1可知,A.O^—AB—a,平行四邊形3CDE面積S=8C-A6=a2

122

從而四棱錐A—BCDE的為

V=—x5xA,0=—xa2x^-a=?-a',

3'326

s

由注。3=360,得&=6.

6

【考點定位】1.線面垂直的判定；2.面面垂直的性質(zhì)定理；3.空間幾何體的體積.

【名師點睛】1.在處理有關(guān)空間中的線面平行、線面垂直等問題時，常常借助于相關(guān)的判定

定理來解題，同時注意恰當(dāng)?shù)膶栴}進(jìn)行轉(zhuǎn)化；2.求幾何體的體積的方法主要有公式法、

割補法、等價轉(zhuǎn)化法等，本題是求四棱錐的體積，可以接使用公式法.

25.[2015高考四川，文18]一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所

示.

（I）請按字母尸，G,〃標(biāo)記在正方體相應(yīng)地頂點處（不需要說明理由）

（II）判斷平面頗與平面1（7/的位置關(guān)系.并說明你的結(jié)論.

（ni）證明：直線分,平面戚

（H）平面戚〃平面1以證明如下

因為ABCD—EFGH為正方缽,所以BC〃FG,BC=FG

又FG〃EH,FG=EH,所以BC〃EH,BC=EH

于是以潮為平行四邊形

所以BE//CH

又C7/U平面ACH,BEU平面ACII,

所以6￡〃平面ACH

同理龐〃平面ACH

又BECBG=B

所以平面上〃平面ACH

（III）連接力

因為ABCD-EFGH為正方悻,所以ZW_L平面EFGH

因為￡GU平面朗陽，所以加

又EG工FH,EGCFH=0,所以￡G_L平面切必

又DFU平面BFDH,所以DKLEG

同理勿U6G

又EGCBG=G

所以勿北平面BEG.

【考點定位】本題主要考查簡單空間圖形的直觀圖、空間線面平行與垂直的判定與性質(zhì)等基

礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力.

【名師點睛】本題引入了幾何體表面的折展問題，對空間想象能力要求較高.立體幾何的

證明一定要詳細(xì)寫出所有步驟，列舉（推證）出所有必備的條件，如在（H）中證明兩個平面平

行時，除了找到兩組平行線外，一定不能忘掉“相交”這個條件；同樣，（HI）中證明線面垂

直，也不能忘掉“EGCBG=G”這個條件.屬于中檔題.

26.12015高考新課標(biāo)1,文18］（本小題滿分12分）如圖四邊形48徵為菱形，G為AC與BD

交點，平面ABC。，

（I）證明：平面AEC,平面8EO；

（II）若乙430=120,AELEC,三棱錐E—ACZ）的體積為如，求該三棱錐的側(cè)面積.

3

【答案】（I）見解析（II）3+275

【解析】

試題分析：（I）由四邊形46位為菱形知A0BD,由BE入平面ABCD知ACABE,由線面垂直

判定定理知平面BED,由面面垂直的判定定理知平面AECJ.平面BE。；（11）設(shè)4代工，

通過解直角三角形將/G、GC、GB、。用X表示出來，在比1中，用*表示氏；，在RtDEBG

中，用x表示旗，根據(jù)條件三棱錐E-ACD的體積為逅求出了,即可求出三棱錐E-ACD

3

的側(cè)面積.

試題解析：（I）因為四邊形山政為菱形，所以43BD,

因為應(yīng)A平面ABCD,所以ACKBE,故ACK平面BED.

又ACI平面AEC,所以平面AEC八平面BED

（H）設(shè)1代x,在菱形力靦中，由EM路120°,可得力作宓=火X,階階土.

22

因為力留用所以在RfD/l星中，可得叱Y-x.

2

5

由比1人平面4?必，知D函;為直角三角形，可得游Jx.

2

由已知得，三棱錐切的體積瞑“8=g*AC答/=半故》=2

從而可得/后除吩卡.

所以DS4C的面積為3,DEAD的面積與DM的面積均為6.

故三棱