高等數(shù)學(xué)第六版(同濟(jì)版)第六章復(fù)習(xí)資料

nnnb定nnnb引入前面學(xué)習(xí)了定積分的理論這一章要應(yīng)用這些理論來(lái)分析和解決一些實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)的量.定積分計(jì)算這些量，必須把它們表示成定積分，先介紹將所求量表示成定積分的方法——元素法.定積分的元素法我們先用定積分的引例——曲邊梯形的面積，引出元素以及元素法的概念：一、元素及元素法1素：由連續(xù)曲線(xiàn)f(x(f(x)0)與直線(xiàn)以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為：f(diiiiiiii

a

x)由微分知識(shí)得

)，稱(chēng)iif()x面積元素或面積微元,記()x2元素法：用元素法將所求量表示成定積分的方法，稱(chēng)為元素法由此可知，曲邊梯形的面積是將面積微元累加得到的下面我們通過(guò)曲邊梯形的面積來(lái)總結(jié)出實(shí)際問(wèn)題中所求的量能用定積分表示的條件：二、用元素法將所求量能表示成定積分的條件：設(shè)所求量U)1．與變量x的所在區(qū)[b]有;2．對(duì)于區(qū)[,]具有可加性；3．U的部分量有近似值，即f(ii

.i三、用元素法將所求量能表示成定積分的步驟：1．由實(shí)情況選一變量如為積分變量，確定該其變化區(qū)[a,]2．[a,]n個(gè)小區(qū)間，取其中一個(gè)小區(qū)[,xx]，計(jì)算其上的部分U的近似值：f(x)x，的所求量的一個(gè)元素3．以dUf()x被積表達(dá)式，在[ab]上作定積分，即得所求量的定積分表達(dá)式：

b

(x)x.a注：元素的幾何形狀常取為條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等.內(nèi)容小結(jié)：本節(jié)介紹了元素法以及用元素法將所求量表示成定積分的方法與步.定積分在幾何上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1

b13.1直角坐情:曲線(xiàn)x)(直線(xiàn)x()軸所圍成的曲邊梯形面積b13.為A

b

x)dx，因?yàn)槊娣e元素()x.a)2參數(shù)方程情形：若曲線(xiàn)f(x)(f()x[a]的參數(shù)方程，且滿(mǎn)足y)(1).

,

(2).

(t)[

[

上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且y)連續(xù)，則由曲線(xiàn)yf()所圍成的曲邊圖形的面積：)dxt)dt.a3極坐標(biāo)情形：設(shè)曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為

，[

上連續(xù)，則由曲線(xiàn)射

以1圍成圖形的面積為A2

(d由于[上變動(dòng)時(shí)，極徑也隨之變動(dòng)，故不能直接利用扇形面積公式

12

R

來(lái)計(jì)算.推導(dǎo)：①.取極為積分變量

②.[

上任取一小區(qū)

，其上的曲邊扇形面積的近似值：dA

12

.③.以

12

為被積表達(dá)式，[作定積分，得曲邊扇形的面積公式：

12

(

.例1計(jì)算兩條拋物線(xiàn)

2

x、y

2

在第一象限所圍所圍圖形的面積.解：首先確定圖形的范圍，得交(0,、(1,取為積分變量，由于面積元A

dx，所以所求面積為A

10

2

1dx2x33302

2213428aa012π2213428aa012π.(332注：A

1

d

1

2

d

1

2

d0例2計(jì)算拋物線(xiàn)y

0

0x與直線(xiàn)x所圍圖形的面積x解：得交(2,(8,y若取x為積分變量，則有A

20

2xd

82

[xxd

423

32

83xx2

.2若取為積分變量，則有yyx例3求橢圓所圍圖形的積.b2

6

3

.2解：由于橢圓關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)橢圓在第一象限所圍成的面積為，則所求面積為4Ax.10costπ)，0時(shí)t，x時(shí)t0，dxt，于是ysint2A

40

bsintt)dt

0

ab

2

tdt

0

1cos2t2

dtab例4計(jì)算阿基米德螺a0)對(duì)變

所圍圖形面積.解：由題可知，積分變

，于是所求面積為12a2020例5計(jì)算心形(1cos

(a0)所圍圖的面積.解：心形線(xiàn)所圍成的圖形關(guān)于極軸對(duì)稱(chēng)設(shè)極軸上半部分圖形的面積為A，則心形線(xiàn)所圍成的圖形面積.取極積分變量于是3

bbdbbd

0

12

a2(1

2

d

a

2

0

cos

2cos

2

.022二、體積1．旋轉(zhuǎn)的體積：(1).旋轉(zhuǎn)體：由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體，該直線(xiàn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)軸.注圓柱體圓臺(tái)球體等都是旋轉(zhuǎn)體它們都可以看做是由連續(xù)曲線(xiàn)y()與直、xb以x軸圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的立體.(2).旋轉(zhuǎn)體的體積：①．由曲線(xiàn)yf()與直線(xiàn)x、x以軸所圍成的曲邊梯形繞x軸轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積)]x()a推導(dǎo)：x為積分變量[b]，在[]上任取一小區(qū)[x

x]，其上的窄曲邊梯形繞軸轉(zhuǎn)而成的薄層的體積近似等于以fx)底面半徑、以x高的扁圓柱體的體積，即體積元素dV

[(x)]2

x，

[f()]

x為被積表達(dá)式，在[]上作定積分即得所求旋轉(zhuǎn)體的體積：V)]().a②．由曲線(xiàn)xy)與線(xiàn)c、以及軸所圍成的曲邊梯形繞y旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積

c

d(c)例6連接坐標(biāo)原O(h,r)的直線(xiàn)、直線(xiàn)xx軸圍成一個(gè)直角三角形，將它繞軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半r、高的圓錐體，求其體積.r解：O(0,0)及(r)直線(xiàn)方程為：y.h取為積分變量xh]，則所求旋轉(zhuǎn)體的體積

x

r

2

h.例7計(jì)算由橢圓

x2所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積22解：該旋轉(zhuǎn)橢球體可看做是由半橢圓與軸所圍成的x軸4

a22222a22222旋轉(zhuǎn)而成的立體，半橢圓方程為：aa

2

2

.取x為分變量x[a]則所求立體體積為V

22

(a

2

2

4)3

ab

.例8計(jì)算由擺線(xiàn)a(tsint)，t)相應(yīng)0的一拱，直線(xiàn)y所圍成的圖形分別繞軸、y旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：記擺線(xiàn)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積，取為積分變量，x]，則xVx

20

2

(xdt)0

2

acostdt

33cos

2

cos

3

dt0

3

20

3cos)dt

3

20

t

3sin0

2

)d(sint)a3.記擺線(xiàn)繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V，取y積分變量，[0,]，則V2)y()yy210

a

2(tsin)2

atdt

a

2

t)

2

atdt2

0

0

a

2(tsint)2

atdt

a

2(sin

asintdt

a

2

(t)

2

atdt2

2

0(t2sinttsintsin3t)dt0

a

3

2

2

sintdt

3

2

cos2dt

a

3

2

2

dt)0

00

3

.2．平行面面積為已知的立體的體積：設(shè)一非旋轉(zhuǎn)體的立體介于過(guò)點(diǎn)、xb垂直于x軸的兩個(gè)平面之，該立體過(guò)x軸上的且垂直軸的截面面積為Ax)則該立體的體積為

b

).a推導(dǎo)：若Ax)為續(xù)函數(shù)且已知，取為積分變量，[,],[b]任取一小區(qū)間5

b2[,xx]其上的薄層的體積近似等于底面積為Ax)高d的扁圓柱體的體積即得體b2積元素：(d以Ax)dx為被積表達(dá)式，[a]作定積分，得所求立體的體積公式V.a例9一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓的中心，并與底面交成

，計(jì)算著平面截圓柱體所得立體的體積.解：取該平面與圓柱體的底面的交線(xiàn)為軸，底面上過(guò)圓中心垂直于x軸的直線(xiàn)為y，則底面圓方程為：xy22，該立體中過(guò)x上的點(diǎn)x垂直于軸的截面是一個(gè)直角角形，兩直角邊分別為和ytan

1即2和R，從而截面面積為()(R)tan2

，于是所求體積為

12

(R

)

dx

R0

(R

2

x

2

2)x2

tan

.例4.求以半徑為的圓為底、以平行且等于底圓直徑的線(xiàn)段為頂、高為h的正劈錐體的體積.解：取底面圓所在的平面為xoy平面，圓為原點(diǎn)，并使x軸與正劈錐體的頂平行，底面圓方程為：

2

y

2

R

2

，過(guò)x軸上的點(diǎn)x(x[b])作垂直x軸的平面截正劈錐體得等腰三角形，截面面積為(xyR

，于是，所求正劈錐體的體積為V

R

h

2

2

dh

R

2

2

d02cos22hd00

h2

.三、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)引入：我們知道，用劉徽的割圓術(shù)可以定義圓的周長(zhǎng)，即利用圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)當(dāng)邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)的極限來(lái)確定，現(xiàn)在將劉徽的割圓術(shù)加以推廣，來(lái)定義平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)，從而應(yīng)用定積分來(lái)計(jì)算平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)1平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)的相關(guān)概念(1).平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)弧A上任取分點(diǎn)AMMM,MMM012ii6

n

,MB，n

b依次連接相鄰分點(diǎn)得到該曲線(xiàn)弧的一內(nèi)接折線(xiàn)，記b

max{|M|}若當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無(wú)ii1限增加且每一個(gè)小弧MM都縮向一點(diǎn)，ii

時(shí)，折線(xiàn)的長(zhǎng)ni

M的極限存在，則稱(chēng)此極限值為線(xiàn)弧的弧長(zhǎng)，并稱(chēng)該ii曲線(xiàn)弧是可求長(zhǎng)的，記作slimM.ii(2).光滑曲線(xiàn)：若曲線(xiàn)上每一點(diǎn)處都存在切線(xiàn)，且切線(xiàn)隨切點(diǎn)的移動(dòng)而連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，則稱(chēng)該曲線(xiàn)為光滑曲線(xiàn).(3).定理：光滑曲線(xiàn)可求長(zhǎng).2光滑曲線(xiàn)弧長(zhǎng)的計(jì)算(1).直角坐標(biāo)情形：設(shè)曲線(xiàn)弧的直角坐標(biāo)方程為yf()ax，若f)[a]具有一階連續(xù)函數(shù)，則曲線(xiàn)弧長(zhǎng)為sf

2

(xdxa推導(dǎo)：取x為積分變量，曲線(xiàn)(x)上的相應(yīng)[]上任意小區(qū)間[xx]的一段弧的長(zhǎng)度近似等于曲線(xiàn)在(,(x))處切線(xiàn)上相應(yīng)的一段的長(zhǎng)度，又切線(xiàn)上相應(yīng)小段的長(zhǎng)度為(d)d)1f))2，從而有弧長(zhǎng)元d))

2

以x))

2

x為被積表達(dá)式[a]上作定積分得弧長(zhǎng)公式：

b

1f

2

(xd.a)(2).參數(shù)方程情形：設(shè)曲線(xiàn)弧的參數(shù)方程為y)

t及t)[

具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則曲線(xiàn)弧長(zhǎng)為s

2

(t)

2

(t)dt.推導(dǎo)取參t為積分變量曲線(xiàn)上相應(yīng)[

任意小區(qū)[ttt]的一段弧的長(zhǎng)度的近似值即為弧長(zhǎng)元素ds(d)dy(t)(td，以((td為被積表達(dá)式，[上作定積分，得弧長(zhǎng)公式s()()dt(3).參數(shù)方程情形：設(shè)曲線(xiàn)弧的極坐標(biāo)方程為，[上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則曲線(xiàn)弧長(zhǎng)為：s

(

2

(d

推導(dǎo)：由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系得，曲線(xiàn)的以極角為y7

bb1333bb1333參數(shù)的參數(shù)方程，弧長(zhǎng)元素為ds[

((d，于是曲線(xiàn)弧長(zhǎng)為：

((

2例.計(jì)算曲線(xiàn)yx3

32

上相應(yīng)于xab的一段弧的長(zhǎng)度.解

a

1'

2

(x)d

a