第15講拋物線（解析版）

第15講拋物線【知識點梳理】知識點一：拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（不經(jīng)過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．知識點詮釋:（1）上述定義可歸納為“一動三定”，一個動點，一定直線；一個定值（2）定義中的隱含條件：焦點F不在準(zhǔn)線上，若F在上，拋物線變?yōu)檫^F且垂直與的一條直線.（3）拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題時常與拋物線的定義聯(lián)系起來，將拋物線上的動點到焦點的距離與動點到準(zhǔn)線的距離互化，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化.知識點二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：根據(jù)拋物線焦點所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式，，，。知識點詮釋：①只有當(dāng)拋物線的頂點是原點，對稱軸是坐標(biāo)軸時，才能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；②拋物線的焦點在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開口方向與一次項的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線的一次項為，故其焦點在軸上，且開口向負(fù)方向（向下）③拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項的系數(shù)是焦點的對應(yīng)坐標(biāo)的4倍.④從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項系數(shù)。用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型（一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點的位置或開口方向定型），然后求一次項的系數(shù)，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論.⑤在求拋物線方程時，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)p，若不能確定是哪一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)寫出四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程來，不要遺漏某一種情況。知識點三：拋物線的簡單幾何性質(zhì)：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)范圍：，，拋物線y2=2px（p＞0）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標(biāo)（x，y）的橫坐標(biāo)滿足不等式x≥0；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界曲線。對稱性：關(guān)于x軸對稱拋物線y2=2px（p＞0）關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對稱軸。頂點：坐標(biāo)原點拋物線y2=2px（p＞0）和它的軸的交點叫做拋物線的頂點。拋物線的頂點坐標(biāo)是（0，0）。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對比圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）頂點O（0，0）范圍x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，對稱軸x軸y軸焦點離心率e=1準(zhǔn)線方程焦半徑知識點詮釋：（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，一條準(zhǔn)線；（2）標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點到準(zhǔn)線的距離；p＞0恰恰說明定義中的焦點F不在準(zhǔn)線上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于p的值，才易于確定焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.【題型歸納目錄】題型一：拋物線的定義題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型三：拋物線的綜合問題題型四：軌跡方程題型五：拋物線的幾何性質(zhì)題型六：拋物線中的范圍與最值問題題型七：焦半徑問題【典型例題】題型一：拋物線的定義例1．（滬教版（2020）選修第一冊領(lǐng)航者第2章2.4拋物線第3課時拋物線的性質(zhì)（2））若動點滿足，則點M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【詳解】由題意，動點滿足，即，即動點到定點的距離等于動點到定直線的距離，又由點不在直線上，根據(jù)拋物線的定義，可得動點的軌跡為以為焦點，以的拋物線.故選：D.例2．（江蘇省揚州市儀征中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）對拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為C．開口向右，焦點為 D．開口向右，焦點為【答案】A【解析】將拋物線方程改寫為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，則可根據(jù)該方程判斷開口方向，以及焦點坐標(biāo).【詳解】由題知，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則該拋物線開口向上，焦點坐標(biāo)為.故選：A.例3．（吉林省四平市第一高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知，則方程與在同一坐標(biāo)系內(nèi)對應(yīng)的圖形編號可能是（

）A．①④ B．②③ C．①② D．③④【答案】B【解析】【分析】結(jié)合橢圓、雙曲線、拋物線的圖像，分別對①②③④分析m、n的正負(fù)，即可得到答案.【詳解】對于①：由雙曲線的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，矛盾.故①錯誤；對于②：由雙曲線的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：異號，符合要求.故②成立；對于③：由橢圓的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，且拋物線的焦點在x軸上，符合要求.故③成立；對于④：由橢圓的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，且拋物線的焦點在x軸上，矛盾.故④錯誤；故選：B例4．（四川省南充市閬中市閬中中學(xué)校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)（文）試題）拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離是（

）A．8 B．4 C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程求得，由此求得正確答案.【詳解】拋物線方程為，所以，所以拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離是.故選：A例5．（安徽省蚌埠市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實數(shù)___________.【答案】##【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)其準(zhǔn)線方程即可求得實數(shù).【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，其準(zhǔn)線方程是，而所以，即，故答案為：例6．（第二章平面解析幾何2.7拋物線及其方程2.7.2拋物線的幾何性質(zhì)）如圖，l是平面上一條直線，A在與l垂直的直線m上，且A到l的距離為2，圖中的圓是以A為圓心的一組同心圓，它們的半徑分別為1，2，3，…，除直線m外，圖中的直線都是與直線m垂直的，相鄰兩直線之間的距離為1.在圖中直線與圓的交點中，找出到點A與到直線l距離相等的點，并把這些點用光滑的曲線順次連接起來，觀察所得曲線的形狀.【答案】圖形見解析，曲線為拋物線；【解析】【分析】依題意畫出圖形，根據(jù)拋物線的定義判斷即可；【詳解】解：因為交點到點和到直線的距離相等且點不在直線上，根據(jù)拋物線的定義，可得交點在以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線上；例7．（3.3.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程）已知動點到點的距離比到直線的距離小1，試判斷點M的軌跡是什么圖形．【答案】拋物線【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義判斷．【詳解】動點到點的距離比到直線的距離小1，則動點到點的距離與它到直線的距離相等，所以點軌跡是以為焦點，直線為焦點的拋物線．例8．（習(xí)題2-3）根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并畫圖：(1)準(zhǔn)線方程為；(2)焦點在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6；(3)對稱軸是x軸，頂點到焦點的距離等于2；(4)對稱軸是y軸，經(jīng)過點．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析；(4)答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程為，得到且焦點在y軸上求解；（2）根據(jù)焦點在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6，得到求解；（3）根據(jù)對稱軸是x軸，頂點到焦點的距離等于2，得到求解；（4）根據(jù)對稱軸是y軸，設(shè)拋物線方程為，將點代入求解.(1)解：因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，p=3，所以拋物線的方程是；其圖象如下：(2)因為焦點在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6，所以，所以拋物線的方程是或；其圖象如下：(3)因為對稱軸是x軸，頂點到焦點的距離等于2所以，p=4，所以拋物線的方程是或；其圖象如下：(4)因為對稱軸是y軸，設(shè)拋物線方程為，因為拋物線經(jīng)過點，所以，解得，所以拋物線的方程是，其圖象如下：例9．（3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)）在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出下列拋物線.（1）；（2）；（3）．通過觀察這些圖形，說明拋物線開口的大小與方程中x的系數(shù)有怎樣的關(guān)系．【答案】答案見解析.【解析】【分析】做出拋物線，根據(jù)圖象得出結(jié)論.【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)做出拋物線，如圖，通過圖象可以看出來，當(dāng)x的系數(shù)為正數(shù)且越大時，拋物線的開口向右且開口越大.題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例10．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)高二期中（文））焦點在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】【分析】分別求得直線與x軸，y軸的交點得到拋物線的焦點即可.【詳解】解：直線與x軸的交點為（4，0），與y軸的交點為（0，-3），當(dāng)以（4，0）為焦點時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)由（0，-3）為焦點時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：B例11．（2022·四川省資中縣球溪高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實數(shù)a的值（

）A． B． C．8 D．-8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)準(zhǔn)線方程列出方程，求出實數(shù)a的值.【詳解】由題意得：，解得：.故選：A例12．（2022·吉林·長春市第八中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線的焦點到一條漸近線的距離為3，離心率為，則以雙曲線C的右頂點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線焦點到漸近線的距離求得，結(jié)合離心率求得，從而求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】雙曲線的右焦點到漸近線的距離為，離心率，，所以雙曲線的右頂點為，對于拋物線，，所以拋物線方程為.故選：C例13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點，交其準(zhǔn)線于點，若，且，則此拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】作，，根據(jù)拋物線定義和長度關(guān)系可得，由可構(gòu)造方程求得，根據(jù)比例關(guān)系可求得，即的值，由此可得結(jié)果.【詳解】作，，垂足分別為，設(shè)與軸交于點，由拋物線定義知：，，設(shè)，則，，，則，，又，，，，，即，拋物線方程為：.故選：C.例14．（2022·海南華僑中學(xué)高二期中）過點，且焦點在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)拋物線方程為，代入點的坐標(biāo)，即可求出的值，即可得解；【詳解】解：依題意設(shè)拋物線方程為，因為拋物線過點，所以，解得，所以拋物線方程為；故選：C例15．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二期中（理））拋物線上一點的坐標(biāo)為，則點到焦點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】將點坐標(biāo)代入拋物線可得，則所求距離為.【詳解】在拋物線上，，解得：，點到焦點的距離為.故選：B.例16．（2022·全國·高二課時練習(xí)）焦點在x－y－1＝0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．【答案】或【解析】【分析】先根據(jù)拋物線是標(biāo)準(zhǔn)方程可確定焦點的位置，再由直線與坐標(biāo)軸的交點可得到焦點坐標(biāo)可得到標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】因為拋物線焦點坐標(biāo)即為直線與坐標(biāo)軸的交點,所以其焦點坐標(biāo)為和，當(dāng)焦點為時，設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知，所以其方程為，當(dāng)焦點為時，設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為,可知其方程中的，所以其方程為，故答案為：或．例17．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)高二期中（理））若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則的值為_____【答案】【解析】【分析】先求出雙曲線的半焦距c，進而得到實數(shù)的值.【詳解】解：由得雙曲線，則，所以，拋物線的焦點為，，，故答案為：4.例18．（2022·天津市第一中學(xué)濱海學(xué)校高二開學(xué)考試）若拋物線的焦點與雙曲線的左焦點重合，則拋物線方程為______.【答案】【解析】【分析】求出雙曲線的左焦點坐標(biāo)，進而列出方程，求出，求出拋物線方程.【詳解】的左焦點坐標(biāo)為，則，解得：，所以拋物線的方程為故答案為：例19．（2022·全國·高二課時練習(xí)）準(zhǔn)線方程為的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線準(zhǔn)線方程可知拋物線開口方向和幾何量p，然后可得方程.【詳解】由拋物線準(zhǔn)線方程可知，拋物線開口向右，其中，得，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：例20．（2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的焦點為F，點在拋物線上，則PF的長為______．【答案】5【解析】【分析】把點代入拋物線方程解得，根據(jù)拋物線定義．【詳解】的焦點為點在拋物線上，則，解得根據(jù)拋物線的定義故答案為：5．例21．（2022·全國·高二課時練習(xí)）求焦點在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】或【解析】【分析】先求出直線與軸以及軸交點，即拋物線的焦點，從而可寫出拋物線方程.【詳解】因為直線與軸交點為，與軸交點為，所以當(dāng)拋物線焦點為時，拋物線方程為；當(dāng)拋物線焦點為時，拋物線方程為.故所求方程為或.例22．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知方程的拋物線上有一點，點M到焦點F的距離為5，求m的值．【答案】【解析】【分析】先由拋物線的定義求出p=4得到標(biāo)準(zhǔn)方程，再將M點坐標(biāo)代入拋物線方程即可求解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程是.由拋物線的定義可得：,解得p=4.所以拋物線方程是.將M點坐標(biāo)代入拋物線方程得，解得：.綜上所述：例23．（2022·江蘇·高二）已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，其上一點到焦點F的距離為6．求拋物線的方程及點A的坐標(biāo)．【答案】，或【解析】【分析】由題意，設(shè)拋物線方程為，則由拋物線的定義結(jié)合已知可得，求出的值，從而可得拋物線方程，再將坐標(biāo)代入拋物線方程可求出的值，進而可求出點A的坐標(biāo)【詳解】由題意，設(shè)拋物線方程為，則其準(zhǔn)線方程為，∴，得p＝4，故拋物線方程為；又∵點在拋物線上，∴，∴，即點A的坐標(biāo)為或．題型三：拋物線的綜合問題1例24．（2022·浙江·高二階段練習(xí)）已知點是拋物線的焦點，，點在拋物線上且滿足，若取最大值時，點恰好在以為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】結(jié)合拋物線定義可得，可知當(dāng)最大時，最大，則當(dāng)直線與拋物線相切時，取得最大值；將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用可求得點坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線定義可求得，結(jié)合可得，由此可得雙曲線離心率.【詳解】過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線定義知：；由得：，當(dāng)取最大值時，最小，即最小，則最大；當(dāng)直線與拋物線相切時，最大；設(shè)直線，由得：，，解得：，，解得：，；由雙曲線定義知：，則；又，則，雙曲線離心率.故選：A.例25．（2022·河南洛陽·高二階段練習(xí)（文））已知拋物線:（其中為常數(shù)）過點（1，3），則拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離等于（

）A． B． C． D．3【答案】B【解析】【分析】由點在拋物線上可得拋物線的方程為，結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得拋物線的準(zhǔn)線方程與焦點坐標(biāo)，即可得解.【詳解】由拋物線y＝px2(其中p為常數(shù))過點A(1,3)，可得p＝3，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，則拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離等于.故選：B例26．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知拋物線的焦點為，為上的動點，直線與的另一交點為，關(guān)于點的對稱點為．當(dāng)?shù)闹底钚r，直線的方程為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)為的中點，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作，，，則由拋物線定義知，再分析可得當(dāng)，，三點共線且在，之間時取得最小值，再設(shè)方程為，聯(lián)立拋物線利用韋達定理結(jié)合的橫坐標(biāo)為4即可求得直線方程.【詳解】設(shè)為的中點，連接，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作，，，垂足分別為，，．則，，，又點到直線的距離為，，當(dāng)，，三點共線且在，之間時，，此時，點的橫坐標(biāo)為．過點，故設(shè)方程為，代入，得，，則．當(dāng)，，三點共線時，，解得，直線的方程為，此時點在，之間，成立．所以當(dāng)?shù)闹底钚r，直線的方程為故答案為：例27．（2022·河南安陽·高二階段練習(xí)（理））已知拋物線：的焦點為，過點且斜率為2的直線與拋物線交于，兩點（點在軸的上方），則______．【答案】【解析】【分析】求出直線AB的方程及點A，B的橫坐標(biāo)，再利用拋物線定義計算作答.【詳解】拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線方程為：，直線AB的方程為：，由消去y并整理得：，解得，，依題意，點A的橫坐標(biāo)，點B的橫坐標(biāo)，由拋物線定義得：.故答案為：例28．（2022·全國·高二期末）一拋物線型的拱橋如圖所示：橋的跨度米，拱高米，在建造時每隔4米用一個柱子支撐，則支柱的長度______米．【答案】3.84.##【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系.利用待定系數(shù)法求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出點的坐標(biāo)，即可求出支柱的長度.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,使拋物線的焦點在y軸上.可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.因為橋的跨度米，拱高米，所以,代入標(biāo)準(zhǔn)方程得：，解得：，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為把點的橫坐標(biāo)-2代入,得，解得：，支柱的長度為(米).即支柱的長度為3.84(米).故答案為：3.84.例29．（2022·江西·上高二中高二階段練習(xí)（理））圓的圓心在拋物線上，且圓與軸相切于點A，與軸相交于、兩點，若（為坐標(biāo)原點），則______．【答案】【解析】【分析】不妨設(shè)點在第一象限，設(shè)，則，根據(jù)求出，從而可求得圓的方程，求出的坐標(biāo)即可得解.【詳解】解：不妨設(shè)點在第一象限，設(shè)，則，故，解得，故圓心，所以圓的半徑等于，所以圓的方程為，當(dāng)時，或，所以.故答案為：.例30．（2022·上海市大同中學(xué)高二期中）已知橢圓上存在兩點M、N關(guān)于直線對稱，且MN的中點在拋物線上，則實數(shù)t的值為______．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出直線MN的方程，再與橢圓方程聯(lián)立求出MN中點坐標(biāo)，代入拋物線方程計算作答.【詳解】依題意，設(shè)直線MN的方程為：，由消去y并整理得：，，即，設(shè)，則，于是得線段MN的中點，因MN的中點在拋物線上，則，解得或（舍去），線段MN的中點在對稱軸上，則有，所以實數(shù)t的值為0.故答案為：0例31．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高二期中（理））已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于，兩點，且.(1)求該拋物線的方程；(2)為坐標(biāo)原點，求的面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，由拋物線的定義結(jié)合韋達定理化簡弦長后求解（2）解出坐標(biāo)，由割補法求解(1)拋物線的焦點為，所以直線的方程為，由消去得，所以，由拋物線定義得，即，所以.所以拋物線的方程為.(2)由知，方程，可化為，解得，，故，.所以，.則面積題型四：軌跡方程例32．（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小1，則P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義判斷軌跡，再由拋物線焦點、準(zhǔn)線得到方程即可.【詳解】由題意知動點到直線的距離與定點的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，所以，軌跡方程為，故選：D例33．（2022·山東·青島二中高二階段練習(xí)）已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，可得動點M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，由拋物線的定義知，點M的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程．【詳解】設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等,由拋物線的定義可知，動圓圓心的軌跡是以C(0，-3)為焦點，以y＝3為準(zhǔn)線的一條拋物線，所以，其方程為，故選：A例34．（2022·江蘇·高二）與點和直線的距離相等的點的軌跡方程是______．【答案】【解析】【分析】由拋物線的定義和方程，計算可得所求軌跡方程．【詳解】解：由拋物線的定義可得平面內(nèi)與點和直線的距離相等的點的軌跡為拋物線，且為焦點，直線為準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的方程為，可知，解得，所以該拋物線方程是，故答案為：例35．（2022·江蘇·高二）若點到直線的距離比它到點的距離小，則點的軌跡方程是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，將條件轉(zhuǎn)化為點到直線的距離與它到點的距離相等，結(jié)合拋物線的定義即可求解點的軌跡方程．【詳解】點到直線的距離比它到點的距離小，點到直線的距離與它到點的距離相等，點的軌跡是以為焦點、直線：為準(zhǔn)線的拋物線，因此，設(shè)的軌跡方程為，，可得，解得，，動點的軌跡方程為．故答案為：．例36．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點到點的距離比點到直線的距離小，求點的軌跡方程．【答案】【解析】【分析】分析可知點的軌跡是以點為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，可設(shè)該拋物線的方程為，求出的值，即可得解.【詳解】解：由題意可知，點到點的距離和點到直線的距離相等，故點的軌跡是以點為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)點的軌跡方程為，則，解得，故點的軌跡方程為.例37．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點M到點的距離比到y(tǒng)軸的距離大2，求點M的軌跡方程．【答案】【解析】【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為點M到點的距離等于點M到的距離，即點M的軌跡是拋物線，求其方程可得答案．【詳解】由題意可轉(zhuǎn)化為點M到點的距離等于點M到的距離，設(shè)，所以點M的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線，頂點在原點，開口向右的拋物線，設(shè)其方程為，所以，，所以點M的軌跡方程為.例38．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點M與點的距離比它到直線的距離小2，求點M的軌跡方程．【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化命題為動點到的距離與它到直線的距離相等，利用拋物線的定義求解拋物線方程即可．【詳解】由題意知動點到的距離比它到直線的距離小2，即動點到的距離與它到直線的距離相等，由拋物線定義可知動點的軌跡為以為焦點的拋物線，則點的軌跡方程為.例39．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知圓A：(x＋2)2＋y2＝1與定直線l：x＝1，且動圓P和圓A外切并與直線l相切，求動圓的圓心P的軌跡方程．【答案】y2＝－8x.【解析】【分析】由題設(shè)易知P到圓心A的距離和到定直線x＝2的距離相等，根據(jù)拋物線定義寫出軌跡方程即可.【詳解】由題意知：點P到圓心A(－2,0)的距離和到定直線x＝2的距離相等，所以點P的軌跡為拋物線，且焦點為A，準(zhǔn)線為x＝2，故點P的軌跡方程為y2＝－8x.例40．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知點到橢圓的右焦點的距離與到直線的距離相等，求點的軌跡方程．【答案】【解析】【分析】由題知橢圓右焦點為，進而設(shè)，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.【詳解】解：由橢圓方程得其右焦點為，設(shè)，由于點到的距離與到直線的距離相等，所以，整理得所以點的軌跡方程為.例41．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知圓，直線，求與直線l相切且與圓F外切的圓的圓心M的軌跡方程．【答案】【解析】【分析】考察點到F的距離與到直線的距離，作輔助直線結(jié)合拋物線定義可解.【詳解】由圖可知，到F的距離比到直線的距離大1，記直線為直線，則到F的距離等于到直線的距離，由拋物線定義可知，M的軌跡為頂點在原點開口向左的拋物線，其中，所以M的軌跡方程為：例42．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）從拋物線上任意一點向x軸作垂線段，求垂線段中點的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．【答案】軌跡方程為，是以為焦點的拋物線；【解析】【分析】先設(shè)出垂線段的中點為，點是拋物線上的點，把它們坐標(biāo)之間的關(guān)系找出來，代入拋物線的方程即可．【詳解】解：設(shè)垂線段的中點為，點是拋物線上的點，則，；即，，是拋物線上的點，所以，即，即垂線段中點的軌跡方程為，是以為焦點的拋物線；例43．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知直線和圓．若圓與直線相切，與圓外切，求圓的圓心的軌跡方程．【答案】【解析】【分析】分析可知圓心的軌跡是以點為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，求出的值，即可得出圓心的軌跡方程.【詳解】設(shè)圓為半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，由題意可知，圓心到直線的距離為，所以，圓心到直線的距離和它到點的距離相等，故圓心的軌跡是以點為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，因此，圓心的軌跡方程為.例44．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知動點P到點的距離與它到直線的距離相等，求點P的軌跡方程.【答案】【解析】【分析】由題意可知的軌跡是以為焦點的拋物線，由此得到出，即可以求出的軌跡方程．【詳解】解：由拋物線的定義知點的軌跡是以為焦點的拋物線，其開口方向向右，且，解得，所以其方程為．例45．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點，直線，兩個動圓均過A且與l相切，若圓心分別為?，則的軌跡方程為___________；若動點M滿足，則M的軌跡方程為___________.【答案】

【解析】【分析】由拋物線的定義得動圓的圓心軌跡方程，設(shè)，，，根據(jù)可得，，利用可求得結(jié)果.【詳解】解：由拋物線的定義得動圓的圓心軌跡是以為焦點，直線：為準(zhǔn)線的拋物線，所以的軌跡方程為，設(shè)，，，因為動點滿足，所以，即，，所以，，因為，所以，所以，即的軌跡方程為.故答案為：；.題型五：拋物線的幾何性質(zhì)例46．（2022·浙江·高二期末）下列命題中正確的是（

）A．拋物線的焦點坐標(biāo)為．B．拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1．C．拋物線的圖象關(guān)于x軸對稱．D．拋物線的圖象關(guān)于y軸對稱．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)逐項分析可得答案.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為，故A錯誤；拋物線的準(zhǔn)線方程為，故B錯誤；拋物線的圖象關(guān)于x軸對稱，故C正確，D錯誤；故選：C.例47．（2022·全國·高二課時練習(xí)）拋物線的對稱軸是直線A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)拋物線的簡單幾何性質(zhì)即可求出．【詳解】因為拋物線：，所以其關(guān)于軸對稱，即對稱軸為直線．故選：D．【點睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．例48．（2022·四川·攀枝花市第三高級中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））以軸為對稱軸，頂點為坐標(biāo)原點，焦點與原點之間的距離為2的拋物線方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的概念以及幾何性質(zhì)即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意設(shè)拋物線方程為．因為焦點與原點之間的距離為2，所以，所以，所以拋物線方程為或．故選：C．例49．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知直線垂直于拋物線的對稱軸，與E交于點A，B（點A在第一象限），過點A且斜率為的直線與E交于另一點C，若，則p=（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，作于，進而根據(jù)幾何關(guān)系得，再結(jié)合點在上列方程求解即可.【詳解】如圖，因為過點A且斜率為的直線與E交于另一點C，若，所以可設(shè)，作于．因為，則．由，易得，所以，，即知，因為點在上．所以，解得．故選：A例50．（多選題）（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）下列四個方程所表示的曲線中既關(guān)于軸對稱，又關(guān)于軸對稱的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合拋物線，橢圓，圓的性質(zhì)，依次討論求解即可.【詳解】解：對于A選項，對于曲線上的任意點，其關(guān)于軸對稱的點滿足方程，關(guān)于軸對稱的點也滿足方程，故滿足條件；對于B選項，即為，表示焦點在軸正半軸的拋物線，關(guān)于軸對稱，但不關(guān)于軸對稱，故不滿足；對于C選項，即為，表示焦點在軸上的橢圓，滿足既關(guān)于軸對稱，又關(guān)于軸對稱，故滿足條件；對于D選項，即為，表示圓心為，半徑為的圓，其關(guān)于軸對稱，不關(guān)于軸對稱，故不滿足條件.故選：AC例51．（多選題）（2022·浙江·嘉興市第五高級中學(xué)高二期中）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（

）A．開口向左 B．焦點坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線為 D．對稱軸為軸【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程依次判斷選項即可得到答案.【詳解】對選項A，，開口向左，故A正確；對選項B，，焦點為，故B錯誤；對選項C，，準(zhǔn)線方程為，故C錯誤；對選項D，，對稱軸為軸，故D正確.故選：AD例52．（多選題）（2022·全國·高二課時練習(xí)）（多選）平面內(nèi)到定點和到定直線的距離相等的動點的軌跡為曲線．則（

）A．曲線的方程為B．曲線關(guān)于軸對稱C．當(dāng)點在曲線上時，D．當(dāng)點在曲線上時，點到直線的距離【答案】AB【解析】【分析】由拋物線定義，可知曲線是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為，依次判斷，即得解【詳解】由拋物線定義，知曲線是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為，故A正確；若點在曲線上，則點也在曲線上，故曲線關(guān)于軸對稱，故B正確；由知，故C錯誤；點到直線的距離，所以D錯誤故選：AB例53．（多選題）（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高二期中）已知點F為拋物線的焦點，點K為點F關(guān)于原點的對稱點，點M在拋物線C上，則下列說法正確的是（

）A．使得為等腰三角形的點M有且僅有4個B．使得為直角三角形的點M有且僅有4個C．使得的點M有且僅有4個D．使得的點M有且僅有4個【答案】ABD【解析】【分析】為等腰三角形，考慮兩邊相等，結(jié)合圖形，可得有4個點；為直角三角形，考慮直角頂點，結(jié)合圖形，可得有4個點；考慮直線，與拋物線的方程聯(lián)立，解方程可得交點個數(shù)；由對稱性可得有2個；考慮直線，代入拋物線的方程，解方程可得交點個數(shù)，由對稱性可得點有4個．【詳解】如圖，由為等腰三角形，若，則有兩個點；若，則不存在，若，則有兩個點，則使得為等腰三角形的點有且僅有4個,故A正確；由中為直角的點有兩個；為直角的點不存在；為直角的點有兩個，則使得為直角三角形的點有且僅有4個，故B正確；若的在第一象限，可得直線，代入拋物線的方程可得，解得，由對稱性可得在第四象限只有一個，則滿足的有且只有2個，故C錯誤；使得的點在第一象限，可得直線，代入拋物線的方程，可得，，可得點有2個；若在第四象限，由對稱性可得也有2個，則使得的點有且只有4個，故D正確．故選：ABD例54．（2022·黑龍江·雞西市第一中學(xué)校高二期中）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，從拋物線的焦點發(fā)出的光線經(jīng)該拋物線反射后與對稱軸平行.沿直線發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，與軸相交于點，則___________.【答案】6【解析】【分析】由于直線與拋物線的對稱軸平行，所以由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知點就是拋物線的焦點，從而可求出的值【詳解】因為直線與拋物線的對稱軸平行，所以由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知沿直線發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，與軸相交于點就是拋物線的焦點，所以，，故答案為：6例55．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）判斷下列方程所表示的曲線是否關(guān)于x軸、y軸或原點對稱：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)關(guān)于原點、x軸、y軸對稱．(2)關(guān)于原點、x軸、y軸對稱．(3)關(guān)于y軸對稱．(4)不關(guān)于x軸、y軸，原點對稱.【解析】【分析】（1）（2）（3）直接利用曲線方程的對稱性寫出結(jié)果即可，（4）利用曲線上任一點關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的點是否還在曲線上進行判斷．(1)，是橢圓方程，所以關(guān)于原點、x軸、y軸對稱．(2)，曲線是雙曲線方程，所以關(guān)于原點、x軸、y軸對稱．(3)，曲線是拋物線方程，開口向下，對稱軸為軸，不關(guān)于原點、x軸對稱．(4)在曲線上任取一點，則關(guān)于x軸、y軸、原點的對稱點分別為：、、，將代入曲線方程，得到，與方程不同，將代入曲線方程，得到，與方程不同，將代入曲線方程，得到，與方程不同，所以曲線不關(guān)于x軸、y軸，原點對稱.例56．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點到直線：的距離比到點的距離大2.（1）求點的軌跡的方程；（2）請指出曲線的對稱性，頂點和范圍，并運用其方程說明理由.【答案】（1）；（2）對稱性：曲線關(guān)于軸對稱；頂點：；范圍：曲線在直線右側(cè)，且右上方和右下方無限延伸.理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出等量關(guān)系，化簡整理，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)由拋物線向右平移一個單位得到，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得：動點到直線的距離與到的距離相等，設(shè)，則，化簡整理，可得，所以點的軌跡的方程為；（2）由（1）得的方程為；即由拋物線向右平移一個單位得到；所以曲線也關(guān)于軸對稱，頂點為，范圍為，.【點睛】本題主要考查求軌跡方程，以及軌跡的性質(zhì)，熟記軌跡方程的求法，以及拋物線的性質(zhì)即可，屬于常考題型.題型六：拋物線中的范圍與最值問題例57．（2022·四川·寧南中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知直線恒過定點，拋物線：的焦點坐標(biāo)為，為拋物線上的動點，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】由條件求出的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的定義求的最小值.【詳解】方程可化為，所以直線恒過定點，因為拋物線：的焦點坐標(biāo)為，所以，即，所以，過點作準(zhǔn)線，垂足為，則，過點作準(zhǔn)線，垂足為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號，所以的最小值為3，故選：C.例58．（2022·貴州·遵義四中高二期末）點F是拋物線的焦點，點，P為拋物線上一點，P不在直線AF上，則△PAF的周長的最小值是（

）A．4 B．6 C． D．【答案】C【解析】【分析】由拋物線的定義轉(zhuǎn)化后求距離最值【詳解】拋物線的焦點，準(zhǔn)線為過點作準(zhǔn)線于點，故△PAF的周長為，，可知當(dāng)三點共線時周長最小，為故選：C例59．（2022·江蘇·高二）已知拋物線：的準(zhǔn)線為，點的坐標(biāo)為，點在拋物線上，點到直線的距離為，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】【分析】利用拋物線定義，把問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到點A和焦點F距離差的最大值求解.【詳解】拋物線：的焦點，依題意，，則，當(dāng)且僅當(dāng)點P，F(xiàn)，A共線，即點P為拋物線頂點時取“=”，所以的最大值為.故選：A例60．（2022·四川成都·高二開學(xué)考試（文））已知拋物線的焦點為F，點A在拋物線上，若存在點B，滿足，則OB的斜率的最大值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)點，，表示出，考慮的正負(fù)情況，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意：，，設(shè)點，，A在拋物線上，故，，，由得，即，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，∴k有最大值，故選:C.例61．（2022·河南·沈丘縣第一高級中學(xué)高二期末（理））已知拋物線的焦點為F，且點F與圓上點的距離的最大值為6，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先求得拋物線的焦點坐標(biāo)，再根據(jù)點F與圓上點的距離的最大值為6求解.【詳解】因為拋物線的焦點為F，且點F與圓上點的距離的最大值為6，所以，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選：D例62．（2022·安徽·淮南第二中學(xué)高二開學(xué)考試）已知拋物線，直線，且在上恰有兩個點到的距離為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)與平行且與拋物線相切的直線方程，利用判別式等于零求得，再根題意得兩直線間的距離，解不等式可得答案.【詳解】設(shè)直線與拋物線相切，聯(lián)立，得，，∵，∴,由題意得，直線與直線的距離，即，解得，∴,故選:B.例63．（多選題）（2022·福建泉州·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，，F(xiàn)為拋物線的焦點，點P在C上，軸于A，則（

）A．當(dāng)時，的最小值為3B．當(dāng)時，的最小值為4C．當(dāng)時，的最大值為1D．當(dāng)軸時，為定值【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義結(jié)合圖象一一計算可得；【詳解】解：對于A：時拋物線，焦點，點在拋物線外，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線且在之間時取等號（如下圖所示），故A錯誤；對于B、C：當(dāng)時拋物線，焦點，準(zhǔn)線方程為，點在拋物線內(nèi)，設(shè)與準(zhǔn)線交于點，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線且在之間時取等號（如下圖所示），故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線且在之間時取等號（如下圖所示），故C正確；對于D：拋物線，焦點，準(zhǔn)線方程為，當(dāng)，此時，則，解得，即或，如圖取，則，，所以，故D正確；故選：BCD例64．（2022·廣東梅州·高二階段練習(xí)）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點是滿足的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為____；若點為拋物線上的動點，在軸上的射影為，則的最小值為______．【答案】

##【解析】【分析】設(shè)點坐標(biāo)，根據(jù)題意寫出關(guān)于與的關(guān)系式化簡即可；利用拋物線的定義可知，進而可得，即得.【詳解】設(shè)點，，∴.拋物線的焦點為點，由題意知，，∴.故答案為：；.例65．（2022·河南·舞陽縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知拋物線的焦點為F，則拋物線上的動點P到點與F距離之和的最小值為______．【答案】7【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義,可將長度轉(zhuǎn)化到點到準(zhǔn)線的距離,進而根據(jù)兩點之間線段最短即可求解.【詳解】記拋物線的準(zhǔn)線方程為，到l的距離為，作于，則，當(dāng)且僅當(dāng)為與拋物線的交點時，等號成立．故答案為：7例66．（2022·江蘇·高二）如圖所示，已知P為拋物線上的一個動點，點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，若的最小值為3，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)定義將轉(zhuǎn)化為點P到點Q和準(zhǔn)線的距離之和，由最小值為3可得p，然后可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】過點P、Q分別作準(zhǔn)線的垂線，垂直分別為M、N，由拋物線定義可知，當(dāng)P，M，Q三點共線時等號成立所以，解得所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：例67．（2022·全國·高二課時練習(xí)）拋物線的焦點為，點為該拋物線上的動點，又已知定點，則的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】過點作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為點，由拋物線的定義可得出，可得出，利用當(dāng)、、三點共線時，取最小值可得結(jié)果.【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，如下圖所示：過點作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為點，由拋物線的定義可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，即當(dāng)時，取得最小值為.故答案為：.例68．（2022·北京師大附中高二期末）已知點及拋物線，若拋物線上點P滿足，則m的最大值為_____________．【答案】【解析】【分析】化簡，通過距離公式可得，利用基本不等式求最值即可求解．【詳解】設(shè)，由題意可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，m的最大值為故答案為：例69．（2022·江蘇蘇州·高二期末）已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，直線l過點F與拋物線C交于A，B兩點，以F為圓心的圓交線段AB于C，D兩點（從上到下依次為A，C，D，B），若，則該圓的半徑r的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】設(shè)出直線的方程為，代入拋物線方程，消去，可得關(guān)于的二次方程，運用韋達定理及拋物線的定義，化簡計算可求解.【詳解】拋物線C：y2=8x的焦點為,設(shè)以為圓心的圓的半徑為，可知，，設(shè)，直線的方程為，則，代入拋物線方程，可得，即有，，，，即，所以.故答案為：題型七：焦半徑問題例70．（2022·江蘇·高二）已知拋物線上的一點到其焦點的距離為2，則該拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】由拋物線的定義與焦半徑公式直接求解即可.【詳解】由題可知，拋物線準(zhǔn)線，可得，解得，所以該拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為.故選：A.例71．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二期中（理））已知為拋物線的焦點，為拋物線上的動點，點．則當(dāng)取最大值時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用兩點間距離公式和拋物線焦半徑公式可得，令可將所求式子化為，根據(jù)二次函數(shù)的最大值點可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，；，，；令，則，，則當(dāng)，即時，取最大值，此時.故選：B.例72．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二期中（理））拋物線上一點的坐標(biāo)為，則點到焦點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】將點坐標(biāo)代入拋物線可得，則所求距離為.【詳解】在拋物線上，，解得：，點到焦點的距離為.故選：B.例73．（2022·江蘇·高二）已知拋物線上一點滿足（其中為坐標(biāo)原點，為拋物線的焦點），則（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知，，，再根據(jù)兩點之間的距離公式，列出等式，建立關(guān)于的方程，即可求出結(jié)果.【詳解】因為拋物線，所以，又在拋物線上，所以，又，所以，所以.解得.故選：D.例74．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二階段練習(xí)（文））已知的三個頂點都在拋物線上，且F為拋物線的焦點，若，則（

）A．12 B．10 C．9 D．6【答案】C【解析】【分析】設(shè)A，B，C的縱坐標(biāo)分別是，由，得三點縱坐標(biāo)之和，再結(jié)