垂線(xiàn)的概念與性質(zhì)1教案

教案教學(xué)根本信息課題垂線(xiàn)的概念與性質(zhì)學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：第三學(xué)段班級(jí)七班級(jí)教材書(shū)名：數(shù)學(xué)七班級(jí)下冊(cè)出版社：人民教育出版社出版日期：2012年10月教學(xué)設(shè)計(jì)參加人員姓名單位設(shè)計(jì)者葉慶華北京工業(yè)高校附屬中學(xué)實(shí)施者葉慶華北京工業(yè)高校附屬中學(xué)指導(dǎo)者曹自由北京市朝陽(yáng)區(qū)教育討論中心課件制作者葉慶華北京工業(yè)高校附屬中學(xué)教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)本節(jié)課的內(nèi)容是垂線(xiàn)的概念和性質(zhì)．垂線(xiàn)有兩共性質(zhì)，第一共性質(zhì)是垂線(xiàn)的存在性和唯一性，這是垂線(xiàn)作圖的保證，其次共性質(zhì)是“垂線(xiàn)段最短〞．在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)垂線(xiàn)性質(zhì)的探究，開(kāi)展同學(xué)空間觀(guān)念，表達(dá)幾何直觀(guān)．課堂中將通過(guò)三道例題關(guān)心同學(xué)完成學(xué)習(xí)任務(wù)．教學(xué)過(guò)程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)置意圖引入今日我們連續(xù)來(lái)學(xué)習(xí)相交線(xiàn)中的有關(guān)內(nèi)容：垂線(xiàn)的概念與性質(zhì)．通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)我們知道，“相交〞是兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系，表達(dá)在兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角的位置關(guān)系〔即四對(duì)鄰補(bǔ)角、兩對(duì)對(duì)頂角〕，數(shù)量關(guān)系〔即鄰補(bǔ)角互補(bǔ)、對(duì)頂角相等〕．所以依據(jù)這些性質(zhì)，在兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中知道其中一個(gè)角的度數(shù)，我們就可以求其余三個(gè)角的度數(shù)，從而進(jìn)行幾何中角的有關(guān)計(jì)算．請(qǐng)同學(xué)們想一想：這些學(xué)問(wèn)我們是如何討論的呢？我們從“實(shí)際問(wèn)題——定義——性質(zhì)——應(yīng)用〞這一路徑進(jìn)行討論解決問(wèn)題的．對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，在討論了它的一般情形后，往往要看看是否存在值得討論的特別情形．相交線(xiàn)中，你認(rèn)為什么狀況是特別的？這個(gè)特別情形又該怎樣討論呢？這節(jié)課我們就來(lái)連續(xù)探究相關(guān)學(xué)問(wèn)．復(fù)習(xí)舊知，引入新知新課一、垂線(xiàn)的概念1．情景引入：取兩根木條a，b，將它們釘在一起，固定木條a，轉(zhuǎn)動(dòng)木條b．〔1〕如圖，兩根木條所成的角中，假如∠α=35°，其他三個(gè)角各等于多少度？〔2〕假如∠α等于m°，其他三個(gè)角各等于多少度？在木條轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，我們發(fā)覺(jué)有一個(gè)位置是特別的，也就是當(dāng)∠α=90°時(shí)．同學(xué)們可以想一想，為什么我們說(shuō)此時(shí)是一個(gè)特別位置？一方面，當(dāng)∠α=90°時(shí)，其他三個(gè)角也都等于90°，也就是這時(shí)四個(gè)角是相等的；另一方面，這種狀況會(huì)消失幾次呢？我們可以看出，木條b在0到180度的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，這種狀況只消失一次．而其他狀況，比方四個(gè)角中有一個(gè)角是35°的狀況，都會(huì)消失兩次，如下圖．所以，我們把這種特別狀況稱(chēng)為a與b相互垂直，也就是當(dāng)∠α=90°時(shí),a與b相互垂直．記作a⊥b．即垂直是相交的一種特別情形．追問(wèn)：〔1〕對(duì)于兩條直線(xiàn)相互垂直，你認(rèn)為應(yīng)討論哪些內(nèi)容？按怎樣的路徑綻開(kāi)討論？〔2〕在兩條直線(xiàn)相交的根底上，你認(rèn)為應(yīng)如何定義垂直？2．垂直的定義：當(dāng)兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，這兩條直線(xiàn)相互垂直，其中的一條直線(xiàn)叫做另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，它們的交點(diǎn)叫做垂足．如圖1,直線(xiàn)a,b相互垂直,點(diǎn)O叫做垂足．直線(xiàn)a叫做直線(xiàn)b的垂線(xiàn)，直線(xiàn)b也叫做直線(xiàn)a的垂線(xiàn)．如圖2，直線(xiàn)AB、CD相互垂直,垂足為O．就是AB⊥CD或CD⊥AB，垂足為O．讀作：AB垂直于CD，垂足為O．如圖2，直線(xiàn)AB與CD相交于點(diǎn)O．假如∠AOC=90°，那么AB⊥CD．這個(gè)推理過(guò)程可以寫(xiě)成下面的形式：由于∠AOC=90°，所以AB⊥CD〔垂直的定義〕．反過(guò)來(lái)，假設(shè)AB⊥CD，垂足為O，那么∠AOC=90°．推理過(guò)程就是：由于AB⊥CD，所以∠AOC=90°〔垂直的定義〕．二、垂線(xiàn)的性質(zhì)探究探究1：〔1〕用三角尺或量角器畫(huà)直線(xiàn)的垂線(xiàn)，這樣的垂線(xiàn)能畫(huà)幾條？〔2〕經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l上一點(diǎn)A畫(huà)l的垂線(xiàn)，這樣的垂線(xiàn)能畫(huà)出幾條?〔3〕經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l外一點(diǎn)B畫(huà)l的垂線(xiàn)，這樣的垂線(xiàn)能畫(huà)出幾條?結(jié)論：經(jīng)過(guò)一點(diǎn)〔直線(xiàn)上或直線(xiàn)外〕，能畫(huà)出直線(xiàn)的一條垂線(xiàn)，并且只能畫(huà)出一條垂線(xiàn)．即在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直．思索1：過(guò)一點(diǎn)畫(huà)線(xiàn)段、射線(xiàn)的垂線(xiàn)，應(yīng)如何畫(huà)呢？如圖,請(qǐng)你過(guò)點(diǎn)P畫(huà)出線(xiàn)段AB或射線(xiàn)AB的垂線(xiàn)過(guò)一點(diǎn)作線(xiàn)段的垂線(xiàn)，垂足可以在線(xiàn)段上，也可以在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上．所以大家在畫(huà)圖時(shí)要留意：畫(huà)一條線(xiàn)段或射線(xiàn)的垂線(xiàn)，就是畫(huà)它們所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)．思索2：如圖，在澆灌時(shí)，要把河中的水引到農(nóng)田P處，如何挖渠能使渠道最短？此問(wèn)題就是“直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)所連的線(xiàn)段中,哪條線(xiàn)段最短?〞探究2：如圖，連接直線(xiàn)l外一點(diǎn)P與直線(xiàn)l上各點(diǎn)O，A1，A2，A3，…，其中，PO⊥l，這里PO為點(diǎn)P到直線(xiàn)l的垂線(xiàn)段．比擬線(xiàn)段PO，PA1，PA2，PA3，…的長(zhǎng)短，這些線(xiàn)段中，哪一條最短？結(jié)論：連接直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的全部線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短．簡(jiǎn)潔說(shuō)成：垂線(xiàn)段最短．直線(xiàn)外一點(diǎn)到這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．如圖，PO⊥l于點(diǎn)O，垂線(xiàn)段PO的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離．這里距離是指線(xiàn)段的長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量概念．問(wèn)題解決：現(xiàn)在你知道水渠該怎么挖了嗎？過(guò)點(diǎn)P作河道所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)段PQ，那么沿著線(xiàn)段PQ挖出的水渠道最短．舉例應(yīng)用：體育課上測(cè)量跳遠(yuǎn)成果．問(wèn)題〔1〕復(fù)習(xí)穩(wěn)固鄰補(bǔ)角互補(bǔ),對(duì)頂角相等的性質(zhì)的運(yùn)用．利用相交線(xiàn)的模型作演示，讓同學(xué)留意觀(guān)看，轉(zhuǎn)動(dòng)木條b時(shí)，它和木條a相互垂直的位置有幾個(gè)？從而體會(huì)垂直是相交中特別情形，熟悉垂線(xiàn)的唯一性．用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表示垂直．通過(guò)三種語(yǔ)言描述垂直,體會(huì)從不同視角熟悉垂直．兩條直線(xiàn)相交形成的角中，無(wú)論哪一個(gè)角是直角，都可以推斷兩條直線(xiàn)相互垂直，反過(guò)來(lái)，兩條直線(xiàn)相互垂直，它們的四個(gè)交角都是直角．在學(xué)校學(xué)問(wèn)的根底上，通過(guò)畫(huà)圖、觀(guān)看、思索等活動(dòng)，得到“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直〞這一根本領(lǐng)實(shí)．通過(guò)動(dòng)手操作,體會(huì)垂線(xiàn)的存在性與唯一性,加深對(duì)這一根本領(lǐng)實(shí)的熟悉．通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)例,進(jìn)一步體會(huì)這一根本領(lǐng)實(shí),從而開(kāi)展空間想象力量、推理力量和抽象力量．結(jié)合圖形,進(jìn)一步明確兩條線(xiàn)段垂直、兩條射線(xiàn)垂直、線(xiàn)段與射線(xiàn)垂直、線(xiàn)段與直線(xiàn)垂直、射線(xiàn)與直線(xiàn)垂直都是指它們所在的直線(xiàn)垂直．通過(guò)動(dòng)手操作、結(jié)合生活中的實(shí)例以及圖形理解“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離〞的意義，熟悉垂線(xiàn)段與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的區(qū)分與聯(lián)系．把握度量點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的方法，并能正確度量點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,從而開(kāi)展空間想象力量．通過(guò)畫(huà)圖、測(cè)量、比擬發(fā)覺(jué)“垂線(xiàn)段最短〞的性質(zhì)．通過(guò)生活中的例子,體會(huì)這一性質(zhì)的應(yīng)用，從而開(kāi)展空間想象力量、推理力量和抽象力量．例題例1如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，垂足為O，∠AOC=55°，求∠EOD的度數(shù)．解：由于OE⊥AB，所以∠EOB=90°．(垂直的定義)由于∠BOD=∠AOC=55°，〔對(duì)頂角相等〕所以∠EOD=∠EOB+BOD=90+55°=145°．例2如圖，點(diǎn)A，O，B在同一條直線(xiàn)上，射線(xiàn)OD和射線(xiàn)OE分別平分∠AOC和∠BOC．試推斷射線(xiàn)OD與射線(xiàn)OE的位置關(guān)系．解：OD⊥OE，理由如下：由于點(diǎn)A，O，B在同一條直線(xiàn)上，所以∠AOB=180°．由于OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，即∠DOE=90°．所以O(shè)D⊥OE．例3如圖,三角形ABC中，∠C=90°．〔1〕點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離是線(xiàn)段的長(zhǎng)；點(diǎn)B到直線(xiàn)AC的距離是線(xiàn)段的長(zhǎng)．〔2〕過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，那么線(xiàn)段AC，BC，CD中最短的是，理由是．分析：〔1〕依據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是點(diǎn)到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，由∠C=90°，得到AC⊥BC，那么點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離是線(xiàn)段AC的長(zhǎng)；點(diǎn)B到直線(xiàn)AC的距離是線(xiàn)段BC的長(zhǎng)．〔2〕先依據(jù)題目要求，畫(huà)出圖形．由CD⊥AB，可知線(xiàn)段CD是點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的垂線(xiàn)段，依據(jù)“垂線(xiàn)段最短〞，線(xiàn)段AC，BC，CD中最短的是線(xiàn)段CD．綜合運(yùn)用對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角以及垂直的概念進(jìn)行幾何計(jì)算．加深對(duì)垂直的判定的理解．在綜合圖形中進(jìn)一步理解點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的概念，增加識(shí)圖的力量．進(jìn)一步體會(huì)“垂線(xiàn)段最段〞的性質(zhì)．總結(jié)梳理本節(jié)課所討論的內(nèi)容．總結(jié)主要內(nèi)容，加深對(duì)相交線(xiàn)有關(guān)學(xué)問(wèn)的理解．作業(yè)作業(yè)1〔1〕找出圖中相互垂直的線(xiàn)段，并用三角尺檢驗(yàn)．〔2〕如圖，畫(huà)AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)．〔3〕如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB，垂足為O，∠EOC=35°，求∠AOD的度數(shù)．〔4〕如圖，用量角器畫(huà)∠AOB的平分線(xiàn)OC，在OC上任取一點(diǎn)P，比擬點(diǎn)P到OA，O