【2022屆完美領(lǐng)航一輪復(fù)習(xí)】四種命題與充要條件

§1.2四種命題與充要條件

目錄命題中要掌握的是：分清條件與結(jié)論，四種命題的形式．及真假關(guān)系，不可太深入，而充分條件與必要條件，必須加強(qiáng)，從集合的角度，邏輯的角度等多角度衡量，使學(xué)生體會(huì)，認(rèn)識(shí)理解．自主·基礎(chǔ)構(gòu)建導(dǎo)學(xué)建議1．命題用語(yǔ)句、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題，其中判斷為真的命題叫做真命題，判斷為假的命題叫做假命題．2．四種命題(1)四種命題：原命題：若p，則q；逆命題：若q，則p；否命題：若﹃p，則﹃

q；逆否命題：若﹃

q，則﹃

p.知識(shí)梳理(2)四種命題的關(guān)系：原命題為真，它的逆否命題為真，但它的逆命題與否命題不一定為真．原命題與它的逆否命題同真同假，是等價(jià)命題；否命題與逆命題也同真同假，也是等價(jià)命題．3．充分條件，必要條件與充要條件(1)若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．若p?q，則p與q互為充要條件．若p?_q，且q?p，則p是q的既不充分又不必要條件．(2)設(shè)滿足條件p的元素構(gòu)成集合A，滿足條件q的元素構(gòu)成集合B.①若A?B，則p是q的充分條件．②若A＝B，則p是q的充要條件．③若AB，則p是q的充分不必要條件．④若BA，則p是q的必要不充分條件．⑤若AB且B

A，則p是q的既不充分又不必要條件．(3)若原命題的充要關(guān)系不易判斷時(shí)，可考慮它的等價(jià)命題，利用互為逆否關(guān)系的兩個(gè)命題同真假來(lái)判斷：①﹃

p?﹃

q等價(jià)于q?p；②﹃

q?﹃

p等價(jià)于p?q.1．有三個(gè)語(yǔ)句：(1)x＜2；(2)x2－1＝0；(3)x2＜0(x∈R)，其中是命題的為(

)A．(1)(2)

B．(1)(3)C．(2) D．(3)【解析】只有(3)是能判斷真假的陳述句．【答案】

D達(dá)標(biāo)自測(cè)2．“x＞1”是“x2＞x”的(

)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】由x＞1?x2＞x，由x2＞x?x＜0或x＞1，故“x＞1”是“x2＞x”的充分而不必要條件．【答案】

A3．①p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形是正方形，則q是p的________條件；②p：x＞0，q：x≥6，則p是q的________條件；③p：m＜－2，q：關(guān)于x的方程x2－x－m＝0無(wú)實(shí)根，則q是p的________條件；【解析】①由下圖可知，BA，故q是p的充分不必要條件．②設(shè)A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≥6}，由上圖可知，BA，故p是q的必要不充分條件．③設(shè)A＝{m|m＜－2}，B＝{m|x2－x－m＝0無(wú)實(shí)根}＝{m|Δ＝1＋4m＜0}＝{m|m＜－}，∴AB，故q是p的必要不充分條件．【答案】①充分不必要；②必要不充分；③必要不充分4．分別寫(xiě)出命題“若x2＋y2＝0，則x，y全為零”的逆命題，否命題和逆否命題，并判斷真假．【解析】逆命題：若x，y全為零，則x2＋y2＝0，為真命題；否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為0，為真命題；逆否命題：若x，y不全為0，則x2＋y2≠0，為真命題． 【交流感悟】________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型一是基礎(chǔ)，一定要和課本結(jié)合．類型二、三是常考類型，高考題主要集中在這種類型上，老師應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候，多增加幾個(gè)針對(duì)性訓(xùn)練，使學(xué)生體會(huì)充分條件、必要條件的用處、充分與必要條件必須要注意，知識(shí)細(xì)節(jié)問(wèn)題，以及隱含條件，這是易錯(cuò)處．互動(dòng)·方法探究導(dǎo)學(xué)建議類型一四種命題及其真假【溫馨提示】首先要分清楚命題的條件與結(jié)論，最好把原命題寫(xiě)成“若p則q”的形式，原命題的其他命題都可依次寫(xiě)出，四種命題關(guān)系為：互為逆否命題的兩命題同真同假典例研習(xí)

寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假．(1)全等三角形一定相似；(2)末位數(shù)字是零的自然數(shù)能被5整除．【切入思維】(1)改成“若p則q”形式為：若兩三角形全等，則它們一定相似．(2)問(wèn)改寫(xiě)成：若一個(gè)自然數(shù)末位數(shù)為0，則它一定能被5整除．例1【解答】(1)逆命題：若兩個(gè)三角形相似，則一定全等，逆命題為假．否命題：若兩個(gè)三角形不全等，則一定不相似，否命題為假．逆否命題：若兩個(gè)三角形不相似，則一定不全等，逆否命題為真．(2)逆命題：若一個(gè)自然數(shù)能被5整除，則末位數(shù)字是零，逆命題為假．否命題：若一個(gè)自然數(shù)的末位數(shù)字不是零，則不能被5整除，否命題為假．逆否命題：若一個(gè)自然數(shù)不能被5整除，則末位數(shù)字不是零，逆否命題為真．【點(diǎn)評(píng)】命題中的條件與結(jié)論不是非常明晰時(shí)，一定要把命題寫(xiě)成“若p則q”形式．【變式與思考】原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中真命題個(gè)數(shù)可以有多少個(gè)？【提示】可以有0,2,4個(gè)．類型二充分條件與必要條件【溫馨提示】判斷p是q的什么條件，主要根據(jù)定義，但也有一些常用方法．①小范圍推大范圍，A?B，x∈A?x∈B；②正難則反，若正面不易得出p?q，則可以推導(dǎo)綈q?綈p，對(duì)于含有“至少”或“至多”字眼時(shí)常用此方法．

指出下列命題中，p是q的什么條件(在”充分不必要條件”、“必要不充分條件”、充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選出一種作答)(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB；(2)對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.【切入思維】主要看：p、q誰(shuí)能推出誰(shuí)．【解答】(1)在△ABC中，A＝B?sinA＝sinB，反之，若sinA＝sinB，因?yàn)锳與B不可能互補(bǔ)(因?yàn)槿切稳齻€(gè)內(nèi)角和為180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要條件．例2(2)易知，﹃

p：x＋y＝8，﹃

q：x＝2且y＝6，顯然﹃

q?﹃

p，但﹃

p?﹃

q，即﹃

q是﹃

p的充分不必要條件，根據(jù)原命題和逆否命題的等價(jià)性知，p是q的充分不必要條件．(3)條件p：x＝1，且y＝2，條件q：x＝1或y＝2，所以p?q但q?p，故p是q的充分不必要條件．【點(diǎn)評(píng)】(2)問(wèn)用正難則反的方法，(3)是小范圍推導(dǎo)大范圍．【變式與思考】①問(wèn)中：改為在△ABC中，p：A>B，q：sinA>sinB.類型三充分條件與必要條件的綜合運(yùn)用【溫馨提示】證明充要條件，只要條件與結(jié)論相互推出即可．

(12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝pn＋q.求證數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件是p≠0且p≠1且q＝－1.【切入思維】由充要條件的定義，可先由p≠0且p≠1且q＝－1?{an}是等比數(shù)列即為充分性；再由{an}是等比數(shù)列?Sn＝pn＋q即為必要性．例3【證明】先證必要性．當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝p＋q；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1≠0，∴p≠0，p≠1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是等比數(shù)列.3分要使{an}(n∈N＋)是等比數(shù)列，即(p－1)p＝p(p＋q)，∴q＝－1.6分再證充分性當(dāng)p≠0，p≠1，且q＝－1時(shí)，Sn＝pn－1，∴S1＝p－1，即a1＝p－1，又n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，∴an＝(p－1)pn－1(n≥2)，9分又n＝1時(shí)也滿足，

【點(diǎn)評(píng)提升】本題可作為已知小結(jié)論使用，充分條件與必要條件只是工具，經(jīng)常與其他知識(shí)結(jié)合．用充分，必要的觀點(diǎn)考查知識(shí)間的聯(lián)系，能認(rèn)識(shí)問(wèn)題，理清關(guān)系．

求關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件．同類訓(xùn)練例高考排雷【剖析】導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤的原因是忽略題目中的隱含條件，擴(kuò)大了x的范圍．在有關(guān)充分條件和必要條件的判斷推理中，需注意隱含條件是否會(huì)對(duì)結(jié)果造成影響．1．(2010年·天津)命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是(

)A．若f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù)B．若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)C．若f(－x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)D．若f(－x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)三年高考【解析】原命題的否命題是既否定題設(shè)又否定結(jié)論，故“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是B選項(xiàng)．【答案】

B【考題賞析】容易題，結(jié)合奇函數(shù)，考查否命題概念．2．(2010年·北京)a，b為非零向量，“a⊥b”是“函數(shù)f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)為一次函數(shù)”的(

)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝x2a·b＋xb2－xa2－a·b＝x2a·b＋x(b2－a2)－a·b.充分性：∵a⊥b，∴a·b＝0，∴f(x)＝x(b2－a2)，若|a|≠|(zhì)b|，則f(x)是一次函數(shù)，若|a|＝|b|，則f(x)是常數(shù)函數(shù)，∴充分性不成立．必要性：∵f(x)是一次函數(shù)，∴a·b＝0且b2－a2≠0，∴a⊥b且|b|≠|(zhì)a|，∴必要性成立，故選B.【答案】

B【考題賞析】向量與函數(shù)結(jié)合，用充分必要條件的角度，考查兩者關(guān)系．知識(shí)結(jié)合的比較嚴(yán)密平滑．3．(2010年·陜西)對(duì)于數(shù)列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}為遞增數(shù)列”的(

)A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】∵an＋1>|an|，a2＞|a1|，∴a2＞0，a2＞a1，當(dāng)n≥2時(shí)，∴an>0，∴an＋1>|an|?an＋1＞an?{an}單調(diào)遞增，∴an＋1>|an|是{an}為遞增數(shù)列的充分條件．【答案】

B【考題賞析】an＋1>|an|?an＋1>an，但是由an＋1>an?

an＋1>|an|.考查知識(shí)細(xì)節(jié)，注意知識(shí)嚴(yán)密性．感悟提升1．命題真假的判斷等問(wèn)題往往會(huì)將所學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)綜合起來(lái)，既考查對(duì)命題等概念的理解，又考查相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，是高考的熱點(diǎn)題型，解決這類問(wèn)題時(shí)，一定要掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)．2．由于互為逆否命題的兩個(gè)命題之間是等價(jià)的，所以我們?cè)谥苯幼C明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，可以通過(guò)證明其逆否命題為真命題，來(lái)間接地證明原命題為真命題．通過(guò)證明逆否命題成立而證明原命題成立的幾種類型有：(1)原命題含有否定詞“不”、“不能”、“不是”等；(2)原命題含有“所有的”、“任意的”、“至少”、“至多”等；(3)原命題分類復(fù)雜，逆否命題分類簡(jiǎn)單的；(4)原命題化簡(jiǎn)復(fù)雜，逆否命題化簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的．3．充分條件與必要條件的