優(yōu)海森矩陣(Hessian Matrix)在圖像增強(qiáng)中的應(yīng)用

海森矩陣(HessianMatrix)在圖像增強(qiáng)中的應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)中，海森矩陣(HessianMatrix)也叫黑塞矩陣，它是由多元實(shí)值函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)組成的方塊矩陣。而且海森矩陣本身也包含了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)，例如泰勒展開、多元函數(shù)求導(dǎo)、矩陣、特征值、特征向量等。其中，海森矩陣的特征值、特征向量是我們分析海森矩陣要重點(diǎn)關(guān)注的。海森矩陣在圖像處理中有廣泛的應(yīng)用，比如圖像增強(qiáng)、邊緣檢測(cè)、特征點(diǎn)檢測(cè)(SIFT、SURF、FAST)等。海森矩陣在圖像增強(qiáng)方面，則是通過其特征值的絕對(duì)值大小表示圖像中局部灰度的變化，特征向量表示該局部灰度變化的方向。因此，根據(jù)海森矩陣的特征值、特征向量，就可以有目的地對(duì)圖像中的一些局部特性進(jìn)行增強(qiáng)，使得我們感興趣的圖像特征變得清晰。海森矩陣在其他應(yīng)用的分析方法與圖像增強(qiáng)的分析類似，因此掌握海森矩陣在圖像增強(qiáng)中的分析方法是很重要的。海森矩陣的定義在高等數(shù)學(xué)中，將一個(gè)一元函數(shù)f(x)在x0處進(jìn)行泰勒展開，可以得到以下公式。然后將其二階導(dǎo)數(shù)部分映射到二維以及多維空間就是海森矩陣(HessianMatrix)。在二元函數(shù)中，假設(shè)存在一個(gè)二元函數(shù)是f(x,y)，那么將f(x+dx,y+dy)在f(x0,y0)處展開,得到如下式子：如果將上述式子用矩陣表示，并且舍去余項(xiàng)，則得到以下式子。上面等式子中由二階偏導(dǎo)數(shù)組成的矩陣就是一個(gè)二維空間的海森矩陣了。其表示形式如下。因?yàn)槎A混合偏導(dǎo)數(shù)fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)，所以海森矩陣具有HT=H的性質(zhì)。因此，海森矩陣H是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣。海森矩陣的性質(zhì)從海森矩陣的表示形式中，不難看出海森矩陣是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，因此在二維圖像中海森矩陣是一個(gè)2X2的實(shí)對(duì)稱矩陣。由實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)知，海森矩陣H的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的，特征值都是實(shí)數(shù)，特征向量都是實(shí)向量。對(duì)于2X2的實(shí)對(duì)稱矩陣A來說，若A≠kE(k為不為0的常數(shù)，E為單位矩陣)，則矩陣A有兩個(gè)不同的特征值和對(duì)應(yīng)的正交向量；若矩陣A=kE，此時(shí)矩陣A的兩個(gè)特征值相等，特征向量為任意不為0的二維實(shí)向量。因此，2X2的實(shí)對(duì)稱矩陣一定具有兩個(gè)正交的特征向量，所以二維圖像的海森矩陣也一定具有兩個(gè)互相正交的特征向量。相關(guān)的證明：設(shè)2X2實(shí)對(duì)稱矩陣A=[a,c;c,b],則令|A-rE|=(a-r)(b-r)-c^2=0那么，r^2-(a+b)r+ab-c^2=0；判別式?=(a+b)^2-4(ab-c^2)=(a-b)^2+4c^2;若方程的解r是同根，則?=(a-b)^2+4c^2=0?(a-b)^2=-4c^2;因?yàn)閏是實(shí)數(shù)，所以有c=0,a=b;因此A有兩個(gè)相同特征值的充要條件為A=kE,則當(dāng)A≠kE時(shí)A有兩個(gè)不相同的特征值。如下圖所示，利用MATLAB代碼生成2X2實(shí)對(duì)稱矩陣特征值與特征向量的性質(zhì)圖。其中，圖1是A≠kE時(shí)的性質(zhì)圖，圖2是A=kE時(shí)的性質(zhì)圖。圖1A≠kE時(shí)的性質(zhì)圖圖2A=kE時(shí)的性質(zhì)圖上圖中綠色的那一圈是單位圓，單位圓上的每個(gè)位置和原點(diǎn)的連線會(huì)形成一個(gè)單位向量e，用矩陣左乘這個(gè)向量e就會(huì)得到圖中藍(lán)色的那個(gè)箭頭(箭頭的長度是相對(duì)長度)。圖中的兩個(gè)紅色的線代表矩陣的兩個(gè)特征向量。通過觀察圖3和圖4可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)單位特征向量的正交的，并且兩個(gè)特征向量的位置分別對(duì)應(yīng)藍(lán)色箭頭最短和最長的兩個(gè)位置。也就是說，對(duì)于一個(gè)2X2的海森矩陣(實(shí)對(duì)稱矩陣)H，H左乘一個(gè)任意單位向量e后得到α向量，α向量的|α|取值范圍為Min{|r1|,|r2|}至Max{|r1|,|r2|}，其中當(dāng)向量e為H的單位特征向量時(shí)，|α|的值取到最大或最小。海森矩陣的意義在特定方向d上的二階導(dǎo)數(shù)可以寫成dTHd。當(dāng)d是H的一個(gè)特征向量時(shí)，這個(gè)方向的二階導(dǎo)數(shù)就是就是對(duì)應(yīng)的特征值。對(duì)于其他的方向d，方向二階導(dǎo)數(shù)是所有特征值的加權(quán)平均，權(quán)重在0和1之間，且與d夾角越小的特征向量的權(quán)重越大。最大特征值確定最大二階導(dǎo)數(shù)，最小特征值確定最小二階導(dǎo)數(shù)。根據(jù)圖像灰度梯度知識(shí)，我們可以知道二階導(dǎo)數(shù)越大，灰度梯度變化得越大，因此在某個(gè)方向上的二階導(dǎo)數(shù)越大，這個(gè)方向上的灰度梯度變化就越大，從而這個(gè)方向上的亮度突變?cè)酱蟆Ｈ绻较蚨A導(dǎo)數(shù)越小，則這個(gè)方向上的灰度梯度變化不明顯，這個(gè)方向上的亮度變化具有線性性。根據(jù)特征值與方向?qū)?shù)的關(guān)系，總結(jié)出海森矩陣兩個(gè)特征值具有以下表格1的特性。簡單的應(yīng)用例子通常在數(shù)字圖像中，二階導(dǎo)數(shù)可以使用二階差分來表示。所以二維圖像的海森矩陣H的描述形式為：在實(shí)際應(yīng)用中，這種方法的魯棒性很差，容易受噪聲干擾。同時(shí)，雖然這二階差分公式能用來表示數(shù)字圖像中某個(gè)位置的二階變化率，但是它表示的范圍太局部了。因此，根據(jù)尺度空間理論，二階導(dǎo)數(shù)可以通過圖像與二階高斯模板的卷積獲得。例如，在點(diǎn)(x,y)處的二階導(dǎo)數(shù)為：通過前面的理論分析，利用VS2019+OpenCV3.45+C++實(shí)現(xiàn)基于海森矩陣的圖像增強(qiáng)算法。其中，OpenCV是一個(gè)開源的圖像處理算法庫。在算法實(shí)現(xiàn)中我們用到了OpenCV3.45算法庫的cv::imread()圖片讀取函數(shù)、cv::imshow()顯示函數(shù)、cv::filter2D()卷積函數(shù)、cv::getStructuringElement()自定義核函數(shù)、cv::morphologyEx()通用形態(tài)學(xué)函數(shù)和cv::eigen()函數(shù)計(jì)算矩陣的特征值與特征向量。實(shí)現(xiàn)步驟如下：第一步，讀取單通道圖像，即灰度圖；第二步，生成高斯二階偏導(dǎo)數(shù)；第三步，將灰度圖像與高斯二階偏導(dǎo)數(shù)模板