【教案】圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的數(shù)學(xué)原理及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

教學(xué)設(shè)計(jì)標(biāo)題：圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的數(shù)學(xué)原理及其應(yīng)用學(xué)情分析：圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用是教材中圓錐曲線章節(jié)末的閱讀與思考內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線、拋物線的內(nèi)容，掌握了圓錐曲線的概念、幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，了解光的反射原理.教學(xué)目標(biāo)：1.通過探究，能發(fā)現(xiàn)并證明圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的直觀想象，邏輯推理素養(yǎng);2.能應(yīng)用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)解決有關(guān)問題，發(fā)展學(xué)生分析問題，解決問題的能力.教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的數(shù)學(xué)原理及其應(yīng)用難點(diǎn)：圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的數(shù)學(xué)原理.教學(xué)過程：一、情景引入我們知道，當(dāng)一束光線照到鏡面時(shí)，光線會(huì)依一定的規(guī)律反射，即入射角等于反射角.當(dāng)光線從圓錐曲線的一焦點(diǎn)射出，經(jīng)曲線上的一點(diǎn)反射后，會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？【師生活動(dòng)】教師：(看到動(dòng)畫演示后)當(dāng)光線從圓錐曲線的一焦點(diǎn)射出，經(jīng)曲線反射后，會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？學(xué)生：從橢圓一焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線會(huì)交于橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)上；從雙曲線一焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的的延長線會(huì)交于雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn);從拋物線焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線會(huì)平行于拋物線的對(duì)稱軸.教師：我們把上述性質(zhì)稱為圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，你能否從數(shù)學(xué)角度來解釋圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)呢？二、探究實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)1如圖，圓O的半徑為定長r,A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓O上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？你能給出證明嗎？你還有什么發(fā)現(xiàn)？【師生活動(dòng)】教師手動(dòng)操作，學(xué)生仔細(xì)觀察思考.教師：(動(dòng)畫制作后)點(diǎn)Q的軌跡是什么？學(xué)生：橢圓！教師：你能證明嗎？學(xué)生：由于點(diǎn)Q在線段PA的垂直平分線上，由圖可知，QA+QO=QP+QO=OP=r,且教師：你還發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)生：AP的垂直平分線l與橢圓相切，Q是切點(diǎn).教師：你能給出證明嗎？學(xué)生：有點(diǎn)難…教師：直線與橢圓相切的定義是什么？學(xué)生：直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn).教師：顯然，點(diǎn)Q已經(jīng)是直線l和橢圓的交點(diǎn)了，你有什么想法？學(xué)生：那么只需要證明直線l上除了點(diǎn)Q在橢圓上外，沒有其它的點(diǎn)在橢圓上了教師：如何證明點(diǎn)是否在橢圓上？學(xué)生：用定義！教師：請(qǐng)你給出證明過程學(xué)生：如圖所示，設(shè)M為l上任意一點(diǎn)，由于l為線段PA的垂直平分線，則有MO+MA=MO+MP≥PO=r，當(dāng)且僅當(dāng)M與教師:若過點(diǎn)Q作l的垂線，該垂線是否平分∠學(xué)生：如圖所示，由于∠OQl=∠PQl=∠AQl教師：當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，是否也成立？學(xué)生：此時(shí)Q,O,A教師：由此你得到了一個(gè)關(guān)于橢圓的什么性質(zhì)？學(xué)生經(jīng)過討論總結(jié)，教師板書：性質(zhì)1設(shè)F1,F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，l為過點(diǎn)P且與橢圓相切的直線，則過點(diǎn)P且與l垂直的直線平分教師：你能否利用這個(gè)性質(zhì)解釋說明橢圓的光學(xué)性質(zhì)？學(xué)生：如圖，當(dāng)光線從F1射入經(jīng)橢圓上的點(diǎn)P反射時(shí)，過點(diǎn)P作橢圓的切線,過點(diǎn)P作切線的垂線，則該垂線就是光線反射的法線，根據(jù)性質(zhì)1，該垂線平分∠F1PF2，故根據(jù)光的反射原理，光線從F請(qǐng)同學(xué)們使用網(wǎng)絡(luò)畫板完成以下探究.探究活動(dòng)2如圖，將探究1中的定點(diǎn)A移動(dòng)到圓O外，其他條件不變，點(diǎn)Q的軌跡是什么？你能給出證明嗎？你還有什么發(fā)現(xiàn)？【師生活動(dòng)】學(xué)生動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q的軌跡為雙曲線，經(jīng)過小組討論和論證，得到了一個(gè)關(guān)于雙曲線的性質(zhì)：性質(zhì)2設(shè)F1,F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上的任意一點(diǎn)，l為過點(diǎn)P且與雙曲線相切的直線，則l教師：你能否利用這個(gè)性質(zhì)解釋說明雙曲線的光學(xué)性質(zhì)？l學(xué)生：如圖，當(dāng)光線從F2射入經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)P反射時(shí)，過點(diǎn)P作雙曲線的切線,過點(diǎn)P作切線的垂線，則該垂線就是光線反射的法線，根據(jù)性質(zhì)2，該切線l平分∠F1PF2，故根據(jù)光的反射原理，光線從F2l探究活動(dòng)3如圖，A為一定點(diǎn)，l為不經(jīng)過點(diǎn)A的定直線，在直線l上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作l的垂線，連接AP，設(shè)線段AP的垂直平分線交l的垂線于點(diǎn)Q,點(diǎn)Q的軌跡是什么？你能給出證明嗎？你還有什么發(fā)現(xiàn)？【師生活動(dòng)】學(xué)生動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q的軌跡為拋物線，經(jīng)過小組討論和論證，得到了一個(gè)關(guān)于拋物線的性質(zhì)：性質(zhì)3設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，l為過點(diǎn)P與拋物線相切的直線，則l平分∠F教師：你能否利用這個(gè)性質(zhì)解釋說明拋物線的光學(xué)性質(zhì)？學(xué)生：如圖，當(dāng)光線從F射入經(jīng)拋物線上的點(diǎn)P反射時(shí)，過點(diǎn)P作拋物線的切線l,過點(diǎn)P作切線l的垂線，則該垂線就是光線反射的法線，根據(jù)性質(zhì)3，切線l平分∠HPF，故根據(jù)光的反射原理，光線從F射入經(jīng)點(diǎn)P反射后的反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸(垂直于拋物線的準(zhǔn)線).三、應(yīng)用1.用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)解釋說明下列問題.(1)國家大劇院為什么設(shè)計(jì)成橢球形？橢圓空間的舞臺(tái)和觀眾分別位于橢球形的兩個(gè)焦點(diǎn)上，舞臺(tái)在焦點(diǎn)處發(fā)出的光線和聲音經(jīng)橢圓反射后匯集在另外一個(gè)焦點(diǎn)上，給觀眾帶來視覺和聽覺的極致.(2)汽車的內(nèi)反光鏡的鏡面是雙曲線形，為什么反光鏡內(nèi)的視野會(huì)更開闊？司機(jī)的眼睛位于雙曲線