【教案】圓錐曲線光學性質(zhì)的數(shù)學原理及應(yīng)用教學設(shè)計人教A版（2019）選擇性必修第一冊

教學設(shè)計標題：圓錐曲線光學性質(zhì)的數(shù)學原理及其應(yīng)用學情分析：圓錐曲線光學性質(zhì)及其應(yīng)用是教材中圓錐曲線章節(jié)末的閱讀與思考內(nèi)容，學生已經(jīng)學習了橢圓、雙曲線、拋物線的內(nèi)容，掌握了圓錐曲線的概念、幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，了解光的反射原理.教學目標：1.通過探究，能發(fā)現(xiàn)并證明圓錐曲線的光學性質(zhì)，發(fā)展學生的直觀想象，邏輯推理素養(yǎng);2.能應(yīng)用圓錐曲線的光學性質(zhì)解決有關(guān)問題，發(fā)展學生分析問題，解決問題的能力.教學重難點：重點：圓錐曲線光學性質(zhì)的數(shù)學原理及其應(yīng)用難點：圓錐曲線光學性質(zhì)的數(shù)學原理.教學過程：一、情景引入我們知道，當一束光線照到鏡面時，光線會依一定的規(guī)律反射，即入射角等于反射角.當光線從圓錐曲線的一焦點射出，經(jīng)曲線上的一點反射后，會發(fā)生什么現(xiàn)象？【師生活動】教師：(看到動畫演示后)當光線從圓錐曲線的一焦點射出，經(jīng)曲線反射后，會發(fā)生什么現(xiàn)象？學生：從橢圓一焦點發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線會交于橢圓另一個焦點上；從雙曲線一焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的的延長線會交于雙曲線的另一個焦點;從拋物線焦點發(fā)出的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線會平行于拋物線的對稱軸.教師：我們把上述性質(zhì)稱為圓錐曲線的光學性質(zhì)，你能否從數(shù)學角度來解釋圓錐曲線的光學性質(zhì)呢？二、探究實驗探究活動1如圖，圓O的半徑為定長r,A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓O上任意一點，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？你能給出證明嗎？你還有什么發(fā)現(xiàn)？【師生活動】教師手動操作，學生仔細觀察思考.教師：(動畫制作后)點Q的軌跡是什么？學生：橢圓！教師：你能證明嗎？學生：由于點Q在線段PA的垂直平分線上，由圖可知，QA+QO=QP+QO=OP=r,且教師：你還發(fā)現(xiàn)什么？學生：AP的垂直平分線l與橢圓相切，Q是切點.教師：你能給出證明嗎？學生：有點難…教師：直線與橢圓相切的定義是什么？學生：直線與橢圓只有一個交點.教師：顯然，點Q已經(jīng)是直線l和橢圓的交點了，你有什么想法？學生：那么只需要證明直線l上除了點Q在橢圓上外，沒有其它的點在橢圓上了教師：如何證明點是否在橢圓上？學生：用定義！教師：請你給出證明過程學生：如圖所示，設(shè)M為l上任意一點，由于l為線段PA的垂直平分線，則有MO+MA=MO+MP≥PO=r，當且僅當M與教師:若過點Q作l的垂線，該垂線是否平分∠學生：如圖所示，由于∠OQl=∠PQl=∠AQl教師：當直線l斜率不存在時，是否也成立？學生：此時Q,O,A教師：由此你得到了一個關(guān)于橢圓的什么性質(zhì)？學生經(jīng)過討論總結(jié)，教師板書：性質(zhì)1設(shè)F1,F2為橢圓的兩個焦點，點P為橢圓上的任意一點，l為過點P且與橢圓相切的直線，則過點P且與l垂直的直線平分教師：你能否利用這個性質(zhì)解釋說明橢圓的光學性質(zhì)？學生：如圖，當光線從F1射入經(jīng)橢圓上的點P反射時，過點P作橢圓的切線,過點P作切線的垂線，則該垂線就是光線反射的法線，根據(jù)性質(zhì)1，該垂線平分∠F1PF2，故根據(jù)光的反射原理，光線從F請同學們使用網(wǎng)絡(luò)畫板完成以下探究.探究活動2如圖，將探究1中的定點A移動到圓O外，其他條件不變，點Q的軌跡是什么？你能給出證明嗎？你還有什么發(fā)現(xiàn)？【師生活動】學生動手操作，發(fā)現(xiàn)點Q的軌跡為雙曲線，經(jīng)過小組討論和論證，得到了一個關(guān)于雙曲線的性質(zhì)：性質(zhì)2設(shè)F1,F2為雙曲線的兩個焦點，點P為雙曲線上的任意一點，l為過點P且與雙曲線相切的直線，則l教師：你能否利用這個性質(zhì)解釋說明雙曲線的光學性質(zhì)？l學生：如圖，當光線從F2射入經(jīng)雙曲線上的點P反射時，過點P作雙曲線的切線,過點P作切線的垂線，則該垂線就是光線反射的法線，根據(jù)性質(zhì)2，該切線l平分∠F1PF2，故根據(jù)光的反射原理，光線從F2l探究活動3如圖，A為一定點，l為不經(jīng)過點A的定直線，在直線l上任取一點P，過點P作l的垂線，連接AP，設(shè)線段AP的垂直平分線交l的垂線于點Q,點Q的軌跡是什么？你能給出證明嗎？你還有什么發(fā)現(xiàn)？【師生活動】學生動手操作，發(fā)現(xiàn)點Q的軌跡為拋物線，經(jīng)過小組討論和論證，得到了一個關(guān)于拋物線的性質(zhì)：性質(zhì)3設(shè)F為拋物線的焦點，點P為拋物線上任意一點，過點P作拋物線準線的垂線，垂足為H，l為過點P與拋物線相切的直線，則l平分∠F教師：你能否利用這個性質(zhì)解釋說明拋物線的光學性質(zhì)？學生：如圖，當光線從F射入經(jīng)拋物線上的點P反射時，過點P作拋物線的切線l,過點P作切線l的垂線，則該垂線就是光線反射的法線，根據(jù)性質(zhì)3，切線l平分∠HPF，故根據(jù)光的反射原理，光線從F射入經(jīng)點P反射后的反射光線平行于拋物線的對稱軸(垂直于拋物線的準線).三、應(yīng)用1.用圓錐曲線的光學性質(zhì)解釋說明下列問題.(1)國家大劇院為什么設(shè)計成橢球形？橢圓空間的舞臺和觀眾分別位于橢球形的兩個焦點上，舞臺在焦點處發(fā)出的光線和聲音經(jīng)橢圓反射后匯集在另外一個焦點上，給觀眾帶來視覺和聽覺的極致.(2)汽車的內(nèi)反光鏡的鏡面是雙曲線形，為什么反光鏡內(nèi)的視野會更開闊？司機的眼睛位于雙曲線