求遞推數(shù)列通項(xiàng)的特征根法-高考出題熱點(diǎn)(完整版)實(shí)用資料

求遞推數(shù)列通項(xiàng)的特征根法,高考出題熱點(diǎn)（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）

專(zhuān)題求遞推數(shù)列通項(xiàng)的特征根法求遞推數(shù)列通項(xiàng)的特征根法,高考出題熱點(diǎn)（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）一、形如是常數(shù)）的數(shù)列形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為…①若①有二異根，則可令是待定常數(shù)）若①有二重根，則可令是待定常數(shù)）再利用可求得，進(jìn)而求得例1已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，解得，令，由，得，例2已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，解得，令，由，得，二、形如的數(shù)列對(duì)于數(shù)列，是常數(shù)且）其特征方程為，變形為…②若②有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值。這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得若②有二重根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值。這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得例3已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，化簡(jiǎn)得，解得，令由得，可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，例4已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，即，解得，令由得，求得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，第二版學(xué)海導(dǎo)航專(zhuān)題輔導(dǎo)利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)1.形如型，用累加法.方法如下：由得：時(shí)，，，所以各式相加得時(shí)，，=.例1.已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足, 證明證明：由已知得：=.2．已知前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，用公式例2.已知數(shù)列中,且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:由已知得,化簡(jiǎn)有,由類(lèi)型(1)有,又得,所以,又,,則3.形如型,用累乘法.由得時(shí)，，=f(n)f(n-1).例3.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2，3，…），則它的通項(xiàng)公式是=________.解：已知等式可化為：()(n+1),即時(shí)，==.3.轉(zhuǎn)化法。通過(guò)對(duì)數(shù)列遞推關(guān)系式的恰當(dāng)恒等變形，如配方(適合題型:an+1=pan+q、an+1=pan+f(n))、因式分解、取對(duì)數(shù)、取倒數(shù)、平方等常用手段，將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列。例4已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=1，2an+1=an+6n+3。求an。解（配方法）設(shè)2[an+1+k（n+1）+b]=an+kn+b2an+1=an–kn-2k-bk=-6,b=9∴2[an+1–6(n+1）+9]=an-6n+9∴｛an-6n+9｝是以4為首相1/2為公比的等比數(shù)列∴an-6n+9=4∴an=4+6n-9例5.已知，求an解：對(duì)兩邊平方,得，且an0不妨設(shè)+q=2(+q)（配方法）q=1+1=2(+1),又,∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，=，∴an=（）4．歸納法。先計(jì)算數(shù)列的前若干項(xiàng)，通過(guò)觀察規(guī)律，猜想通項(xiàng)公式，進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法證之。例6對(duì)例5的數(shù)學(xué)歸納法求解：易求出a1=1，a2=，a3=，a4=，a5=，猜想：an=，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a1=結(jié)論成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即ak=，當(dāng)n=k+1時(shí)，===，即n=k+1時(shí)結(jié)論成立。由①②知an=對(duì)所有的正整數(shù)都成立?！郺n=（）三．已知三相以上的數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，只能運(yùn)用“觀察，歸納，猜想，證明”的步驟和方法加以解決。例7．已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=1，a2=6，an+2=an+1–an,求a2004解：a1=1，a2=6，a3=5，a4=-1，a5=-6，a6=-5，a7=1，a8=6，a9=5，a10=-1...猜想數(shù)列｛an｝是以6為周期的周期數(shù)列。事實(shí)上，an+2=an+1–an=an-an-1–an=-an-1∴an+3=-an∴an+6=-an+3=an。即｛an｝是以6為周期的周期數(shù)列?！郺2004=a6*334=a6=-5。專(zhuān)題二數(shù)列的通項(xiàng)遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法也非常靈活，往往可以通過(guò)適當(dāng)?shù)牟呗詫?wèn)題化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題加以解決（即構(gòu)造等差、等比的輔助數(shù)列），因而求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。常見(jiàn)的求法有：1、公式法：由等差，等比定義，寫(xiě)出通項(xiàng)公式（一般求，再用通項(xiàng)或變形公式）2、累加法：型；累乘法：型；迭代法3、待定系數(shù)法：型；型（為常數(shù)，且）特別提醒：一階遞推,我們通常將其化為{bn}的等比數(shù)列（?？疾椋?、不動(dòng)點(diǎn)法：與的遞推公式中，不含。5、特征根的方法：（其中p，q均為常數(shù)）。6、對(duì)數(shù)變換法：7、換元法：對(duì)含an與Sn的題，利用消去，轉(zhuǎn)換為的推公式，再用前面的方法特別提醒：對(duì)含an與Sn的題，在求和的問(wèn)題時(shí)，也可以用這樣的方法消去，得到關(guān)于的遞推公式，同樣采用上述求通項(xiàng)地方法求出8、周期數(shù)列：9、數(shù)學(xué)歸納法：（以后學(xué)）說(shuō)明：①仔細(xì)辨析遞推關(guān)系式的特征，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，是迅速求出通?xiàng)公式的關(guān)鍵。②其中方法3、4、5、6、7都屬于構(gòu)造輔助數(shù)列：構(gòu)造為等差（等比）數(shù)列，求出，然后就可以求出了。③重點(diǎn)掌握：公式法、累加（乘）法、型、型、型、周期數(shù)列求法。一、公式法：（略）要求：【熟練運(yùn)用】二、類(lèi)型1、累加法：【熟練運(yùn)用】解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法求解。例1:已知數(shù)列滿(mǎn)足，，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)1：已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)2：已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。類(lèi)型2、累乘法：【熟練運(yùn)用】解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法求解。例2:已知數(shù)列滿(mǎn)足，，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，練習(xí):已知，，求。解：。三、待定系數(shù)法：類(lèi)型1（其中p，q均為常數(shù)，）?！臼炀氝\(yùn)用】解法：（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例3:已知數(shù)列中，，，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.練習(xí):（2006，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)類(lèi)型2，【不重點(diǎn)掌握】解法：方法和類(lèi)型1相似，把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例4:已知數(shù)列中，，，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.練習(xí):已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。類(lèi)型3、（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）【不重點(diǎn)掌握】解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例5:已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以練習(xí):已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、?？碱}型：型【熟練運(yùn)用】解法：這種類(lèi)型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例6：已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足：，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，變式1:（2006，江西,理,22）已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足：a1＝，且an＝求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；解：（1）將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝（n1）練習(xí)：已知數(shù)列中=，。不動(dòng)點(diǎn)法：由型變形【不需要掌握】?jī)H作了解例7、已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?。，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例8已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則x=1是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，故。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等差數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、特征根法：【不需要掌握】遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解(特征根法：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。例9:數(shù)列：，,求解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是故練習(xí)1:已知數(shù)列中，,,，求。練習(xí)2:（2006，福建,文,22）已知數(shù)列滿(mǎn)足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：六、對(duì)數(shù)變換法：【不重點(diǎn)掌握】解法：這種類(lèi)型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例10：已知數(shù)列｛｝中，，求數(shù)列解：由兩邊取對(duì)數(shù)得，令，則，再利用待定系數(shù)法解得：。七、換元法：遞推公式為與的關(guān)系式。(或【熟練運(yùn)用】解法：利用與消去或與消去進(jìn)行求解。例11：數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應(yīng)用待定系數(shù)法（（其中p，q均為常數(shù)，））的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以特別提醒：若求，除了因，采用錯(cuò)位相減法求以外，還可以對(duì)消去，得到，變?yōu)樵儆们懊娴拇ㄏ禂?shù)法（類(lèi)型3）例12：（2004，全國(guó)I,理15．）已知數(shù)列{an}，滿(mǎn)足a1=1，(n≥2，則{an}的通項(xiàng)解：由已知，得，用此式減去已知式，得當(dāng)時(shí)，，即，又，，由n個(gè)式子相乘，得注意：例12也是運(yùn)用了的方法八、周期型數(shù)列【熟練運(yùn)用】解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。例10：若數(shù)列滿(mǎn)足，若，則的值為_(kāi)__________。解：帶值可知：；；；，故T=3,練習(xí):已知數(shù)列滿(mǎn)足，則=（）A．0B．C．D．由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)（說(shuō)課稿）青浦一中葉志豐一、學(xué)情分析和教法設(shè)計(jì)：1、學(xué)情分析：學(xué)生在前一階段的學(xué)習(xí)中已經(jīng)基本掌握了等差、等比數(shù)列這兩類(lèi)最基本的數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式，同時(shí)也掌握了與等差、等比數(shù)列相關(guān)的綜合問(wèn)題的一般解決方法。本節(jié)課作為一節(jié)專(zhuān)題探究課，將會(huì)根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的項(xiàng)，并能運(yùn)用累加、累乘、化歸等方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想的能力、邏輯思維能力以及演繹推理的能力。2、教法設(shè)計(jì)：本節(jié)課設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是：講究效率，加強(qiáng)變式訓(xùn)練、合作學(xué)習(xí)。采用以問(wèn)題情景為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索、討論，注重分析、啟發(fā)、反饋。先引出相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，然后剖析需要解決的問(wèn)題，在例題及變式中鞏固相應(yīng)方法，再?gòu)挠懻?、反饋中深化?duì)問(wèn)題和方法的理解，從而較好地完成知識(shí)的建構(gòu)，更好地鍛煉學(xué)生探索和解決問(wèn)題的能力。在教學(xué)過(guò)程中采取如下方法：①誘導(dǎo)思維法：使學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性；②分組討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性；③講練結(jié)合法：可以及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。二、教學(xué)設(shè)計(jì)：1、教材的地位與作用：遞推公式是認(rèn)識(shí)數(shù)列的一種重要形式，是給出數(shù)列的基本方式之一。對(duì)數(shù)列的遞推公式的考查是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，屬于高考命題中?？汲Ｐ碌膬?nèi)容；另一個(gè)面，數(shù)學(xué)思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化歸思想是本課時(shí)的重點(diǎn)數(shù)學(xué)思想方法，化歸思想就是把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想，即把數(shù)學(xué)中待解決或未解決的問(wèn)題，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想、類(lèi)比等思維過(guò)程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換、轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到某個(gè)或某些已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題上，最終解決原問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法；化歸思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想，解題的過(guò)程實(shí)際上就是轉(zhuǎn)化的過(guò)程。因此，研究由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式中的數(shù)學(xué)思想方法是很有必要的。2、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式。教學(xué)難點(diǎn)：解題過(guò)程中方法的正確選擇。3、教學(xué)目標(biāo)：(1)知識(shí)與技能：會(huì)根據(jù)遞推公式求出數(shù)列中的項(xiàng)，并能運(yùn)用累加、累乘、化歸等方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。(2)過(guò)程與方法：①培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想的能力、邏輯思維能力以及演繹推理的能力；②通過(guò)階梯性練習(xí)和分層能力培養(yǎng)練習(xí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，使不同層次的學(xué)生的能力都能得到提高。(3)情感、態(tài)度與價(jià)值觀：①通過(guò)對(duì)數(shù)列的遞推公式的分析和探究，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；②通過(guò)對(duì)數(shù)列遞推公式和數(shù)列求和問(wèn)題的分析和探究，使學(xué)生養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣；③通過(guò)互助合作、自主探究等課堂教學(xué)方式培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真參與、積極交流的主體意識(shí)。三、教學(xué)過(guò)程：（1）復(fù)習(xí)引入：復(fù)習(xí)數(shù)列的遞推公式、等差和等比數(shù)列的遞推公式，并解決問(wèn)題例1。（2）問(wèn)題探究及變式訓(xùn)練：例2：例3：根據(jù)下列遞推公式求通項(xiàng)公式：例4：根據(jù)下列遞推公式求通項(xiàng)公式：（3）課堂小結(jié)（4）作業(yè)布置三、課后反思：遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法也非常靈活，往往可以通過(guò)適當(dāng)?shù)牟呗詫?wèn)題化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題加以解決。等差、等比數(shù)列是兩類(lèi)最基本的數(shù)列，是數(shù)列部分的重點(diǎn)，自然也是高考考查的熱點(diǎn)，而考查的目的在于測(cè)試靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，這個(gè)“靈活”往往集中在“轉(zhuǎn)化”的水平上。轉(zhuǎn)化的目的是化陌生為熟悉，當(dāng)然首先是等差、等比數(shù)列，根據(jù)不同的遞推公式，采用相應(yīng)的變形手段，達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的。因而求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的方法策略是：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、換元法等等。只要仔細(xì)辨析遞推關(guān)系式的特征，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，是迅速求出通?xiàng)公式的關(guān)鍵。2008/11/利用遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式及各種數(shù)列求和一、數(shù)列求通項(xiàng)（一）疊加法1．已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2．已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。（二）疊乘法1．已知數(shù)列的，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式（三）待定系數(shù)法1．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且。解：（）變形后可得，所以可得1，所以{1}是一個(gè)以為首項(xiàng)，2為公比的一個(gè)等比數(shù)列，所以1（）從而1，即2．若數(shù)列的遞推公式為，且（四）構(gòu)造法1．中，若求an+4,即＝４，｝是等差數(shù)列?？梢酝ㄟ^(guò)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出,然再求后數(shù)列{an}的通項(xiàng)。2．?dāng)?shù)列{an}中，an≠0，且滿(mǎn)足求an3．?dāng)?shù)列{an}中，求an通項(xiàng)公式。4．?dāng)?shù)列{an}中,求an.5．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說(shuō)明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。（五）與混合題型1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求2．?dāng)?shù)列中前n項(xiàng)的和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：∵當(dāng)n≥2時(shí)，

令，則，且

是以為公比的等比數(shù)列，

∴.構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(jiǎn)單方法.3．

數(shù)列中，，前n項(xiàng)的和，求.

解：

，

∴

∴4．已知數(shù)列{an}中，a1=1，Sn=，求{an}的通項(xiàng)公式．解：∴是以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列．∴=1+2（n－1）=2n－1，即Sn=．∴an=Sn－Sn－1==∴an=二、數(shù)列求和（一）公式法利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。1、差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：（二）錯(cuò)位相減這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。1．已知數(shù)列,求前n項(xiàng)和2．求和.（三）分組求和有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。1、求數(shù)列的前項(xiàng)和.注意等比數(shù)列求和公式不要用錯(cuò)！2、求數(shù)列的前項(xiàng)和.（四）裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：1．求數(shù)列，，，…，，…的前n項(xiàng)和S解：∵=）Sn===2．求數(shù)列的前n項(xiàng)和導(dǎo)析：通項(xiàng)求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的九種方法利用遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，在理論上和實(shí)踐中均有較高的價(jià)值.自從二十世紀(jì)八十年代以來(lái)，這一直是全國(guó)高考和高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的熱點(diǎn)之一.一、作差求和法例1在數(shù)列{}中，,，求通項(xiàng)公式.解：原遞推式可化為：則，……，逐項(xiàng)相加得：.故.二、作商求和法例2設(shè)數(shù)列{}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n=1,2,3…），則它的通項(xiàng)公式是=▁▁▁（2000年高考15題）解：原遞推式可化為：=0∵＞0，則……，逐項(xiàng)相乘得：，即=.三、換元法例3已知數(shù)列{}，其中，且當(dāng)n≥3時(shí)，，求通項(xiàng)公式（1986年高考文科第八題改編）.解：設(shè)，原遞推式可化為：是一個(gè)等比數(shù)列，，公比為.故.故.由逐差法可得：.例4已知數(shù)列{}，其中，且當(dāng)n≥3時(shí)，，求通項(xiàng)公式。解由得：，令，則上式為，因此是一個(gè)等差數(shù)列，，公差為1.故.。由于又所以，即四、積差相消法例5（1993年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽題一試第五題）設(shè)正數(shù)列，，…，，…滿(mǎn)足=且，求的通項(xiàng)公式.解將遞推式兩邊同除以整理得：設(shè)=，則=1，，故有⑴⑵…………()由⑴+⑵+…+()得=，即=.逐項(xiàng)相乘得：=，考慮到，故.五、取倒數(shù)法例6已知數(shù)列{}中，其中，且當(dāng)n≥2時(shí)，，求通項(xiàng)公式。解將兩邊取倒數(shù)得：，這說(shuō)明是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差為2，所以，即.六、取對(duì)數(shù)法例7若數(shù)列{}中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是=▁▁▁（2002年上海高考題）.解由題意知＞0，將兩邊取對(duì)數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，，即.七、平方（開(kāi)方）法例8若數(shù)列{}中，=2且（n），求它的通項(xiàng)公式是.解將兩邊平方整理得。數(shù)列{}是以=4為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列。。因?yàn)椋?，所以。八、待定系數(shù)法待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是從策略上規(guī)范一個(gè)遞推式可變成為何種等比數(shù)列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下：1、（A、B為常數(shù)）型，可化為=A（）的形式.例9若數(shù)列{}中，=1，是數(shù)列{}的前項(xiàng)之和，且（n），求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是.解遞推式可變形為（1）設(shè)（1）式可化為（2）比較（1）式與（2）式的系數(shù)可得，則有。故數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。=。所以。當(dāng)n，。數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是。2、（A、B、C為常數(shù)，下同）型，可化為=）的形式.例10在數(shù)列{}中，求通項(xiàng)公式。解：原遞推式可化為：①比較系數(shù)得=-4，①式即是：.則數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是2.∴即.3、型，可化為的形式。例11在數(shù)列{}中，，當(dāng)，①求通項(xiàng)公式.解：①式可化為：比較系數(shù)得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化為：則是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)=2-2（-1）=4，公比為3.∴.利用上題結(jié)果有：.4、型，可化為的形式。例12在數(shù)列{}中，，=6①求通項(xiàng)公式.解①式可化為：②比較系數(shù)可得： =-6，，②式為 是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為.∴即故.九、猜想法運(yùn)用猜想法解題的一般步驟是：首先利用所給的遞推式求出……，然后猜想出滿(mǎn)足遞推式的一個(gè)通項(xiàng)公式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想是正確的。例13在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，=+，求其通項(xiàng)公式。求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的十種策略例析遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法也非常靈活，往往可以通過(guò)適當(dāng)?shù)牟呗詫?wèn)題化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題加以解決，亦可采用不完全歸納法的方法，由特殊情形推導(dǎo)出一般情形，進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，因而求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。筆者試給出求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法策略，它們是：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、對(duì)數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、不動(dòng)點(diǎn)法、特征根的方法。仔細(xì)辨析遞推關(guān)系式的特征，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，是迅速求出通?xiàng)公式的關(guān)鍵。一、利用公式法求通項(xiàng)公式例1已知數(shù)列滿(mǎn)足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說(shuō)明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。二、利用累加法求通項(xiàng)公式例2已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例3已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例4已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故因此，則評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出+…+，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。三、利用累乘法求通項(xiàng)公式例5已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以，則，則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6（2004年全國(guó)15題）已知數(shù)列滿(mǎn)足，則的通項(xiàng)解：因?yàn)? ①所以 ②所以②式－①式得則則所以 ③由，取n=2得，則，又知，則，代入③得。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為（n≥2），進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)n≥2時(shí)的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。四、利用待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式例7已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) ④將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得，則x=－1，代入④式，得 ⑤由≠0及⑤式，得，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例8已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) ⑥將代入⑥式，得整理得。令，則，代入⑥式，得 ⑦由及⑦式，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例9已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) ⑧將代入⑧式，得，則等式兩邊消去，得，則得方程組，則，代入⑧式，得 ⑨由及⑨式，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、利用對(duì)數(shù)變換法求通項(xiàng)公式例10