高中數(shù)學(xué)一學(xué)案：章末復(fù)習(xí)課2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)習(xí)目標(biāo)1。構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，理解其內(nèi)在的聯(lián)系.2。盤點重要技能，提煉操作要點。3.體會數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)嚴謹靈活的思維能力．知識點一映射與函數(shù)一般地，設(shè)A，B是兩個非空集合，如果按某種對應(yīng)法則f，對于A中的每一個元素,在B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，那么這樣的單值對應(yīng)叫做從集合A到集合B的映射,記作f：A→B.由定義可知在A中的任意一個元素在B中都能找到唯一的像，而B中的元素在A中未必有原像．若f：A→B是從A到B的映射，且B中任一元素在A中有且只有一個原像，則這樣的映射叫做從A到B的一一映射．函數(shù)是一個特殊的映射，其特殊點在于A，B都為非空數(shù)集，函數(shù)有三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則．兩個函數(shù)只有當(dāng)定義域和對應(yīng)法則分別相同時,這兩個函數(shù)才是同一函數(shù)．知識點二函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)的單調(diào)性主要涉及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式等相關(guān)問題．深刻理解函數(shù)單調(diào)性的定義是解答此類問題的關(guān)鍵．2．函數(shù)單調(diào)性的證明根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義分為四個步驟證明，步驟如下：（1)取值：任取x1，x2∈D,且x1〈x2,得x2－x1〉0；(2）作差變形:Δy＝y(tǒng)2－y1＝f（x2)－f（x1)＝…，向有利于判斷差的符號的方向變形；（3）判斷符號：確定Δy的符號，當(dāng)符號不確定時，可以進行分類討論;(4)下結(jié)論：根據(jù)定義得出結(jié)論．3．證明函數(shù)單調(diào)性的等價變形：(1）f（x)是單調(diào)遞增函數(shù)?任意x1〈x2,都有f(x1)<f(x2）?eq\f(fx1－fx2,x1－x2）>0?[f（x1)－f（x2)]·（x1－x2)>0;(2）f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)?任意x1〈x2，都有f(x1）〉f(x2)?eq\f(fx1－fx2，x1－x2)〈0?［f(x1)－f（x2)]·（x1－x2）〈0。知識點三函數(shù)的奇偶性對于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點對稱）→eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(f－x＝－fx?fx為奇函數(shù)，,f－x＝fx?fx為偶函數(shù)。）)性質(zhì):①函數(shù)y＝f（x）是偶函數(shù)?f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．②函數(shù)y＝f（x）是奇函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于原點對稱．③偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反．④奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同，奇函數(shù)f（x）在x＝0處有定義時，必有y＝f（x）的圖象過原點，即f(0）＝0.類型一函數(shù)概念及性質(zhì)命題角度1函數(shù)三要素例1某省兩相近重要城市之間人員交流頻繁，為了緩解交通壓力，特修一條專用鐵路，用一列火車作為交通車，已知該車每次拖掛4節(jié)車廂,一天能來回16次，如果該車每次拖掛7節(jié)車廂，則每天能來回10次．(1）若每天來回的次數(shù)是車頭每次拖掛車廂節(jié)數(shù)的一次函數(shù)，求此一次函數(shù)的解析式和定義域；（2)在(1）的條件下，每節(jié)車廂能載乘客110人．問這列火車每天來回多少次才能使運營人數(shù)最多？并求出每天最多運營人數(shù)．反思與感悟建立函數(shù)模型是借助函數(shù)研究問題的第一步,在此過程中要善于抓住等量關(guān)系,并把等量關(guān)系中涉及的量逐步用變量表示出來；在實際問題中,定義域不但受解析式的影響,還受實際含義約束．跟蹤訓(xùn)練1如圖，ABCD是邊長為1的正方形，M是CD的中點，點P沿著路徑A→B→C→M在正方形邊上運動所經(jīng)過的路程為x，△APM的面積為y。（1)求y＝f(x)的解析式及定義域;（2)求△APM面積的最大值及此時點P位置．命題角度2函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例2已知函數(shù)f(x)對任意x，y∈R，總有f(x)＋f（y）＝f(x＋y),且當(dāng)x〉0時，f(x）<0，f(1)＝－eq\f(2,3）。（1）求證：f（x)在R上是單調(diào)減函數(shù);（2)求f（x)在[－3,3]上的最大值和最小值；（3）解不等式f（x）－f(－x）>2。引申探究證明f（x）為奇函數(shù)．若已證明f（x）為奇函數(shù)，如何解(3)？反思與感悟(1)解決有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題的通法就是根據(jù)函數(shù)的奇偶性解答或作出圖象輔助解答，先證明函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值．（2）研究抽象函數(shù)的性質(zhì)時要緊扣其定義，同時注意特殊值的應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練2函數(shù)f（x）的定義域為D＝{x｜x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D,有f（x1·x2）＝f（x1)＋f（x2）．（1）求f(1)的值；(2）判斷f（x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；（3）如果f(4）＝1，f(x－1）〈2，且f（x）在(0，＋∞)上是增函數(shù),求x的取值范圍．類型二函數(shù)圖象的畫法及應(yīng)用例3對于函數(shù)f(x)＝x2－2｜x｜。(1)判斷其奇偶性，并指出圖象的對稱性；（2）畫此函數(shù)的圖象，并指出單調(diào)區(qū)間和最小值．反思與感悟畫函數(shù)圖象的主要方法有描點法和先研究函數(shù)性質(zhì)再根據(jù)性質(zhì)畫圖，一旦有了函數(shù)圖象,可以使問題變得直觀,但仍要結(jié)合代數(shù)運算才能獲得精確結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練3已知f（x)為定義在R上的奇函數(shù),且f（x）＝f（2－x），當(dāng)x∈[0，1］時，f(x)＝x。求x∈［－3，5]時，f（x）＝eq\f（1，2)的所有解的和．1．f（x）＝x2＋｜x|是________函數(shù)（填奇、偶),其單調(diào)增區(qū)間為________．2．已知集合P＝{x｜y＝eq\r（x＋1）}，集合Q＝{y|y＝eq\r(x－1)}，則P與Q的關(guān)系是________．3．設(shè)函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x≤2，,2x,x〉2，))則f（－4）＝________,若f(x0)＝8，則x0＝________.4．已知f（x)，g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x）－g（x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝________.5．若f（x)是偶函數(shù),其定義域為（－∞，＋∞）,且在[0,＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，則f（－eq\f（3，2))與f(a2＋2a＋eq\f(5，2)）的大小關(guān)系是________．1．函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最重要的基礎(chǔ)之一，函數(shù)的概念及其表示基礎(chǔ)性強,滲透面廣，常與其他知識結(jié)合考查，試題多數(shù)為填空題，重點考查函數(shù)的定義域與值域的求解以及分段函數(shù)的相關(guān)問題．2．單調(diào)性、奇偶性是函數(shù)性質(zhì)的核心內(nèi)容，常集于一體綜合命題．解題捷徑是結(jié)合題意選擇其中易判斷的性質(zhì)為突破口，而后根據(jù)解題需要靈活選擇研究和變形方向．3．（1)函數(shù)圖象的識別,應(yīng)抓住函數(shù)解析式的特征，從其定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面靈活判斷，多可利用函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)進行排除．(2）應(yīng)用函數(shù)圖象的關(guān)鍵是從圖象中提取所需的信息，提取圖象中信息的方法主要有：①定性分析法，通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象上升(或下降)的趨勢，利用這一特征來分析解決問題．②定量計算法，通過定量的計算來分析解決問題;③函數(shù)模型法，由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型,利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．

答案精析題型探究例1解（1)設(shè)每天來回y次，每次拖掛x節(jié)車廂，由題意設(shè)y＝kx＋b（k≠0），當(dāng)x＝4時，y＝16，當(dāng)x＝7時，y＝10，得到eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(16＝4k＋b，，10＝7k＋b，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（k＝－2,,b＝24，))∴y＝－2x＋24。依題意有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x≥0，,x∈N，,y＝－2x＋24≥0。))解得定義域為｛x∈N|0≤x≤12｝．（2）設(shè)每天來回y次，每次拖掛x節(jié)車廂,由題意知，每天拖掛車廂最多時，運營人數(shù)最多，設(shè)每天拖掛S節(jié)車廂，則S＝xy＝x（－2x＋24）＝－2x2＋24x＝－2(x－6）2＋72，x∈[0,12]且x∈N.所以當(dāng)x＝6時，Smax＝72，此時y＝12,則每日最多運營人數(shù)為110×72＝7920。故這列火車每天來回12次，才能使運營人數(shù)最多，每天最多運營人數(shù)為7920。跟蹤訓(xùn)練1解（1）根據(jù)題意得f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）x,0<x<1,,\f(3,4）－\f（x,4），1≤x＜2，，\f(5，4)－\f（1，2)x，2≤x＜\f(5,2）.））f（x)的定義域為(0，1）∪［1，2）∪[2,eq\f（5,2))＝(0,eq\f(5，2))．(2)易知f（x）在(0,1)上為單調(diào)增函數(shù),在[1，eq\f（5,2))上為單調(diào)減函數(shù)，∴當(dāng)x＝1時，f（x)max＝eq\f(3,4）－eq\f(1，4）＝eq\f(1，2).例2（1）證明由f(x)＋f(y)＝f（x＋y）可得f(x＋y）－f（x)＝f（y)．在R上任取x1〉x2，令x＋y＝x1,x＝x2，則f（x1）－f（x2)＝f（x1－x2）．∵x1>x2，∴x1－x2〉0.又x〉0時，f(x）〈0，∴f(x1－x2)<0,即f（x1)－f（x2）〈0。由定義可知f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)．(2）解∵f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)；∴f(x)在[－3，3]上也是單調(diào)減函數(shù)；∴f（－3)最大,f（3）最小．又f(1）＝－eq\f(2，3)，∴f（3)＝f(2)＋f（1）＝f(1）＋f（1）＋f（1）＝3×（－eq\f（2，3）)＝－2.∴f（－3)＝f(4－3)－f(4）＝f(1）－f（3)－f(1)＝－f（3)＝2。即f(x)在［－3,3］上的最大值為2,最小值為－2.(3)解由(2）知f(－3)＝2，f（x）－f(－x）〉2即f(x)〉f(－x）＋2＝f(－x）＋f（－3)＝f(－3－x)，由(1）知f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù)，∴f(x)〉f(－3－x)?x<－3－x,解得解集為｛x｜x<－eq\f（3,2)｝．引申探究證明令y＝－x,則f(x）＋f(y）＝f（x）＋f(－x）＝f(x－x)＝f(0）．再令x＝y(tǒng)＝0,有f（0）＋f（0)＝f（0＋0）,即2f(0)＝f（0），∴f(0)＝0.∴f（x）＋f（－x）＝0,即f(－x)＝－f(x),∴f(x）為奇函數(shù),∴f(x）－f（－x）＞2?2f(x)＞2?f（x）＞1。由（2)知f（－3)＝f[－eq\f（3,2）＋（－eq\f（3，2)）］＝f(－eq\f(3,2)）＋f(－eq\f(3，2))＝2f(－eq\f(3，2)）＝2，∴f（－eq\f（3，2)）＝1?！鄁(x)＞1?f(x）＞f（－eq\f(3,2)),∵f(x）在R上為單調(diào)減函數(shù)，∴解集為{x｜x＜－eq\f（3，2）｝．跟蹤訓(xùn)練2解（1）∵對于任意x1,x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1)＋f(x2），∴令x1＝x2＝1，得f(1）＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)f(x）為偶函數(shù)．證明：令x1＝x2＝－1，有f(1）＝f(－1）＋f(－1)，∴f(－1)＝eq\f（1，2）f（1）＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x),∴f(－x)＝f(x)，∴f(x）為偶函數(shù)．(3)依題設(shè)有f（4×4）＝f（4）＋f(4)＝2，由（2）知，f(x)是偶函數(shù),∴f（x－1)<2?f(｜x－1｜)<f(16）．又f(x)在（0，＋∞)上是增函數(shù)．∴0〈｜x－1|〈16,解之得－15<x〈17且x≠1.∴x的取值范圍是｛x|－15<x〈17且x≠1｝．例3解(1)函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱,f(－x)＝（－x)2－2｜－x｜＝x2－2|x｜。則f（－x）＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．圖象關(guān)于y軸對稱．（2)f（x)＝x2－2|x|＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2－2x＝x－12－1，x≥0，，x2＋2x＝x＋12－1，x<0。))畫出圖象如圖所示，根據(jù)圖象知，函數(shù)f（x)的最小值是－1,無最大值．單調(diào)增區(qū)間是[－1,0]，[1,＋∞）；單調(diào)減區(qū)間是（－∞,－1]，[0,1］．跟蹤訓(xùn)練3解當(dāng)x∈［－1,0]時，－x∈[0，1]，∴f(－x)＝－x。又∵f（x）為奇函數(shù),∴x∈［－1，0]時，f（x）＝－f(－x)＝x。即x∈[－1，1］時，f（x）＝x.又由f(x）＝f(2－x）可得f（x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．由此可得f(x)在[－3,5］上的圖象如下：在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝eq\f（1,2）的圖象，由圖可知在［－3,5］上共有四個交點，∴f（x)＝e