1.數(shù)理方程中典型方程和定解條件的推導

2021/5/91數(shù)學物理方法一些典型方程和定解條件的推導第一章CalculationsofSomeTypicalEquationswithDefiniteConditions思路數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)2021/5/92一.均勻弦的橫振動方程的建立二.傳輸線方程(電報方程)的建立三.電磁場方程的建立四.熱傳導方程的建立

提要：五.舉例2021/5/93數(shù)學物理方程的建立：

從考察對象中任取一微元，尋找與之有關(guān)的力、熱、聲、光、電等物理關(guān)聯(lián)——數(shù)學表述，并對其整理、簡化，得到所研究問題的偏微分方程。——“一語道破！”適用范圍：這是從事科學研究的基本方法與路徑。2021/5/942021/5/95第一章一些典型方程和定解條件的推導§1.1基本方程（泛定方程）的建立

物理模型（現(xiàn)象、過程）

數(shù)學形式表述（建立偏微分方程并求解）目的：培養(yǎng)分析、歸納、綜合、演繹、抽象、猜測、試探、估算的科學方法。步驟：(1）確定研究對象（物理量），建立合適的坐標系；（2）在系統(tǒng)內(nèi)部，任取一微元，利用物理規(guī)律，分析其與相鄰部分間的作用；（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；（4）化簡整理，得到偏微分方程。

不含初始條件不含邊界條件2021/5/96物理狀態(tài)描述:

設(shè)有一根均勻、柔軟的細弦，平衡時沿直線拉緊，除受到重力外，不受其它外力影響，在鉛直平面內(nèi)作橫向、微小振動。平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振動：雖然經(jīng)典，但極具啟發(fā)性。一.均勻弦的橫振動方程的建立2021/5/97X1、建立坐標系選定微元uodsMNM'N’xx+dx2、微元ds的動力學方程（牛頓第二運動定律）TT’隔離物體法2021/5/98X1、建立坐標系選定微元uodsMNM'N’xx+dx2、微元ds的動力學方程（牛頓第二運動定律）TT’(1)(2)2021/5/99

馬克思在《數(shù)學手稿》中指出：微分是“揚棄了的或消失了的差值”。哲學上的“揚棄”是指“既被克服又被保存”，是包含著肯定的否定。在導數(shù)定義中，分子Δy

和分母Δx

都被揚棄了，就是說，它們都消失為0，從而有限大小的Δx

和Δy

都被克服，差商

但是，它們的依賴關(guān)系（比值）卻保存下來了。我們記揚棄了的（或消失了的）那末，導數(shù)就是導數(shù)2021/5/910——從運動的觀點看導數(shù)的定義導數(shù)關(guān)于函數(shù)的某種形式的極限（實質(zhì)）函數(shù)在某點上的變化率（數(shù)學結(jié)構(gòu)）某點上切線的斜率（幾何意義）導數(shù)“只有微分學才能使自然科學有可能用數(shù)學來不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過程：運動?！?/p>

——摘恩格斯.《自然辯證法》2021/5/9113、忽略與近似(1)(2)dsTT’o①

對于小振動：所以有：2021/5/9123、忽略與近似(1)(2)①對于小振動：于是（1）式變?yōu)椋捍耄?）式變?yōu)椋孩谝话阏f來，，將g略去，上式變?yōu)?021/5/9132021/5/914上式實際上可以明確表示為：令，于是有：一維波動方程4、整理化簡2021/5/915L＋二.傳輸線方程(電報方程)的建立

現(xiàn)在考慮電流一來一往的高頻傳輸線，它被當作具有分布參數(shù)的導體,每單位長導線所具有的電阻、電感、電容、電導分別以R、L、C、G表示。

對于直流電或低頻的交流電,電路的基爾霍夫（Kirchhoff）定律指出,同一支路中的電流相等。但對于較高頻率的電流（指頻率還未高到顯著輻射電磁波出去的程度），電路導線中的自感和電容的效應不能被忽視，因而同一支路中電流呈現(xiàn)瞬態(tài)變化。2021/5/916●●物理狀態(tài)描述:

設(shè)如圖傳輸線是分布參數(shù)電路，即傳輸線上電阻R、電感L、電容C和電導G是按單位長度計算其對應的物理量，并且在x+dx范圍之內(nèi)的所有元件無論布局如何，均認為其長度為dx.2021/5/917電容元件：電感元件：換路定理:在換路瞬間，電容上的電壓、電感中的電流不能突變。電路準備知識2021/5/918+–LLCC＋－+-●●與同學們商榷的幾個問題：（P4-5）（1）設(shè)某時刻t，輸入與輸出端的對應關(guān)系是否合理?（2）電流作為初始條件，在流經(jīng)電感時是否要變化？（3）按照圖示，電容與電導兩端的電壓如何界定（注意P5.-1.5式）？”是否合理？“另外,由基爾霍夫第一定律,流入節(jié)點的電流應等于流出該節(jié)點的電流,即2021/5/919梁昆淼先生的做法：

“今考慮一來一往的高頻傳輸線，每單位長一來一往所具有的電阻，電感，電容，電漏分別記以R，L，C，G。于是亦即亦即將作用于第一式,作用于第二式,兩結(jié)果相減,就消去了而得的方程同理,消去,得到的方程2021/5/920

設(shè)某時刻t，對應關(guān)系如下：左端：；右端:+–LLCC＋－+-輸入端輸出端參閱：丘關(guān)源主編《電路》P426-430，第十八章，均勻傳輸線。2021/5/921+–LLCC＋－+-由基爾霍夫電壓定律:由基爾霍夫電流定律:電容上的電流：電感上的電壓：流入流出2021/5/922+–LLCC＋－+-由基爾霍夫電流定律:電容上的電流：電感上的電壓：整理后得到：相對于函數(shù)的變化率，略去無窮小量dx,得2021/5/923由基爾霍夫電壓定律:由基爾霍夫電流定律:(1.4)(1.5)2021/5/9242021/5/925基本電磁場量場的物質(zhì)方程Maxwell方程電場強度磁場強度電感應強度磁感應強度介質(zhì)的介電常數(shù)導磁率導電率傳導電流的面密度電荷的體密度Vectordifferenceoperator三.電磁場方程的建立2021/5/926目標:利用上述關(guān)系,分別解出、。由將代入上式，得對上式兩邊求旋度，得再將代入上式，得這是一個關(guān)于磁場強度的二階微分方程方法之一2021/5/927為進一步化簡，利用Hamilton算子的運算性質(zhì)磁場強度、磁感應強度的散度為零。如法炮制，可得關(guān)于電場強度的方程如果介質(zhì)不導電（σ=0），上述方程簡化為：三維波動方程將代入上式，得2021/5/928目標:建立關(guān)于電位u的方程由電感應強度與電場強度的定義知：（電荷體密度）而電場強度與電位之間的關(guān)系，由下式確定由此可得：依據(jù)Hamilton算子的運算性質(zhì)：這個非齊次方程稱為泊松（Poisson）方程若靜電場是無源的，即，上式又可寫成這個齊次方程稱為拉普拉斯（Laplace）方程上式可寫成方法之二2021/5/929數(shù)學準備知識2021/5/9302021/5/9312021/5/9322021/5/9332021/5/9342021/5/935靜電場方程——泊松(Poisson)方程方法之三2021/5/9362021/5/937物理模型:均勻且各向同性的導熱體,在傳熱過程中所滿足的微分方程.研究對象:熱場中任一閉曲面S,體積為V,熱場V(體積)S(閉曲面)

t時刻,V內(nèi)任一點M(x,y,z)處的溫度為u(x,y,z,t).●M

曲面元ds的法向(從V內(nèi)V外)

ds數(shù)學表述為：四.熱傳導方程的建立物理規(guī)律:由熱學的(Fourier)實驗可知:dt時間之內(nèi),流經(jīng)面元ds的熱量dQ,

與——時間dt成正比；曲面面積ds成正比；溫度u沿曲面法方向的方向?qū)?shù)成正比。2021/5/938

關(guān)于雙側(cè)曲面的側(cè)與其邊界曲線的方向作如下規(guī)定：設(shè)有人站在雙曲面指定的一側(cè)，沿其行走，指定的側(cè)總在人的左方，則人前進的方向為邊界線的正向；若沿其行走，指定的側(cè)總在人的右方，則人前進的方向為邊界線的負向，這個規(guī)定方法也稱為右手法則，即當右手除拇指之外的四指按的正向彎曲時，豎起的拇指所指的方向與上法向量的指向相同，稱如此規(guī)定了正向的邊界曲線為曲面的正向邊界曲線．如圖所示．

小常識2021/5/939●MdsV(體積)S(閉曲面)熱場2021/5/940●MdsV(體積)S(閉曲面)熱場數(shù)學表述為：從t1t2,通過曲面元S,流入?yún)^(qū)域V的熱量為必然等于V內(nèi)各點所吸收的熱量(熱量守恒)

上式中的，在熱學中的意義？

為何上式左邊的“—”號又不見了？2021/5/941數(shù)學處理：由于S為閉曲面，假設(shè)u(x,y,z)具有一階連續(xù)偏導數(shù),那么依據(jù)奧—高公式（高斯公式）因此有：2021/5/942由于[t1,t2]以及區(qū)域V的任意性,且被積函數(shù)為連續(xù),因此有若令:,那么上述方程可寫為三維熱傳導方程2021/5/943討論:(1).若V內(nèi)有熱源,強度為F(x,y,z,t),則熱傳導方程為其中(2).若導熱體為一根細桿,則(3).若導熱體為一薄片,則2021/5/944(4).若熱場為一穩(wěn)恒場(溫度趨于平衡狀態(tài)),則與之對應有穩(wěn)恒溫度場內(nèi)的溫度滿足Laplace方程.(5).在研究氣體的擴散、液體的滲透、半導體材料中雜質(zhì)的擴散等物理過程時,若擴散系數(shù)為常量，那么所導出的擴散方程，形式上與熱傳導方程相同。即這里——擴散系數(shù)——濃度2021/5/945一.均勻弦的橫振動方程二.傳輸線方程(電報方程)——一維波動方程——高頻傳輸線方程三.電磁場方程——三維波動方程四.熱傳導方程(場點t時刻的溫度分布)——三維熱傳導方程(振幅)(電流、電壓)2021/5/946§1.2初始條件與邊界條件上一節(jié)談到：物理規(guī)律數(shù)學表述；我們還需要將

具體條件數(shù)學表述出來。

所提出的具體條件，應該恰如其分地說明系統(tǒng)的初始狀態(tài)，以及邊界上的物理情況，不能提出過多的條件，也不能提出過少的條件。

從物理的角度來說，只要確定了系統(tǒng)的初始狀態(tài)、邊界上的物理情況，那末其后的發(fā)展，也必是確定的了；換言之，其相應的數(shù)學問題，應該有唯一的解。

一、初始條件——系統(tǒng)內(nèi)部描述與時間有關(guān)的初始狀態(tài)的數(shù)學表述。（1）弦振動2021/5/947（2）熱傳導

特別說明：Poisson方程，Laplace方程，都是描述穩(wěn)恒狀態(tài)的，與初始條件無關(guān)，可不提初始條件。

列出初始條件，一般都不至于感到困難，不過有一點必須強調(diào)：初始條件應當說明整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不是系統(tǒng)中個別地點的初始狀態(tài)！2021/5/948

二、邊界條件——具體物理問題的邊界約束狀態(tài)。以弦振動為例，弦振動時，其端點（以x=a表示這個端點）所受到的約束情況，通常有以下三類●右端點在振動過程中始終保持不動。（1）固定端（右端）（2）自由端（右端）右端點在振動過程中不受u方向的外力，從而這個端點在位移方向上的張力為0。2021/5/949（3）彈性支承端2021/5/950又如熱傳導問題：V(體積)S(閉曲面)●Mds2021/5/9512021/5/9522021/5/953本課程內(nèi)容，只涉及線性邊界條件，且僅包括以下三類。第一類邊界條件：物理條件直接規(guī)定了u在邊界上的值，如第二類邊界條件：物理條件并不直接規(guī)定了u在邊界上的值，而是規(guī)定了u的法向微商在邊界上的值，如第三類邊界條件：物理條件規(guī)定了u與un

在邊界上值之間的某個線性關(guān)系，如2021/5/954§1.3定解問題的提法1.二階線性偏微分方程的解二階線性偏微分方程的最一般形式為（n個自變量）對于只有兩個自變量的情況，上式則變化為（1.33）（1.34）線性偏微分方程（1.33）的重要特征之一，就是從本身的形式上，將疊加原理表現(xiàn)得淋漓盡致。2021/5/9552021/5/956結(jié)論：如果一個函數(shù)u，具有某個偏微分方程中所要求的各階連續(xù)偏導數(shù)，并代入該方程，使其變成為恒等式，則此函數(shù)被稱為該方程的解（古典解）。2.幾個名詞簡介2021/5/9573.定解問題的穩(wěn)定性與適定性物理問題“翻譯”為數(shù)學問題，是否符合客觀實際，尚須加以驗證?。?）解的存在性——定解問題是否有解。（2）解的唯一性——是否只有一個解。（3）解的穩(wěn)定性——定解條件發(fā)生微小變化，解亦只有微小變化。方法：試算+實驗本書所涉及的定解問題，都是古典的，適定的?！?”——擬合上述：解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性，被通稱為適定性。2021/5/9582021/5/9592021/5/960為什么?2021/5/961為什么?

小技巧!微分性質(zhì)的不變性.2021/5/9622021/5/9632021/5/964方法之二2021/5/9652021/5/966設(shè)有空間兩點，若以M1為始點，另一點M2為終點的線段稱為有向線段.通過原點作一與其平行且同向的有向線段.將與Ox,Oy,Oz三個坐標軸正向的夾角,分別記作α,β,γ.這三個角α,β,γ稱為有向線段的方向角.則其方向角也是唯一確定的。其中,0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π.若有向線段的方向確定了，方向角的余弦稱為有向線段或相應的有向線段的方向余弦。2021/5/967等溫線或等溫面●2021/5/968等溫線或等溫面●2021/5/969等溫線或等溫面●2021/5/970例.

設(shè)長為的均勻細弦，兩端固定，初始位移為0。開始時，在處受到?jīng)_量為的作用，試寫出其定解問題。解：建立坐標系，并選取研究對象如圖示。

其一維波動方程為：泛定方程（1）由兩端固定，知：邊界條件（2）為了導出初始條件，考慮：由初始位移為0，知由開初時，在處受到?jīng)_量的作用知上的動量改變，即為沖量，于是有對于點周圍足夠小的，弦段2021/5/971為了導出初始條件，考慮：由初始位移為0，知由開初時，在處受到?jīng)_量的作用知上的動量改變，即為沖量，于是有質(zhì)量速度沖量：力的時間作用效應。動量定理：動量的改變=沖量的作用。受沖擊時的初位移受沖擊時的初速度動量：質(zhì)量與速度的乘積。對于點周圍足夠小的，弦段由此可見：初始條件為初始條件（3）2021/5/972最后可得定解問題泛定方程（1）邊界條件（2）初始條件（3）2021/5/9732021/5/974解：建立坐標系，并選取研究對象如圖示。

其一維波動方程為：泛定方程（1）由兩端固定，知：邊界條件（2）為了導出初始條件，考慮：由初始位移為0，知由開初時，在處受到?jīng)_量的作用知上的動量改變，即為沖量，于是有對于點周圍足夠小的，弦段2021/5/975為了導出初始條件，考慮：由初始位移為0，知由開初時，在處受到?jīng)_量的作用知上的動量改變，即為沖