第一章集合與常用邏輯用語期中備考能力提升卷（解析版）

第一單元期中備考能力提升卷選擇題（本題共16小題）1．下列說法正確的是（）A．我校愛好足球的同學(xué)組成一個集合B．{1，2，3}是不大于3的自然數(shù)組成的集合C．集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一集合D．?dāng)?shù)1，0，5，，，，組成的集合有7個元素【解答】解：選項A：不滿足確定性，選項B：不大于3的自然數(shù)組成的集合是{0，1，2，3}，選項C：滿足集合的互異性，無序性，確定性，選項D：1，0，5，，，，組成的集合有5個，故選：C．2．下列六個關(guān)系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}?{b，a}；③?＝{?}；④{0}＝?；⑤??{0}；⑥0∈{0}．其中正確的個數(shù)是（）A．1B．3C．4D．6【解答】解：①根據(jù)集合元素的無序性可知{a，b}＝{b，a}正確；②根據(jù)子集定義可知{a，b}?{b，a}正確；③根據(jù)元素與集合關(guān)系可知?＝{?}錯誤；④根據(jù)元素與集合關(guān)系可知?＝{?}錯誤；⑤由于空集是任何集合的子集，故??{0}正確；⑥根據(jù)元素與集合關(guān)系可知0∈{0}正確．故選：C．3．集合M＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n+1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m+1，m∈Z}之間的關(guān)系是（）A．S?P?MB．S＝P?MC．S?P＝MD．P＝M?S【解答】解：∵M(jìn)＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，N＝{y|y＝3n+1，n∈Z}，S＝{y|y＝6m+1，m∈Z}∴M＝{…﹣8，﹣5，﹣2，1，4，7，10，13，16…}P＝{…﹣8，﹣5，﹣2，1，4，7，10…}S＝{…1，7，13，19，25，…}故S?P＝M，故選：C．4．若集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，則A∪B＝（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜﹣1}D．{x|x＞﹣2}【解答】解：A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，則A∪B＝{x|x＞﹣2}，故選：D．5．若集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，C＝{1，2，3}，則集合（A∩B）∪C＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2，3}【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，則集合A∩B＝{0，1，2}，又C＝{1，2，3}，則集合（A∩B）∪C＝{0，1，2，3}，故選：B．6．若集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，則下列選項正確的是（）A．A∩B＝BB．A∪B＝{﹣1，0，1，2，3}C．A∩B＝{0，1}D．A∪B＝A【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1}，A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，故選：C．7．已知集合U＝{x|x≤﹣1或x≥0}，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2＞1}，則集合A∩（?UB）等于（）A．{x|x＞0或x＜﹣1}B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}【解答】解：∵U＝{x|x≤﹣1或x≥0}，B＝{x|x2＞1}＝{x|x＜﹣1或x＞1}，∴?UB＝{x|x＝﹣1或0≤x≤1}，又∵A＝{x|0≤x≤2}，∴A∩（?UB）＝{x|0≤x≤1}，故選：C．8．設(shè)全集U＝{x∈N|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，則（?UA）∩（?UB）＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{0，2，4}D．{0，2，4，6}【解答】解：∵全集U＝{x∈N|x＜6}＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{l，3}，B＝{3，5}，∴?UA＝{0，2，4，5}，?UB＝{0，1，2，4}，則（?UA）∩（?UB）＝{0，2，4}．故選：C．9．已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|x≤﹣3}，則集合{x|x≥1}＝（）A．M∩NB．M∪NC．?R（M∩N）D．?R（M∪N）【解答】解：因為集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|x≤﹣3}，所以M∩N＝?，M∪N＝{x|x＜1}，則?R（M∩N）＝R，?R（M∪N）＝{x|x≥1}，故選：D．10．若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3}，N＝{1，3}，則集合{4，5，6}等于（）A．M∪NB．M∩NC．（?UM）∩（?UN）D．（（?UM）∪（?UN）【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3}，N＝{1，3}，∴?UM＝{1，4，5，6}，?UN＝{2，4，5，6}，M∩N＝{3}，M∪N＝{1，2，3}，∴（?UM）∩（?UN）＝{4，5，6}，（?UM）∪（?UN）＝{1，2，4，5，6}，則集合{4，5，6}＝（?UM）∩（?UN）．故選：C．11．對任意x∈R，不等式a≤|x|+|x﹣1|恒成立的一個充分不必要條件是（）A．a(chǎn)＞1B．a(chǎn)≥1C．a(chǎn)＜1D．a(chǎn)≤1【解答】解：∵|x|+|x﹣1|≥1，∴a≤1是充要條件；a＜1是不等式a≤|x|+|x﹣1|恒成立的一個充分不必要條件，故選：C．12．若關(guān)于x的不等式|x﹣1|＜2a成立的充分條件為{x|0＜x＜4}，則實數(shù)a的取值范圍可以是（）A．B．C．D．【解答】解：∵不等式|x﹣1|＜2a成立的充分條件是0＜x＜4，設(shè)不等式的解集為A，則（0，4）?A當(dāng)a≤0時，A＝?，不滿足要求，當(dāng)a＞0時，A＝（1﹣2a，1+2a）若（0，4）?A則，∴a≥，經(jīng)檢驗知a＝符合題意，∴a≥．故選：B．13．已知a，b∈R且a＞0，則“a＞b”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【解答】解：∵a＞0，a＞b，∴，充分性滿足；∵a＞0，，∴b＜a，必要性滿足，∴“a＞b”是“”的充要條件，故選：C．14．已知函數(shù)f（x）＝，若關(guān)于x的方程f2（x）﹣（a+2）f（x）+2a＝0有三個不同實數(shù)解的充要條件是（）A．a(chǎn)＝2B．a(chǎn)＞2C．a(chǎn)＜0D．a(chǎn)≤2【解答】解：∵f2（x）﹣（a+2）f（x）+2a＝0即（f（x）﹣2）（f（x）﹣a）＝0有三個不同實數(shù)解∴f（x）＝2或f（x）＝a有三個不同實數(shù)解．當(dāng)x≠0時，f（x）＝|x+|≥2，由對勾函數(shù)單調(diào)性可知f（x）在（﹣∞，﹣1），（0，1）上單減，在（﹣1，0），（1，+∞）上單增．作出圖象如下由圖分析可知a≤2故選：D．15．將“x2+y2≥2xy”改寫成全稱命題，下列說法正確的是（）A．?x，y∈R，都有x2+y2≥2xyB．?x，y∈R，都有x2+y2≥2xyC．?x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xyD．?x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy【解答】解：由于對于任意實數(shù)x，不等式x2+y2≥2xy都成立，于是將“x2+y2≥2xy”改寫成全稱命題為：“?x，y∈R，都有x2+y2≥2xy”．故選：A．16．命題“?x＞0，＞0”的否定是（）A．?x0＜0，≤0B．?x0＞0，0≤x0≤1C．?x＞0，≤0D．?x＜0，0≤x≤1【解答】解：命題為全稱命題，則命題的否定為：?x0＞0，或x0＝1，即?x0＞0，0≤x0≤1，故選：B．二、多項選擇（t本題共5小題）（多選）17．設(shè)A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，則實數(shù)a的值可以為（）A．B．0C．3D．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}＝{3，5}，B＝{x|ax﹣1＝0}，A∩B＝B，∴B?A，當(dāng)a＝0時，B＝?，當(dāng)a≠0時，B＝{}，∴B＝?或B＝{3}或B＝{5}，∴不存在，或＝3，或＝5．解得a＝0或a＝，或a＝．∴實數(shù)a的值可以為0，，．故選：ABD．（多選）18．設(shè)A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax+1＝0}，若A∩B＝B，則實數(shù)a的值可以為（）A．B．0C．3D．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}＝{3，5}，B＝{x|ax+1＝0}，A∩B＝B，∴B?A，當(dāng)B＝?時，a＝0；當(dāng)B≠?時，B＝{﹣}，則﹣＝3或﹣＝5，解得a＝﹣或a＝﹣，∴實數(shù)a的值可以為0，﹣，﹣．故選：ABD．（多選）19．下列命題中的假命題是（）A．?x∈R，x2+|x|≥0B．?x∈N*，（x﹣1）2＞0C．?x∈R，x2+x+1＝0D．?x∈R，【解答】解：?x∈R，x2+|x|≥0，顯然是真命題；?x∈N*，（x﹣1）2＞0，x＝1時，表達(dá)式為0，所以B不正確；是假命題；?x∈R，x2+x+1＝0，因為Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，所以x2+x+1＞0恒成立，所以C是假命題；?x∈R，，當(dāng)x＝﹣1時成立，所以D是真命題；故選：BC．（多選）20．下列命題的否定中，是全稱量詞且為真命題的有（）A．?x∈R，B．所有的正方形都是矩形C．?x∈R，x2+2x+2≤0D．至少有一個實數(shù)x，使x3+1＝0【解答】解：∵B是全稱命題，其否定為特稱命題，故排除，A是特稱命題，其否定為：?x∈R，≥0，即（x﹣）2≥0為真命題，C是特稱命題，其否定為：?x∈R，x2+2x+2＞0，即（x+1）2+1＞0為真命題，D是特稱命題，其否定為：任意實數(shù)x，都有x3+1≠0，﹣1代入不成立，為假命題，故選：AC．三、填空題（本題共3小題）21．所有平行四邊形組成的集合可以表示為．【解答】解：可以利用描述法表示為{x|x為平行四邊形}．故答案為：{x|x為平行四邊形}．22．已知集合{x|x2+ax+b＝0，x∈R}＝{2，﹣1}，則集合{x|ax+b＝0，x∈R}＝．【解答】解：∵集合{x|x2+ax+b＝0，x∈R}＝{2，﹣1}，∴﹣a＝2﹣1，b＝2×（﹣1），即a＝﹣1，b＝﹣2，解﹣x﹣2＝0得，x＝﹣2，即{x|ax+b＝0，x∈R}＝{﹣2}．故答案為：{﹣2}．23．已知條件α：m＜x≤2m+5，條件β：0≤x≤1，若α是β的必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為．【解答】解：問題轉(zhuǎn)化為[0，1]?（m，2m+5]，∴，解得：m∈[﹣2，0）．故答案為：[﹣2，0）．解答題24．設(shè)m為實數(shù)，若A＝{x|x2﹣（1+m）x+m＝0，x∈R}，B＝{x|mx﹣1＝0，x∈R），求當(dāng)B?A時m的取值集合．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣（1+m）x+m＝0，x∈R}，當(dāng)m＝1時，A＝{1}，B＝{1}，B?A不成立，當(dāng)m≠1時，A＝{1，m}，當(dāng)m≠1且m＝0時，B＝?，B?A成立，當(dāng)m≠1且m≠0時，由B?A可得，m2﹣1＝0，解得m＝﹣1，綜上所述m的取值集合為{0，﹣1}．25．設(shè)集合A＝{x|a﹣3＜x＜a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞3}．（1）若a＝3，求A∪B；（2）若A∪B＝R，求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）a＝3時，A＝{x|0＜x＜6}，且B＝{x|x＜﹣1，或x＞3}，∴A∪B＝{x|x＜﹣1，或x＞0}；（2）∵A∪B＝R，∴，∴0＜a＜2，∴實數(shù)a的取值范圍為（0，2）．26．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m+3}．（1）若m＝4，求A∪B；（2）若A∩B＝B，求實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（1）m＝4時，集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|3≤x≤11}，∴A∪B＝{x|﹣2≤x≤11}．（2）∵A∩B＝B，B?A，∴當(dāng)B＝?時，m﹣1＞2m+3，解得m＜﹣4，當(dāng)B≠?時，，解得﹣1≤m≤1，∴實數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，﹣4）∪[﹣1，1]．27．設(shè)A＝{x|x2+2x+a＝0}，B＝{x|x2+bx﹣5＝0}，A∩B＝{1}，C＝{2，﹣3，﹣5}．（1）求a，b的值；（2）求（A∪B）∩C．【解答】解：（1）因為A＝{x|x2+2x+a＝0}，B＝{x|x2+bx﹣5＝0}，A∩B＝{1}，所以，解得a＝﹣3，b＝4；（2）由（1）得，A＝{x|x2+2x﹣3＝0}＝{﹣3，1}，B＝{x|x2+4x﹣5＝0}＝{﹣5，1}，C＝{2，﹣3，﹣5}，所以（A∪B）∩C＝{﹣5，﹣3，1}∩{2，﹣3，﹣5}＝{﹣5，﹣3}．28．已知集合A＝{x|2﹣b＜ax≤2b﹣2}，B＝{x|﹣＜x≤2}（a≠0）．（1）若a＝1，b＝3，求A∩（?RB）；（2）若A＝B，求a，b的值．【解答】解：集合A＝{x|2﹣b＜ax≤2b﹣2}，B＝{x|﹣＜x≤2}（a≠0）．（1）若a＝1，b＝3，則集合A＝{x|﹣1＜x≤4}，集合B＝{x|﹣＜x≤2}，所以?RB＝{x|x≤﹣或x＞2}，所以A∩（?RB）＝{x|﹣1＜x≤﹣或2＜x≤4}；（2）若A＝B，則，解得a＝2，b＝3．29．已知集合M＝{x|（x+3）（x﹣5）≤0}，N＝{x|﹣m≤x≤m}．（1）若“x∈M”是“x∈N”的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)m≥0時，若“x∈M”是“x∈N”的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：M＝{x|（x+3）（x﹣5）≤0}＝{x|﹣3≤x≤5}（1）由題可知M?N，所以解得m≥5，所以實數(shù)m的取值范圍為[5，+∞）；（2）由題可知N?M，因為m≥0，所以解得0≤m≤3，綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為[0，3]．30．設(shè)集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，B＝{x|﹣a﹣1＜x＜a﹣1，a＞0}，命題p：x∈A，命題q：x∈B．（1）若p是q的充要條件，求正實數(shù)a的取值范圍；（2）若p是q的必要不充分條件，求正實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）由x2+2x﹣3＜0，得（x+3）（x﹣1）＜0，解得﹣3＜x＜1，所以A＝{x|﹣3＜x＜1}，由p是q的充要條件，得A＝B，即，解得a＝2，所以實數(shù)a的取值范圍是{2}；（2）由p是q的必要不充分條件，得B?A，又a＞0，則B≠?，所以，解得0＜a＜2，綜上實數(shù)a的取值范圍是（0，2）．31．是否存在整數(shù)m，使得命題“?x≥﹣，﹣5＜3﹣4m＜x+1”是真命題？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：存在，理由如下：假設(shè)存在整數(shù)m，使得命題“?x≥﹣，﹣5＜3﹣4m＜x+1”是真命題．因為當(dāng)x≥﹣時，x+1≥，所以﹣5＜3﹣4m＜，解得＜m＜2．又m為整數(shù)，所以m＝1，故存在整數(shù)m＝1，使得命題“?x≥﹣，﹣5＜3﹣4m＜x+1”是真命題．32．已知m∈R，命題p：?0≤x≤1，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立；命題q：?﹣1≤x≤1，使得m≤ax成立．（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）當(dāng)a＝1時，若p和q一真一假，求實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（1）對任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立，令f（x）＝2x﹣2（x∈[0，1]），則，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）min＝f（0）＝﹣2，即m2﹣3m≤﹣2，解得1≤m≤2，∴當(dāng)p為真命題時，m的取值范圍是[1，2]．（2）當(dāng)a＝1時，若q為真命題，則存在x∈[﹣1，1]，使得m≤x成立，所以m≤1，故當(dāng)命題q為真時，m≤1，又∵p，q中一個是真命題