《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》-教學(xué)設(shè)計(jì)

《一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析:本課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程求根公式的基礎(chǔ)上，對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行再探究，通過(guò)本課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步了解一元二次方程兩根之和、兩根之積與一元二次方程中系數(shù)之間的關(guān)系．教學(xué)目標(biāo)：【知識(shí)與能力目標(biāo)】1.掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；2.能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解決具體問(wèn)題.【過(guò)程與方法】經(jīng)歷探索一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的過(guò)程，體驗(yàn)觀察→發(fā)現(xiàn)→猜想→驗(yàn)證的思維轉(zhuǎn)化過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.【情感態(tài)度與價(jià)值觀】通過(guò)觀察、歸納獲得數(shù)學(xué)猜想，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索性和創(chuàng)造性，理解事物間相互聯(lián)系、相互制約的辯證唯物主義觀點(diǎn)，掌握由“特殊——一般——特殊”的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神.教學(xué)重難點(diǎn)：【教學(xué)重點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】探索一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.課前準(zhǔn)備：多媒體教學(xué)過(guò)程：?jiǎn)栴}1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是什么？（3）當(dāng)Δ>0，Δ＝0，Δ<0時(shí)，一元二次方程根的情況如何？（4）一元二次方程的求根公式是什么？[師生活動(dòng)]教師指導(dǎo)學(xué)生回憶知識(shí)，學(xué)生進(jìn)行口答，教師指出重點(diǎn)．[答]（1）一元二次方程一般形式為ax2+bx+c=0(a≠0)；當(dāng)△≥0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＞0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根；當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根；當(dāng)△＜0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)根；方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為（△≥0）.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)一元二次方程相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，并為新知識(shí)的學(xué)習(xí)做鋪墊。問(wèn)題2：請(qǐng)完成下面的表格觀察、思考表格中方程兩根之和與兩根之積與系數(shù)有何關(guān)系，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你有什么發(fā)現(xiàn)？【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過(guò)計(jì)算、觀察、分析，發(fā)現(xiàn)一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，體會(huì)由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程。問(wèn)題3：（1）填寫(xiě)上表后思考：①運(yùn)用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能解答下列問(wèn)題嗎？已知方程x2-4x-7=0的根為x1，x2，則x1+x2=，x1·x2=；已知方程x2+3x-5=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=，x1·x2=.已知方程2x2－3x－2＝0的兩根分別是x1和x2，則x1+x2=，x1·x2=.[答案]4，-7；-3，-5；，-1.②如果方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，你知道x1+x2和x1·x2與方程系數(shù)之間的關(guān)系嗎？[回答]若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根分別為x1和x2，則x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).③如何證明以上發(fā)現(xiàn)的規(guī)律呢？[論證結(jié)論]教師與學(xué)生共同整理證明過(guò)程：證明：當(dāng)Δ>0時(shí)，由求根公式得x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)，所以x1＋x2＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)＋eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)＝－eq\f(2b,2a)＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)·eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(（－b）2－（b2－4ac）,4a2)＝eq\f(c,a)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，x1＝x2＝－eq\f(b,2a).所以x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).[歸納并板書(shū)]根與系數(shù)關(guān)系：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根分別為x1和x2，則x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).[文字表達(dá)]一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.【設(shè)計(jì)意圖】①進(jìn)一步分析、驗(yàn)證所發(fā)現(xiàn)的根與系數(shù)的關(guān)系，為從感性到理性打好基礎(chǔ)．②通過(guò)設(shè)置問(wèn)題2使學(xué)生明確利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算需要滿足Δ≥0.③探究根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。問(wèn)題4：例1根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩個(gè)根x1，x2的和與積．(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.[師生活動(dòng)]學(xué)生自主進(jìn)行解答，教師做好評(píng)價(jià)和總結(jié)．[注意]把一元二次方程整理為一般形式，確定a，b，c的值，比較b2－4ac與0的大小，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系代入求值．[解]（1）x1+x2=6，x1·x2=-15；x1+x2=，x1·x2=；方程化為4x2-5x+1=0，∴x1+x2=，x1·x2=.變式練習(xí)1已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1x2等于(C)－4B．－1C．1D．4變式練習(xí)2若x1，x2為方程x2－2x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求x1＋x2－x1x2的值．[解]由根與系數(shù)關(guān)系得，x1+x2=2，x1·x2=-1，∴x1＋x2－x1x2=2-（-1）=3.【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題的設(shè)置是針對(duì)本課時(shí)的重點(diǎn)所學(xué)進(jìn)行及時(shí)鞏固，也是培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力和熟記公式的關(guān)鍵。問(wèn)題5：例2已知方程x2-x+c=0的一根為3，求方程的另一根及c的值.[分析]設(shè)方程的另一根為x1，可通過(guò)求兩根之和求出x1的值；再用兩根之積求c，也可將x=3代入方程求出c值.再利用根與系數(shù)關(guān)系求x1值.[解]設(shè)方程另一根為x1，由x1+3=1，∴x1=-2.又x1·3=-2×3=c，∴c=-6.例3已知方程x2-5x-7=0的兩根分別為x1，x2，求下列式子的值：（1）x12+x22；（2）.[分析]將所求代數(shù)式分別化為只含有x1+x2和x1·x2的式子后，用根與系數(shù)的關(guān)系，可求其值.[解]∵方程x2-5x-7=0的兩根為x1，x2，∴x1+x2=5，x1·x2=-7.(1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=52-2×(-7)=25+14=39；(2)=【設(shè)計(jì)意圖】例2側(cè)重于逆用根與系數(shù)關(guān)系，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確思考；而例3側(cè)重于利用根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行代數(shù)式求值，這里將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為只含有x1+x2及x1·x2的式子是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注這類變形方法.教學(xué)過(guò)程中仍應(yīng)讓學(xué)生先自主探究，獨(dú)立完成，最后教師再予以評(píng)講，讓學(xué)生理解并掌握根與系數(shù)的關(guān)系；對(duì)于學(xué)生在探索過(guò)程中的成績(jī)和問(wèn)題也給予評(píng)析，進(jìn)行反思。問(wèn)題6：例4已知x1，x2是方程x2-6x+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12·x22-x1-x2=115，（1）求k的取值；（2）求x12+x22-8的值.[分析]將x1+x2=6，x1·x2=k，代入x12·x22-x1-x2=115可求出k值.此時(shí)需用Δ=b2-4ac來(lái)判斷k的取值，這是本例的關(guān)鍵.[解]（1）由題意有x1+x2=6，x1·x2=k.∴x12·x22-x1-x2=(x1·x2)2-(x1+x2)=k2-6=115，∴k=11或k=-11.又∵方程x2-6x+k=0有實(shí)數(shù)解，∴Δ=(-6)2-4k≥0，∴k≤9.∴k=11不合題意應(yīng)舍去，故k的值為-11；(2)由(1)知，x1+x2=6，x1·x2=-11，∴x12+x22-8=(x1+x2)2-2x1x2-8=36+22-8=50.【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)置本例的目的在于引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式之間的不可分割的特征.教學(xué)時(shí)應(yīng)予以強(qiáng)調(diào)。問(wèn)題6.1課堂總結(jié)：(1)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？(2)本節(jié)課還有哪些疑惑？說(shuō)一說(shuō)！2．布置作業(yè)：教材第17頁(yè)習(xí)題21.2第7題．3.知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：教學(xué)反思：1.從熟知的解法解一元二次方程的過(guò)程中探索根與系數(shù)的關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)可用系數(shù)表示的求根公式來(lái)證明這個(gè)關(guān)系，再通過(guò)問(wèn)題探討幫助學(xué)生運(yùn)用這個(gè)關(guān)系解決問(wèn)題，注重了知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展和出現(xiàn)的過(guò)程