第二章彈性力學的基本方程

§2-6彈性力學問題的一般提法§2-7指標表示法§2-8迭加原理§2-9彈性力學問題解的唯一性原理§2-10圣維南原理當前第1頁\共有74頁\編于星期五\22點§2-1

載荷應力1.外力的表示外力：直接施加在物體上引起物體的變形與內(nèi)力．根據(jù)外力作用區(qū)域分為體積力和表面力

當前第2頁\共有74頁\編于星期五\22點體積力：分布在物體的體積內(nèi)，作用在物體內(nèi)的所有質點上，例如重力、慣性力、電磁力等。

當前第3頁\共有74頁\編于星期五\22點體力矢量表示為：

當前第4頁\共有74頁\編于星期五\22點表面力：作用在物體表面上的外力，簡稱面力。例如，液體或氣體的壓力，固體間的接觸力等，通常用面力矢量

當前第5頁\共有74頁\編于星期五\22點2.應力在載荷的作用下，物體的各部分之間要產(chǎn)生相互作用，這種物體內(nèi)的一部分對另一部分的相互作用力，稱為內(nèi)力。

當前第6頁\共有74頁\編于星期五\22點彈性體內(nèi)一點內(nèi)力集度表示為：

注意：同一點不同截面上的內(nèi)力不同．當前第7頁\共有74頁\編于星期五\22點2.應力分量應力正負號的規(guī)定：正面上的應力分量與坐標軸的正方向一致為正，負面上的應力分量與坐標的負方向一致為正；反之為負。

當前第8頁\共有74頁\編于星期五\22點應力分量：

當前第9頁\共有74頁\編于星期五\22點1.微元體：首先，在物體內(nèi)一點P的附近，用三組坐標面的平行平面截出一個微小的平行六面體單元，三條棱邊的長度分別為dx、dy、dz，如圖2-6示。作用在微元體上的體力的三個分量仍用和表示。

§2-2平衡（運動）微分方程當前第10頁\共有74頁\編于星期五\22點

當前第11頁\共有74頁\編于星期五\22點2.力平衡微分方程由得：當前第12頁\共有74頁\編于星期五\22點又稱納維葉(Navier)方程。當前第13頁\共有74頁\編于星期五\22點3.力矩平衡方程（剪應力互等定理）。當前第14頁\共有74頁\編于星期五\22點3.運動微分方程。如果物體處于運動狀態(tài)，根據(jù)達朗伯（dAlembert）原理，在體力項中引入慣性力：和這里為材料密度，t為時間。

當前第15頁\共有74頁\編于星期五\22點運動微分方程：當前第16頁\共有74頁\編于星期五\22點§2-3斜面應力公式應力邊界條件過物體內(nèi)的一點P取出一個微四面體，設斜面

的面積為dA，則三個負面的面積分別為

當前第17頁\共有74頁\編于星期五\22點當前第18頁\共有74頁\編于星期五\22點1.四面體的平衡方程由x方向的平衡條件得：將各面面積代入得：當前第19頁\共有74頁\編于星期五\22點同理可得：上式稱為斜面應力公式，又稱Cauchy公式。

當前第20頁\共有74頁\編于星期五\22點2.斜面上的正應力與剪應力當前第21頁\共有74頁\編于星期五\22點3.邊界條件上式稱為應力的邊界條件，l,m,n為斜面外法線方向余弦．當前第22頁\共有74頁\編于星期五\22點§2-4位移幾何方程1.位移物體內(nèi)各點位置的改變量稱為位移。

用u、v、w表示位移矢量u，沿x、y、z三個坐標方向的分量，并規(guī)定沿坐標軸正方向的位移分量為正，反之為負。研究物體位形變化，可以將位移分解成兩類：

(1)物體剛體位移(2)物體內(nèi)質點間相對位移

當前第23頁\共有74頁\編于星期五\22點2.應變

線元的相對伸長，稱為正應變，沿x、y、z,和表示，即方向線元的正應變分別用,當前第24頁\共有74頁\編于星期五\22點當前第25頁\共有74頁\編于星期五\22點正交線元直角的變化稱為剪應變，沿x、y、z直角的變化分和表示，方向三個正交線元別用，，符號規(guī)定：正應變以伸長為正，縮短為負；剪應變以直角的減小為正，反之為負。這種規(guī)定與應力的正負規(guī)定是一致的。

當前第26頁\共有74頁\編于星期五\22點３.幾何方程幾何方程是物體變形過程的位移－應變關系．設彈性體內(nèi)任一點Ｐ的位移分別為u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z),為簡化起見，通過投影的變形分析來建立應變－位移關系．當前第27頁\共有74頁\編于星期五\22點物體變形的位移及在坐標面上投影當前第28頁\共有74頁\編于星期五\22點以oxy平面上的投影為例分析物體變形的應變－位移關系當前第29頁\共有74頁\編于星期五\22點以oxy平面上的投影為例分析物體變形的應變－位移關系當前第30頁\共有74頁\編于星期五\22點

P點的鄰近點A和B的坐標分別為(x+dx,y,z)和(x,y+dy,z),將Ａ，Ｂ點的位移按Taylor級數(shù)在Ｐ點處展開：Ａ點：Ｂ點：當前第31頁\共有74頁\編于星期五\22點

在小變形條件下：當前第32頁\共有74頁\編于星期五\22點當前第33頁\共有74頁\編于星期五\22點在小變形條件下當前第34頁\共有74頁\編于星期五\22點同例分析平面yoz和平面zox可得：方程組稱為幾何方程，又稱為柯西（Cauchy)方程當前第35頁\共有74頁\編于星期五\22點§2-5廣義Hooke定律1.簡單應力狀態(tài)

簡單拉壓：

純剪切：

當前第36頁\共有74頁\編于星期五\22點2.復雜應力狀態(tài)當前第37頁\共有74頁\編于星期五\22點3.體積應變

稱為體積應變

當前第38頁\共有74頁\編于星期五\22點4.用應變表示應力同理當前第39頁\共有74頁\編于星期五\22點令則當前第40頁\共有74頁\編于星期五\22點于是式中中稱為拉梅常數(shù)注意：是應變張量分量而不是剪應變分量．上式稱為用應變表示應力的廣義Hooke定律

當前第41頁\共有74頁\編于星期五\22點上式還可進一步寫成：當前第42頁\共有74頁\編于星期五\22點§2-6彈性力學問題的一般提法

我們通過對平衡、幾何和物理三個方面的分析建立了彈性力學的全部基本方程，即平衡（運動）微分方程、幾何方程和應力-應變關系；當前第43頁\共有74頁\編于星期五\22點又稱納維葉(Navier)方程。(1)平衡微分方程當前第44頁\共有74頁\編于星期五\22點運動微分方程：當前第45頁\共有74頁\編于星期五\22點(2)幾何方程方程組稱為幾何方程，又稱為柯西（Cauchy)方程當前第46頁\共有74頁\編于星期五\22點(3)應力-應變關系(本構關系)應力-應變關系(本構關系)當前第47頁\共有74頁\編于星期五\22點用應變表示的應力-應變關系

三大控制方程含蓋所有彈性力學問題,方程組具有15個未知量15個方程，可以求解。

具體彈性力學問題,必須與相應的彈性力學問題,為此需知具體問題的邊界條件。當前第48頁\共有74頁\編于星期五\22點（4）邊界條件（?。吔鐥l件（ⅱ）位移邊界條件（ⅲ）混合邊界條件當前第49頁\共有74頁\編于星期五\22點§2-7指標表示法

力的分量、應力分量、應變分量和位移分量引用的記號法，是一種公認的表示方法。但有由于控制方程的表示過于冗長，為減少篇幅，在力學等大多數(shù)文獻中，在理論推導采用指標表示。

1.指標符號

具有相同性質的一組量，可以用一個帶下標的字母表示。

當前第50頁\共有74頁\編于星期五\22點位移分量：

u、v、w可以寫成，縮寫后為

坐標：x、y、z可以寫成

，縮寫后為單位基矢量：可以寫成，縮寫后為應力分量：可以寫成縮寫后為當前第51頁\共有74頁\編于星期五\22點應變分量：可用表示由此，向量可表示為在三維笛卡爾空間中，下標用小寫英文母表示，并取

在二維笛卡爾空間中，下標用小寫希臘字母表示，并取

當前第52頁\共有74頁\編于星期五\22點三階線性代數(shù)方程組可表示為引用求和記號以后，還可以進一步簡寫為當前第53頁\共有74頁\編于星期五\22點2.求和約定于是上式可表示為

在表達式的某項中，某指標重復出現(xiàn)一次，則表示要把該項在該指標的取值范圍內(nèi)遍歷求和，這就是愛因斯坦（Einstein）求和約定。

重復指標稱為啞指標（或簡稱啞標）。

式中的i，不是求和指標。非求和指標稱為自由指標。

當前第54頁\共有74頁\編于星期五\22點注意:而3.求導數(shù)的簡記方法

當前第55頁\共有74頁\編于星期五\22點例如:當前第56頁\共有74頁\編于星期五\22點4.克羅內(nèi)克（Kroneker）符號

定義:于是當前第57頁\共有74頁\編于星期五\22點(1)具有如下性質：

(2)(3)(4)當前第58頁\共有74頁\編于星期五\22點5.置換符號

置換符號用表示,定義:

(a)循環(huán)序列：i,j,k取不同的值，當前第59頁\共有74頁\編于星期五\22點(b)逆循環(huán)序列：i,j,k取不同的值(c)非循環(huán)序列：i,j,k中有兩個以上的指標取相同值利用置換符號可以簡化公式

（1）行列式當前第60頁\共有74頁\編于星期五\22點可表示為（2）向量叉積可表示為當前第61頁\共有74頁\編于星期五\22點當采用指標記法時,彈性力學問題的控制方程（在V內(nèi)）（1）平衡（運動）微分方程

（2）幾何方程：（在V內(nèi)）（3）應力-應變關系：當前第62頁\共有74頁\編于星期五\22點（在V內(nèi)）（在V內(nèi)）（在V內(nèi)）（4）邊界條件力的邊界條件：（在內(nèi)）

位移邊界條件：（在內(nèi)）當前第63頁\共有74頁\編于星期五\22點§2-8迭加原理

考慮同一物體兩組載荷情況:(在上）(在上)位移第二組:體力（在V內(nèi)）面力(在上）第一組:體力（在V內(nèi)）位移面力(在上）當前第64頁\共有74頁\編于星期五\22點對第一組載荷應有(在V內(nèi))(在上）(在上）當前第65頁\共有74頁\編于星期五\22點對第二組載荷應有(在V內(nèi))(在上）(在上）當前第66頁\共有74頁\編于星期五\22點(在V內(nèi))(在上）(在上）將上面兩組關系中的對應方程相加得若則(在上）當前第67頁\共有74頁\編于星期五\22點上式表示在體力及面力作用下,約束位移為彈性力學問題的解為:應力：應變：位移：

對于大變形情況，幾何方程將出現(xiàn)二次非線性項，平衡微分方程將受到變形的影響，因而疊加原理不再適用。

對于非線性彈性或彈塑性材料，應力-應變關是非線性的，疊加原理不成立。當前第68頁\共有74頁\編于星期五\22點§2-9彈性力學問題解的唯一性原理唯一性定理：在給定載荷作用下，處于平衡狀態(tài)的彈性體，其內(nèi)部各點的應力、應變解是唯一的，如果物體的整體剛體位移受到約束，則位移解也是唯一的。當前第69頁\共有74頁\編于星期五\22點

證明：設對應于同一組載荷、和約束條件存在兩組不同的解，分別記為則、(在V內(nèi)）當前第70頁\共有74頁\編于星期五\22點(在上）(在上）及(在V內(nèi)）當前第71頁\共有74頁\編于星期五\22點(在上）(在上）將以上兩組關系中的對應方程相減，得(在V內(nèi)）(在上）(在上）當前第72頁\共有74頁\編于星期五\22點上式表明，兩解之差：、和對應了一個無體力、無面力的自然狀態(tài)。根據(jù)無初應力假設，在自然狀態(tài)下，有可見，應力、