《弧長與扇形面積》課件1-優(yōu)質(zhì)公開課-湘教9下

弧長與扇形面積

如圖是某市的摩天輪的示意圖.

點(diǎn)O是圓心，半徑r為15m，點(diǎn)A，B是圓上的兩點(diǎn)，圓心角∠AOB=120°.

你能想辦法求出

的長度嗎？說說你的理由.動(dòng)腦筋

因?yàn)椤螦OB=120°，

所以

的長是圓周長的

，因此

的長為×2π×15=10π

(m).

我們知道圓周長的計(jì)算公式為C=2πr，其中r是圓的半徑，即360°的圓心角所對(duì)的弧長就是圓周長C.如果∠AOB=n°，你能求出

的長嗎？在同一個(gè)圓中，如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弧相等.

而一個(gè)圓的圓心角為360°，因此：1°的圓心角所對(duì)的弧長為n°的圓心角所對(duì)的弧長l為結(jié)論半徑為r的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長l為由此得出以下結(jié)論：例1已知圓O的半徑為30cm，求40°的圓心角所對(duì)的弧長(精確到0.1cm)

舉例例2如圖所示，一個(gè)邊長為10cm的等邊三角形木板ABC在水平桌面上繞頂點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△A′B′C的位置，求頂點(diǎn)A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路程為多少.舉例解

由圖可知，由于∠A′CB′=60°，則等邊

三角形木板繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了120°，

即∠ACA′=120°，這說明頂點(diǎn)A經(jīng)過的

路程長等于

的長.

∵

等邊三角形ABC的邊長為10cm，∴

所在圓的半徑為10cm.

∴答：頂點(diǎn)A從開始到結(jié)束時(shí)所經(jīng)過的

路程為

cm.

圓的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形.

如圖，陰影部分是一個(gè)扇形，記作扇形OAB.

我們可以發(fā)現(xiàn)，扇形面積與組成扇形的圓心角的大小有關(guān)，在同一個(gè)圓中，圓心角越大，扇形面積也越大.探究

如何求半徑為r，圓心角為n°的扇形的面積呢？

我們可以把圓看作是圓心角為360°的扇形，它的面積即圓面積

因?yàn)閳A繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能與自身重合，所以圓心角為1°的扇形能夠互相重合，從而圓心角為1°的扇形的面積等于圓面積的

，即

因此，圓心角為n°的扇形的面積為結(jié)論由此得到：半徑為r的圓中，圓心角為n°的扇形的面積S為

又因?yàn)樯刃蔚幕￠L

，因此例3

如圖，圓O的半徑為1.5cm，圓心角∠AOB=58°，求扇形OAB的面積.(精確0.1cm2).舉例解

因?yàn)閞=1.5cm，n=58，所以扇形OAB的面積為解

設(shè)∠AOB=n°，解得n=135°，即圓心角∠COD=135°.舉例如下圖是一條圓弧形彎道，已知OA=20m，

OC=12m，

的長度為9πm，求圓弧形彎道的面積.例4∵OC=12m，

的長度為9πm，∴答：這條圓弧形彎道的面積為

.∴∴中考試題

如圖，直角三角形ABC的斜邊AB=35，點(diǎn)O在AB邊上，OB=20，一個(gè)以O(shè)為圓心的圓，分別切兩直角邊BC，AC于D、E兩點(diǎn)，求的長度.連接OE、OD，∵⊙O切BC、AC于點(diǎn)D、E，∴OD⊥BC，OE⊥AC.∵∠C=90°，∴四邊形OECD為矩形，∠EOD=90°，

OE=OD.設(shè)⊙O的半徑為r，即OE=OD=r.∵∠A+∠B=90°，∠DOB+∠B=90°.∴

∠A=∠DOB.又∵∠AEO=∠ODB=90°，∴△AEO∽△O