費馬原理與變折射率光學

費馬原理與變折射率光學第一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.1—1.5費馬原理1.1折射率及其意義1.2光程概念及其意義1.3費馬原理及其數(shù)學形式1.4由費馬原理導(dǎo)出幾何光學三定律1.5物象等光程性1.7某些特例(某些特殊的共軛點)1.6費馬原理應(yīng)用于球面折反系統(tǒng)第二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.1折射率它是透明介質(zhì)的光學物性參數(shù)。最初源于折射定律：有--Snell定律。寫成不變量形式，第三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.1折射率標識符號色視覺波長/nm冕牌玻璃特重火石F綠486.11.52861.7328D黃589.61.52301.7205C紅656.31.52051.7076典型數(shù)據(jù)：色散本領(lǐng)：色散率：倒數(shù)forc.g.forf.g.第四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.1折射率惠更斯原理次波源、微觀次波面，宏觀包絡(luò)面，中心——切點連線。應(yīng)用于“界面的反射、折射”時，將賦與折射率以新的物理意義：于是（）介質(zhì)相對折射率n(相對真空,)真空光速/介質(zhì)光速第五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.1折射率進而，導(dǎo)出如何導(dǎo)出?據(jù)波速=頻率×波長有 顯然，得第六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.1折射率物理考慮在線性介質(zhì)的光場中，擾動的時間頻率f僅由光源決定，與介質(zhì)無關(guān)f~光源的本征頻率。最終得例如，某(橙色)在水中,，變?yōu)?/p>

(蘭色?)第七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.1折射率可見光波長區(qū)間與頻率量級(peta)(M.G.T.P.)聯(lián)系視覺色效應(yīng)所謂“色散關(guān)系”、“色散理論”，給出

函數(shù)，或者,.

第八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.2光程(opticalpath)均勻介質(zhì)光程介質(zhì)分區(qū)均勻光程變折射率介質(zhì)：光程第九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.2光程(opticalpath)其初步意義a.相位差與光程的關(guān)系圖1.5由光程導(dǎo)出相位差沿波的傳播方向，相位逐點落后，所以有：即（普遍）第十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.2光程(opticalpath)b.時差與光程的關(guān)系即，或給出光程的又一定義：光線經(jīng)歷QP兩點的光程等于傳播時間乘以真空光速，雖然光實際上傳播于介質(zhì)中。第十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.3費馬原理實際光線的傳播路徑，與鄰近各種可能的虛擬路徑相比較，具有什么特別的“品性”?第十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.3費馬原理表述：光線沿光程為平穩(wěn)值的路徑而傳播。解說：示意圖：第十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.3費馬原理數(shù)學表達式注意到被稱為泛函or程函，eikonal.通俗道，“函數(shù)的函數(shù)”?！捌椒€(wěn)值”滿足 變分為零，或簡寫其中，為變分運算符號上述方程為變分方程，旨在求出泛函的極值。—變分原理可見，費馬原理開創(chuàng)了以變分原理反映自然規(guī)律的研究路線或表述方式。第十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.4由費馬原理導(dǎo)出幾何光學三定律由費馬原理導(dǎo)出均勻介質(zhì)，光的直線傳播定律；介質(zhì)界面，光的反射定律；介質(zhì)界面，光的折射定律。如是，則說明

費馬原理是幾何光學三定律的一個理論概括。第十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.4.1反射光束的等光程性M為動點，入射-反射光程為L（QMP）；M為待定的反射點，以滿足L（QMP）為極值：引入鏡象對稱點Q′，則,且于是，它成為極小值的條件是為直線，當時。即

反射角等于入射角，反射線與入射線同在一個入射面內(nèi)。這正是光在界面的反射定律。第十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.4.2折射光束的等光程性M為待定點，設(shè)，有

入射—折射光程于是，普遍的變分方程,在此被簡化為一元微分方程即得此即Snell定律。第十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.5物像等光程性費馬原理的一個推論：

物象之間各條光線的光程是相等的。

——物象等光程性。物點Q 象點Q′同心光束 同心光束(同心光束的共軛變換)等光程性是指即與i無關(guān)。可取反證法證之。第十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.5物像等光程性意義：

嚴格等光程 嚴格成象 近似等光程 近似成象 非等光程 不成象表明：有了這個推論，便將“成象”的理論，推進到現(xiàn)實的可操作的理論分析的境界。第十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.6費馬原理應(yīng)用于球面折反系統(tǒng)1.6.1由費馬原理導(dǎo)出球面鏡傍軸成象及其物象公式圖1.11待求“象點”，鏡面半徑，鏡心于左，；鏡心于右，思路：提出等光程要求：在同一介質(zhì)中，上述要求即為其中（1)第二十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.6費馬原理應(yīng)用于球面折反系統(tǒng)(同等近似處理)代入等光程方程(1)，有（消去d）（與d無關(guān)，成象，近似成象）物象距關(guān)系式:焦距(當s=∞)正負號約定：物象點在左,物象點在右,第二十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.6費馬原理應(yīng)用于球面折反系統(tǒng)1.6.2由費馬原理導(dǎo)出球面折射傍軸成象及其物象關(guān)系任意傾角入射線，相應(yīng)的折射光線為，顯然光程是△與x的函數(shù)。

令求解x(是否有解)。利用反射時曾經(jīng)出現(xiàn)的近似結(jié)果，即傍軸條件有第二十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.6費馬原理應(yīng)用于球面折反系統(tǒng)

求導(dǎo)整理(此方程決定的x與△無關(guān))顯然，得以滿足.namely,上述方程表明，球面傍軸確實能夠成象，令

得像方焦距

令

得物方焦距第二十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.6費馬原理應(yīng)用于球面折反系統(tǒng)1.6.3討論“極大值”情況實際光線光程為“極大植”的一個情形

經(jīng)象點Q′，到達Q″(向右位移)，則實際光線與鄰近的比較，其光程

系非等光程，是極大?極小?第二十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.6費馬原理應(yīng)用于球面折反系統(tǒng)幾何分析：光程差：即經(jīng)象點中軸光線，其光程這是球面折射面半徑r>0情況；若r<0時，與上述結(jié)論相反。第二十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.6費馬原理應(yīng)用于球面折反系統(tǒng)解析方法：考察，虛擬光程L(QMQ″)的變化率考慮到,以及最后得當

當，結(jié)論反號?？傊?，“經(jīng)象點，態(tài)反轉(zhuǎn)”，這是第一例。第二十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.7若干重要的特例1.7.1反射等光程面

---橢球面、拋物面、雙曲面球面折射或球面反射只能在傍軸條件下近似成像，而不能實現(xiàn)嚴格成像或理想成像。所謂理想成像系統(tǒng)，是對物空間所有物點發(fā)出的同心光束均能實現(xiàn)嚴格成像的光學系統(tǒng)。至今只發(fā)現(xiàn)一個---平面鏡，放大率是1，應(yīng)用有限。如果只要求有一對嚴格意義的共軛點Q，Q′，即從Q點發(fā)出的任意寬光束，經(jīng)某一特殊曲面的反射或折射，而成為以Q′為中心的同心光束，是可以實現(xiàn)的。根據(jù)像等光程原理，這些特殊形狀的曲面概被稱為等光程面。反射等光程面有三種，旋轉(zhuǎn)橢球面、旋轉(zhuǎn)拋物面和轉(zhuǎn)雙曲面，如圖1.14所示。第二十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.7若干重要的特例對(a),(b)有對(c)有負號意味著MQ′一段是虛光程第二十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.7若干重要的特例拋物鏡面廣泛地用于天文望遠鏡。大口徑拋物鏡面，通常其中心部分留有一個光孔，在其前面適當距離處置放一個小鏡面，如圖1.15所示。圖(a)中小鏡面為凹面鏡，圖(b)中小鏡面為凸雙曲面。遙遠星體發(fā)來的平行光束，先經(jīng)拋物鏡面聚集，由聚焦點發(fā)出的同心光束再鏡面反射，通過中心光孔，最后射入接收器，供觀測者觀察、采集和分析。反射無色散，天文望鏡中的光學元件均采用反射鏡，其形狀有所不同。這對輸出的圖像質(zhì)量和光譜分析有利的。第二十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.7若干重要的特例1.7.2球面折射的齊明點對于單球面折射，一般而言只能實現(xiàn)傍軸成像，但也存在一對特殊共軛點，可以寬光束嚴格成像，如下圖所示。這一對共軛點稱為齊明點。顯微鏡就工作于齊明點。第三十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.7若干重要的特例如果以折射面球心C為參考，則齊明點的位置被確定為：當然，這里的線度幾何量

均含正負號，其約定是：球面半徑r>0或r<0，分別對應(yīng)球心C在球面頂點的右側(cè)或左側(cè)；物距

或

，分別對應(yīng)物點在球心C的左方或右方；像距的正負符號的約定與物距的相反，

或

，分別對應(yīng)像點

在球心C的右方或左方。有了這一套正負號定則，就使得各種不同情形下的齊明點位置公式，都可以歸結(jié)為上面通用的公式。第三十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.7若干重要的特例

比如對于圖中顯示的那種情況，r＜0，物方介質(zhì)折射率設(shè)為n=1.5,像方空氣折射率

，代入上式，得到,，這表明

，點均在球心左側(cè)，顯然，這是一個實物形成虛像的情形。

另外，這一對特殊位置的共軛點，聯(lián)系著若干幾何學上的特殊性質(zhì)，參見圖1.16(b)。從齊明點Q0發(fā)出一入射線，傾角為u，對應(yīng)的折射角為i′，兩者恰好相等，;同時，對應(yīng)角的出射光線的傾角為u′與入射角i也相等，；當入射線傾角時，某入射角恰好等于全反射臨界角，此時折射角為

，即折射光線恰好沿球面在該點的切線方向。

第三十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.7若干重要的特例圖1.17為顯微鏡物鏡列舉，復(fù)合鏡頭是為了消色差。第三十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.7若干重要的特例

1.7.3阿貝正弦定理

顯微鏡的觀察對象是一個小物，如右圖所示。小物上各點是否均處于齊明點位置，均能以寬光束出射而嚴格成像?利用球體的中心對稱性，讓軸光線QCO繞球心轉(zhuǎn)一角度，顯然與齊明點(Q，Q′)同在一圓弧上的各點，比如(P，P′)，均是一對齊明點。即弧形線確能嚴格成像于。

第三十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.7若干重要的特例當圓弧很短時被很好地近似為一條直線，即，這表明置于齊明點位置的傍軸小物可以寬光束嚴格成像。用像差語言表達：工作于齊明點位置的傍軸小物，既消除了一般軸上物點產(chǎn)生的球差(spherialaberration)，也消除了一般軸外小物產(chǎn)生的彗差(comaticaberration)。有意思的是，入射光線傾角u、小物線度y和物方折射率n三者(n,y,u)，與像方對應(yīng)量之間有一個關(guān)系式：

這是德國物理學家阿貝，在蔡司公司工作期間為研究改善顯微鏡成像質(zhì)量而發(fā)現(xiàn)的一個重要定理，現(xiàn)今依然是光學設(shè)計的基本依據(jù)之一，被稱為阿貝正弦定理(Abbesinetheorem)。茲證明如下(參見圖1.18)。（式1.23)第三十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.7若干重要的特例

證明：在△QCM和△MCQ′中，分別利用三角正弦定理，得故有

再利用折射定律，改寫為

；利用相似三角形定理，將軸向的物像距之比

轉(zhuǎn)化為橫向物像線度之比,即

。于是，上式成為

，再寫成不變量形式如（1.23)式。第三十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.7若干重要的特例阿貝正弦定理是普遍成立的，適用于復(fù)合透鏡，它是傍軸小物很好成像，以消球差和消彗差所必須滿足的條件，故也稱其為阿貝正弦條件。在本書論述顯微鏡的分辨本領(lǐng)問題和傅里葉光學中的阿貝相干成像原理時將要用到阿貝正弦條件。阿貝正弦定理的價值還在于，它將橫向線放大率與光錐孔徑角正弦值之比值聯(lián)系起來，兩者成反比關(guān)系：

它表明，如果像被放大了，則光束聚散角要變小。在露天電影場合，人們可以發(fā)覺一束束細銳光束，從放映機中發(fā)出而掃射于屏幕上，就是這個道理。

第三十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.7若干重要的特例1.7.4雙曲面透鏡聚焦平行光束例題：如圖1.19所示，一寬平行光束入射于一透鏡，要求被嚴格聚焦于點。試問透鏡第二曲應(yīng)當是何形狀?根據(jù)系統(tǒng)的軸對稱性，我們只需要確定曲線的形狀，再繞軸旋轉(zhuǎn)而形成的曲面便是待求曲面。設(shè)動點為M，取極坐標

描述動點的軌跡，它應(yīng)當滿足等光程性，即,其中H點是M點對軸光線的垂足。第三十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.7若干重要的特例

由圖可知，光程，故上式化為

即解出：其中為長度，是設(shè)計參數(shù)，事先由焦距要求給出。

（1.25）由二次曲線的極坐標標準形式：

看出(1.25)式符合此標準形式，且離心率

，這表明(1.25)式確定的動點軌跡應(yīng)當是一條曲線，即待求的曲面是旋轉(zhuǎn)雙曲面。第三十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.7若干重要的特例例設(shè)計要求是：透鏡材料n=1.5，第一表面即圓形平面的半徑為R=5.0cm,焦點F′離O點的距離為D=10.00cm,參見圖1.20。

根據(jù)(1.25)式，將n=1.5代入，得到極坐標方程的具體形式為：第四十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.7若干重要的特例據(jù)此，首先算得若干特征量如下，最大會聚角，最大矢徑長度,最短矢徑長度透鏡中心厚度。接著算出一系列值，列表如下：按上列數(shù)據(jù)，精確繪制如圖1.20。第四十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一1.6-1.8變折射率光學2.1自然變折射率2.2人工變折射率2.3強光變折射率2.4光線方程2.5實例2.6費馬原理幾度大放異彩第四十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一2.1自然變折射率---大氣光學現(xiàn)象2.1.1寒冷海面上空———海市蜃樓高度y，有T，有n，典型數(shù)據(jù)：折射率介電常數(shù)光密到光疏第四十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一2.1自然變折射率---大氣光學現(xiàn)象海市蜃樓第四十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一2.1自然變折射率---大氣光學現(xiàn)象2.1.2熾熱地面上空———沙洲神泉高度y，有T，有n，相當于鏡像，故倒像。第四十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一2.1自然變折射率---大氣光學現(xiàn)象2.1.3大氣電離層(D層)D區(qū)折射率變化函數(shù)：當時，拋物型，被用于研究電磁波被電離層反射。理論上的根據(jù)：介電常數(shù)與溫度、濃度的關(guān)系又溫度分布。玻耳茲曼分布

得，函數(shù)。對T，n的理解。對“沿水平方向”的光線將繼續(xù)彎曲的理解。孤立一根光線是不存在的，與光線相聯(lián)系的是一光錐或光束，其小面積波前上，子波有不同速度。另一角度審視，沿水平方向直線行進的光線，不是“極值路徑”，違背費馬原理。第四十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一2.1自然變折射率---大氣光學現(xiàn)象2.1.4大氣中聲線的變曲類似于沙洲神泉類似于海市蜃樓姑蘇城外寒山寺，夜半鐘聲到管船。(張繼)新秋松影下，半夜鐘聲后。(白居易)秋水臨水月，夜半隔山鐘。(皇甫冉)半夜、夜半、午夜———

鐘聲、笛聲、琴聲……第四十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一2.1自然變折射率---大氣光學現(xiàn)象地面附近空氣中聲速公式：它可以解釋放地面聲音晚上比白天傳得遠的原因，已如前面所說。我們還看到，這條曲線拐了幾個彎。聲速局部極小處C點，在此高程上發(fā)聲，任何方向的聲音都會折射彎向水平。因為從C點往下，其梯度和夜間地面上聲速梯度一樣；從C往上，是遠離C的高度聲速變大，所以聲音總會彎向過C的水平線。即這個高程，聲音傳得特別遠，稱為聲道，而具有聲速極大值的D點則相反，當聲音傳播接近它時，有一部分會折射返回聲波來的那一側(cè)，猶如波的反射。第四十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一2.2人工變折射率微透鏡

量級，制成微透鏡列陣，用于集成光學中的光互連。薄片厚度：有焦距公式：

，或其相對孔徑：第四十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一2.2人工變折射率拋物型聚光纖維，單根傳象第五十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一2.3強光變折射率非線性效應(yīng)n(I)在強光條件下(108W/cm2)，顯現(xiàn)!又當光束被限制于介質(zhì)棒中傳播時，發(fā)生衍射，其光強分布I(r)。于是有n(r)強光光學中的一個重要課題———強光與晶體介質(zhì)的相互作用在信息光學中，用于光存儲；“讀出”、“寫入”。左圖類似于凸透鏡；“自聚焦”；右圖類似于凹透鏡；“自散焦”第五十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一2.4光線方程特殊n(y):分層均勻介質(zhì)中的光線偏析，如圖：任意小弧元，微分線段ds,有即：第五十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一2.4光線方程注意到,和Snell定律，有：由初條件,求解微分方程，得y(x)曲線函數(shù)。光線方程的另一種形式(對上式再求導(dǎo)一次而獲得),

(二階微分方程)第五十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一2.4光線方程普遍，變折射率介質(zhì)n（r），n(x,y,z)取變量s，自然坐標，即廣義坐標，于是：求解r(s)軌跡方程，即光線方程。如同分析力學中的Hamilton方程，故稱謂：

變折射率光學·費馬光學·哈密頓光學第五十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期一2.4光線方程沙洲神泉的解是：其中：Note：雙曲余弦