2023年第2章 導數與微分總結

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦第2章導數與微分總結1基礎總結

1、極限的實質是：動而不達

導數的實質是：一個有邏輯商的極限。邏輯就是：0limxyx

?→??

2、導數的多種變式定義：

00000()()()()

lim

=limlimxxxxfxfxyfxxfxxxxx?→?→→-?+?-=??-

要注重精心觀看發(fā)覺，0

()()

lim

xfxxfxx

?→+?-?是描述趨近隨意x時的斜率。而

00

()()

lim

xxfxfxxx→--可以刻畫趨近詳細x0時的斜率。

3、

若x沒趨近到x0，那么除法得到的值是這段的平均斜率，假如趨近到了x0,得到的就是這點的斜率——導數。4、可導與延續(xù)的關系：

導數的實質是定義在某點的左右極限。既然定義在了某點上，該點自然存在，而且還得等于左右極限。因此，可導一定是延續(xù)的。反之，假如延續(xù)，不一定可導。不多說。同理，假如不延續(xù)，絕對某點要么無定義，要么定義點跳動跑了，絕對極限有可能存在，但是導數絕不會存在。

同理要注重左右導數的問題。假如存在左或者右導數，那么在左側該點一定是存在的。如：

(),0fxxx=≤=1,1,3

2)(23

xxxxxf在x=1處的右導數就不存在。但是

?

?

?>-≤=1,121,)(2

xxxxxf在x=1處的右導數就存在。

反函數存在的充要條件是原函數單調。要注重中自變量是什么。是)('1)('yxf?=

而不是)

('1

)('xxf?=一定要注重Tan，cot，sec，csc，arctan，arcsin，arccos，arccot導數都可以自己推倒出來。用的就是反函數的導數公式。

如：

)(11

)(sin11)cos(1)'sin(1)'arcsin(22舍掉負值xyyyx-=-===

axaaaxyyaln1

ln1)'(1)'(log=

==

假如哪個忘了，要能夠自己推導。

【回憶】牛頓二項式綻開∑=-=

+n

kkknknn

baCba0)(與萊布尼茨高階導形式類似。這一節(jié)就是練習給出f(x)求

)()(nxf。本節(jié)的題比較難。主要辦法是：

1歸納法。將)('xf，)(''xf求出收拾歸納出n階導數萊布尼茨公式求uv乘積的高階導數

2碰到一些求分數函數的高階導數的式子，普通就要先化簡。最好是想方法化成和的形式，再分離求高階導數。

3碰到三角函數的高階導數時，要把三角函數降階到1階再求。普通給出f(x)求)()(nxf需要綜合運用各種辦法才干算出來。如先化簡，再用歸納法，萊

布尼茨公式等。還有題是變量替換題。

例：設y=y(x)定義在（-1,1）上且二階可導，滿足方程0)1(2222

=+--yadx

dy

xdxydx，

做變量代換x=sint，證實0222=+yadt

y

d

證實：

dx

dytdtdxdxdydtdycos*==dxdytdtdxdydtdtdxdyt

ddt

ydsin)

(cos)(cos22

-==dx

dytdtdxdxydtsincos22-=dx

dyxdxydxdxdytdxydt--=-=22222

)1(sinsin-1）（帶入可證實結論。

求隱函數對x導數，要注重對y求導。例如y

ex=的導數為'1ye

y

*=

最好用

dxdy

辦法做，而不是用'y由于常用的'y是對x求導，假如現在對t求導，會不當心弄混。用dx

dy

可以顯見y對t還是x求導，不易出錯。固然，假如只是F（x，y）=0對x求

導，無中間量，還好，不會亂。

參數方程的導數應用dxdy，有3個條件才可以：??

?

??≠==??=0

)(')(),()(ttytxtx?ψ??③可導②反函數單調延續(xù)①

通過證實（需要自己會證實推倒），顯而易見這三個條件都要滿足。（實際應用中似乎沒啥用）。

本節(jié)題就是隱函數，參數函數的求導數，要在運算中時刻想著化簡，特殊是求某點的導數值時，更要是定值就代入，以便于便利后續(xù)運算。在運算時，還要記住綜合各種辦法，如對數求

導

法

總結起來就是：

x

x

f

dy?

=)

('

一定要注重有個x0，而不是x，這表示f’(x0)是一個與△x無關的常數。

x

x

f

x

f

x

x

f

y?

≈

-

?

+

=

?)

('

)

(

)

(

也要注重的是x0，而不是x。這個公式經常用來估算和證實。

△y=dy+o(dy)

△x=dx（嚴格來說，其實就是把△x寫成了dx，好似比較統一一樣，但△y一定要注重≠dy）詳細如圖：

dy△y

O(dy

如證實：sin(x)~x,當|x|<<1時。（其實即x0→0）

證實：∵△f(x0)=sin(x0+△x)-sin(x0)≈sin’(x0)△x

∴sin(x0+△x)≈sin(x0)+cos(x0)△x

令x=x0+△x

∴sin(x)≈sin(x0)+cos(x0)(x-x0)(注重：目的就是去掉式子里的△x)

∵|x|<<1

∴sin(x)≈sin(0)+cos(0)(x-0)=x

即當|x|<<1時，sin(x)≈x

證實詳細的更容易，如求sin(29)的近似值

∵sin(30-1)-sin(30)≈cos(30)*1°

∴sin(29)≈1/2+(√3/2)*π/180(角度必需轉換成弧度！公式是角度=角度*π/180,角度=弧度*180/π)

總習題2

設函數f(x)在x=a的某個鄰域內有定義，則f(x)在x=a處可導的一個充分條件是？（D）A存在

B

h

ha

f

h

a

f

h

)

(

)

2

(lim

+-

+

→

存在

C

h

ha

f

ha

f

h

2

)

(

)

(

lim

-

-

+

→

存在

D

h

ha

f

a

f

h

)(

)

(lim

--

→

存在

我覺得BC項可以通過改式來推導。例如C

hhafhafh2)

()(lim0

--+→=)('2*21

))()()()((212)()()()(limlimlim0

00afhafhafhafhafhhafafafhafhhh=+-+=--+-+→→→原來這個公式沒什么問題，但是f(a