整體剛度矩陣-結構力學課件

第十三

章矩陣位移法§13-1概述一、結構矩陣分析方法要點結構矩陣分析方法是電子計算機計算技術進入結構分析領域后，產(chǎn)生的一種結構計算方法。結構矩陣分析方法與傳統(tǒng)的結構分析方法原理上完全一致。但由于計算工具不同，作法上有所差異。傳統(tǒng)人工手算：速度低，精度差。忌繁重的計算工作量。電子計算機計算：速度快，精度高。忌無規(guī)律可循。學習結構矩陣分析，先修課為：1、結構力學（理論基礎）2、線性代數(shù)矩陣運算（建模工具）3、電算語言（機算方法）矩陣分析方法的理論基礎是傳統(tǒng)結構力學，說明結構矩陣方法與傳統(tǒng)結構力學同源。由于形成的年代和條件不同，引來了方法上的差異。因此，學習中我們應該注意，兩種方法的共同點和結構矩陣方法新的著眼點（矩陣符號的運用、坐標的引入、未知量的判斷與單元類型的關系、剛度集成的概念等）。矩陣運算用簡潔的符號代替?zhèn)鹘y(tǒng)的運算表達式，公式單一、緊湊、統(tǒng)一，便于計算機計算程序的自動化運算。

結構矩陣分析方法又稱為：桿件有限單元法；計算結構力學。包括：矩陣力法（柔度法）：以力法為基礎。矩陣位移法（剛度法）：以位移法為基礎。矩陣混合法，以混合法為基礎。矩陣位移法方法要點：（1）離散化（單元分析）：先把結構整體拆開，分成若干有限數(shù)目的單元體，進行單元分析。找出單元桿端力與桿端位移的關系，建立單元剛度方程。（2）集合（整體分析）：利用靜力平衡條件和變形協(xié)調條件，將各離散單元在結點上相互連接起來。使結點上的受力變形情況與原結構完全相同，進行整體分析。建立整體剛度方程。計算過程示意：由于位移法有其自身的優(yōu)點，易于實現(xiàn)計算過程的規(guī)格化和程序化，目前在工程界應用廣泛。故在此只介紹矩陣位移法。矩陣位移法與傳統(tǒng)位移法力學概念完全一致。其中：基本未知量：結構的獨立結點位移。基本體系：加上人為約束的動定結構?；痉匠蹋焊鶕?jù)結點（或截面）平衡條件和變形協(xié)調條件建立的剛度方程。二、需討論的問題：1、單元分析：在矩陣位移法中取何種單元，并找出各單元的桿端位移和桿端力之間的關系。2、整體分析：如何由單元分析直接集成整體分析。3、建立結構的剛度方程，求解并找出各桿端內力?！?3-2單元剛度矩陣（局部坐標系）單元分析的主要任務：研究單元桿端位移與桿端力之間的關系。推導方法：根據(jù)變形與力之間的物理關系，采用矩陣形式。一、單元的劃分桿系結構中，任何相鄰兩個結點之間的桿段都是一個桿件單元，一般采用等截面直桿單元。結點：

構造結點：桿件折轉點，交匯點，支承點，自由端，截面突變處等。非構造結點：集中荷載作用點；曲線桿件計算時，可將一個曲桿視為由許多折桿組成，其人為設定折點處。二、局部坐標系（單元坐標系、桿件坐標系）根據(jù)單元分析（桿件）與整體（結構）分析的不同需要，采用兩種直角坐標系。局部坐標系以桿軸為x軸，“1”為始端，“2”為終端。1

2為正方向。局部坐標系下所有量值的正負號規(guī)定：桿端位移和桿端力分量與局部坐標方向一致為正。xyEA,EI,l

e12xyEA,EI,l

e12xyEA,EI,l

e12xy12EA,EIl

eu1v1θ1u2v2θ2Fx1Fy1M1Fx2Fy1M2用{F}e代表單元的桿端力列向量:

e用{Δ}e代表單元的桿端位移列向量:

e(13-1）三、局部坐標中等截面直桿單元的單元剛度方程

1、推導過程如位移法，注意幾點：①重新規(guī)定正負號；②采用矩陣形式。等截面直桿單元，在變形過程中，忽略彎曲變形和軸向變形之間的相互影響。因此，在左右兩端各有三個獨立的位移分量（兩個線位移，一個角位移）。桿件共有六個桿端位移分量，相應的有六個桿端力分量。

單元剛度方程是指由單元桿端位移求單元桿端力時所建立的方程——記為“Δ→F

”方程。x12

eu1v1θ1u2v2θ2Fx1Fy1M1Fx2Fy1M2（１）軸向位移與軸向力EA

e12lu1eu2e1’2’Fex1Fex212EAl1’1ke=EA/l11ke=-EA/l2112EAl12’ke=EA/l22ke=-EA/l12Fe=x2EAl-ue1ue2ue2Fe=x1EAlue1(13-2)（

）（

）（2）橫向位移、轉角位移與桿端力12EIl36EIl2v1e=1-12EIl36EIl2θ1e=14EIl2EIl6EIl2-6EIl2v2e=112EIl3-12EIl3-6EIl2-6EIl24EIl2EIl-6EIl26EIl2

e

e

e

eθ2e=1θ

e1Fe=y112EIl3ve+16EIl2θ

e212EIl3ve+26EIl2θ

e1Me=16EIl2ve+14EIlθ

e26EIl2ve+22EIl

θ

e+1Fe=y212EIl3ve16EIl2θ

e212EIl3ve26EIl2θ

e1Me=26EIl2ve+12EIlθ

e26EIl2ve+24EIl(13-3)由此可得：ue2Fe=x1EAlue1（

）Fe=x2EAl+ue1ue2（

）θ

e1Fe=y112EIl3ve+16EIl2θ

e212EIl3ve+26EIl2θ

e1Me=16EIl2ve+14EIlθ

e26EIl2ve+22EIl

θ

e+1Fe=y212EIl3ve16EIl2θ

e212EIl3ve26EIl2θ

e1Me=26EIl2ve+12EIlθ

e26EIl2ve+24EIl（13-4）令：式（13-4）可簡寫為:

{F}e=[k]e{Δ}e(13-5)稱為一般桿單元在局部坐標系中的單元剛度矩陣。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、單元剛度矩陣的性質（1）桿端位移一律用絕對位移。即：除桿端相對位移外，還包含有剛體位移。（請比較位移法）

（2）單元剛度矩陣中，各單元剛度系數(shù)的物理意義：

ke(i)(j)—第j個桿端位移分量Δ

e(j)=1時，（其它位移分量為零）所引起的第i個桿端力分量Fe(i)的值。j列的六個元素分別表示當某個桿端位移分量等于1時，所引起的六個桿端力分量。

（3）、是對稱矩陣。各個元素在主對角線兩側是對稱分布的。由反力互等定理可知，單元剛度矩陣是對稱矩陣。（4）、一般(自由)單元的單剛[k]e6×6是奇異矩陣。即：[k]e6×6=0

[k]e6×6不存在逆矩陣。

注意：根據(jù)單元剛度矩陣，可由{Δ}e求出{F}e

，且解是唯一的。但不可由{F}e求{Δ}e

，其結果可能無解或非唯一解。這是正反兩個問題，不可混淆。

解釋：一般單元的單元剛度矩陣之所以為奇異矩陣，是因為計算的單元是兩端無任何支承的自由單元。單元本身除彈性變形外，還有任意的剛體位移。{F}e完全一樣，但{Δ}e可以不同。對應于一個平衡力系，可以有多種桿端位移情況。（5）單元剛度矩陣可以分塊以平面剛架單元為例，單元ij

兩端點i、j的位移分量和力的分量可表示為：{Δ1}e=φ

e1ue1ve1{Δ2}e=φ

e2ue2ve2{F1}e=M

e1Fex1Fey1{F2}e=M

e2Fex2Fey2則（13-5）式可寫為：Fe1Fe2=ke11ke12ke21ke22δ

e1δe2式中稱為單元剛度矩陣的子塊，或簡稱為子矩陣。[k]

eij5、特殊單元（包括某些支承的單元）一般來說，特殊單元的單元剛度矩陣無需另行推導，只需對一般單元的單元剛度（矩陣）方程，做一些特殊處理，便可自動得到。

（1）梁單元：只考慮桿件的彎曲變形，忽略其軸向變形。

v1、θ1、v2、θ2為任意指定值；

u1=u2=0。（注：u1=u2=0

在此是指1、2兩點無相對軸向變形）梁單元的剛度方程－(2)拉壓桿（桁架）單元（3）連續(xù)梁單元的剛度方程桿端橫向位移已知為零，忽略軸向變形。為任意指定值，θ1、θ2u1=u2=0，v1=v2=0。注：②、還有多種特殊單元的單元剛度矩陣。在此不一一列舉。用矩陣位移法分析結構時，著重應注意計算過程的程序化，標準化。因此，一般情況下，單元計算分析只采用一種標準化形式——一般單元的單元剛度矩陣[k]e6×6。①、某些特殊單元的單元剛度矩陣是可逆的，如連梁單元的單元剛度矩陣[k]e2×2。是否存在，關鍵取決于力學模型。§13-3單元剛度矩陣(整體坐標系)在實際結構中，桿件的桿軸方向不盡相同。用局部坐標表示的單元剛度矩陣，整體分析時不方便。為進行整體分析，必須建立一個統(tǒng)一的公用坐標系，稱為整體坐標系。也稱結構坐標系、公共坐標系。用x—y表示，從x到y(tǒng)順時針為正，坐標原點任取。注意：這里α——由x軸到軸的夾角，順時針為正。x為了進行整體分析，需將局部坐標系下的單元剛度矩陣轉換為整體坐標系下的單元剛度矩陣[k]e6×6。求[k]e6×6的方法：①、直接按定義求。②、通過坐標轉換，由[k]e6×6找出[k]e6×6。①②③④x②x①x③x④OyxyxO12eαyxO12eα一、單元坐標轉換矩陣(13-6)寫成矩陣形式：(13-7)或簡寫成：(13-8)式中[

T]稱為單元坐標轉換矩陣(13-9)可以證明:

[

T]

是正交矩陣，有：[

T]-1=[T]T(13-10)

或[T][T]T=[T]T[T]

=[I](13-11)

正交矩陣的逆矩陣等于它的轉置矩陣。式（13-8）的逆轉換式為：{F}e=[T]T

{F}e（13-12）同理可得出單元桿端位移在兩種坐標系中的轉換關系。

{Δ}e=[T]{Δ}{Δ}e=[T]T{Δ}{Δ}e——整體坐標系中單元桿端位移列陣。{Δ}e——局部坐標系中單元桿端位移列陣。二、整體坐標系中的單元剛度矩陣

{F}e=[k]e

{Δ}e

（13-13）將{F}e=[T]e{F}e,

{Δ}e=[T]e{Δ}e已知：{F}e=[k]e{Δ}e

代入，得：[T]e{F}e=[k]e[T]e{Δ}e

上式前乘[T]T

[T]T[T]e{F}e=[T]T[k]e[T]e{Δ}e

{F}e=[T]T[k]e[T]e{δ}e

因此：[k]e=[T]T[k]e[T]e(13-14)單元剛度矩陣[k]e的性質：（1）理解單元剛度矩陣中各元素keij的物理意義。表示在整體坐標系中第j個桿端位移分量等于1時引起的第i個桿端力分量。（2）[k]e是對稱矩陣。keij

=keji

（3）keij是E、A、I、L、α的函數(shù)，α本身有正負。（4）一般單元的單元剛度矩陣[k]e是奇異矩陣。例：求圖示剛架中各單元在整體坐標系中的單元剛度矩陣，設各桿截面尺寸相同。

E=3×107kN/m2，A=b×h=0.5×1.0=0.5m2，I=b×h3/12=0.5×1.03/12=1/24m4。①②③xy（1）、局部坐標系中的單元剛度矩陣：單元①：

l=4m,EA/l=3750×103kN/m,EI/l=312.5×103kN·m,

單元②：l=3m,EA/l=5000×103kN/m,EI/l=416.7×103kN·m.單元③：

l=5m,EA/l=3000×103kN/m,EI/l=250×103kN·m.(2)整體坐標系中的單元剛度矩陣：單元①：α=0o,[T]

=[I],[k]=[k]

。單元②:α=90o,

[k]

=[T]T[k]

[T]

111222①②③xyα=90o的單元的單元剛度矩陣：單元③：α為負，其中：

sinα=-3/5=-0.6

cos

α=4/5=0.8①②③xy§13-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣矩陣位移法是在單元分析的基礎上,利用平衡條件和變形協(xié)調條件建立結構剛度方程。同時，也就得出了結構的剛度矩陣。下面以連續(xù)梁為例，研究結構整體剛度矩陣的形成規(guī)律。以找出直接形成結構剛度矩陣的方法。

建立整體剛度矩陣（方程）的作法一般有兩種：

一、傳統(tǒng)位移法；二、單元集成法。（也稱剛度集成法，直接剛度法）整體剛度矩陣（方程）[K]{Δ

}={F}一、傳統(tǒng)作法分別考慮每個結點位移單獨發(fā)生，在各人為約束上產(chǎn)生的結點力，疊加后得到各單元剛度方程（矩陣）。以下圖為例，結點位移：{⊿}=[⊿1⊿2⊿3

]T

結點力：{

F}=[F1F2F3

]T

12i1i2Δ121i1i2Δ3Δ2Δ121i1i2Δ221i1i2Δ321i1i2基本體系Δ1引起Δ2引起Δ3引起疊加以上三種情況，得整體剛度方程：{F}=[K]{⊿}其中：[K]——整體剛度矩陣。它表示了結構的結點位移和結點力之間的轉換關系。二、單元集成法的力學模型及概念單元集成法：分別考慮每個單元對{F}的單獨貢獻，然后疊加。以下圖為例，力學模型：（1）首先考慮單元①的貢獻。略去其它單元的貢獻，令i2=0，此時單元②的剛度為零。即：單元②雖有變形，但不產(chǎn)生結點力。整個結構的結點力均由單元①單獨貢獻。

{F}1=[F11F21F31]T表示單元①對結構結點力{F}的貢獻。（注意此時三個轉角同時發(fā)生）故得：Δ121i1i2=0Δ3Δ2由于i2=0，所以F31=0。F11,

F21可由單元①的單剛[k]1算出。單元①的貢獻{F}1=[K]1{⊿}其中：[K]1——單元①對整體剛度矩陣的貢獻。稱為單元①的貢獻矩陣。

考慮單元②的貢獻。略去其它單元的貢獻，令i1=0，此時單元①的剛度為零。F12=0。F22,

F32可由單元②的單剛[

k]2算出。故:Δ2Δ121i2i1=0Δ3F12F22F32記為:{F}2=[K]2{⊿}其中:[K]2——單元②對整體剛度矩陣的貢獻。稱為單元②的貢獻矩陣。[K]1

和[K]2為同階矩陣。[K]e由[k]e的元素及零元素組成。將上兩式疊加：{F}={F}1+{F}2=（[K]1+[K]2）{⊿}可見：[K]=[K]1+[K]2=∑[K]e（13-34）

結構整體剛度矩陣（總剛）為各單元貢獻矩陣之和。單元集成法步驟：

[k]e分別

[K]e疊加[

K]

用上述方法，第一步由[k]e求[

K]e，第二步由[K]e疊加求[K]。三、按照單元定位向量由[k]e直接求[K]（1）結點位移（或結點力）的兩種編碼?？偞a：整體分析中，結點位移分量在結構中的統(tǒng)一編碼。局部碼：單元分析中，每個單元兩個結點位移的各自編碼。數(shù)字上加括號。21i1i23121i12i2（2）（1）（2）（1）（2）單元位移分量兩種編碼之間的關系。單元定位向量{λ}e—單元換碼向量。指由單元的結點位移總碼組成的向量。單元①：（1）總碼局部碼

（2）（1）

→

1（2）

→

2{λ}1

=12（1）（2）（1）

→

2（2）

→

3{λ}2

=23單元②：（3）單元[k]e在[K]e中的排列方式單元剛度矩陣[k]e中，元素按局部碼排列。單元貢獻矩陣[K]e中，元素按總碼“對號入座”。

ke(i)(j)在整體剛度矩陣中的位置

ke(i)(j)在單元剛度矩陣中在單元貢獻矩陣中換碼元素的原行碼（i）換成新行碼λi

原列碼（j）新列碼λj重排座原排在（i）行改排在λi行λj列（j）列的元素

ke(i)(j)→eKλiλj四、單元集成法的實施方案（1）[K]置零[K]3×3=12312300000000021i1i2312（2）[

k]1在[K]中按{λ}1定位，并進行累加。這時[

K]=[K]1。4i12i12i14i1[k]1=整體局部（1）（2）（1）（2）1212階段結果4i12i102i1

4i1

0000（3）[

k]2在[K]中按{λ}2定位，并進行累加。這時[

K]=[K]1+[K]2。4i22i22i24i2[k]2=整體局部（1）（2）（1）（2）2323最終結果4i12i12i14i1+004i22i22i24i2123123故：[K]=∑[K]e

對號入座，同號疊加。例：求圖示連續(xù)梁的總剛度矩陣[K]1230①②③i1i2i31230①②③i1i2i3Δ1Δ2Δ3Δ0解：1、結點位移分量總碼，分別編為1，2，3。注：固定端的結點位移為零，凡是已知的結點位移分量，其總碼編為零。為了使所有單元均為連續(xù)梁單元，1點的轉角位移作為基本未知量。2、寫出各單元的單元定位向量。{λ}1=121230①②③i1i2i3Δ1Δ2Δ3Δ0{λ}2=23{λ}3=303、單元集成過程。[k]e

→

[K]4i12i12i14i1[k]1=整體局部（1）（2）（1）（2）12124i12i12i14i1[k]1=121

24i22i22i24i2[k]2=232

34i32i32i34i3[k]3=303

0[K]=

1231234i12i12i14i12i24i2+4i22i2+4i3001230①②③i1i2i3Δ1Δ2Δ3Δ0五、整體（總）剛度矩陣的性質

（1）整體剛度矩陣中剛度系數(shù)的意義

Kij—第j個結點位移分量⊿j=1（其它結點位移分量為零）時，所產(chǎn)生的第i個結點力Fi。（2）[K]是對稱正定矩陣。對稱性：由反力互等定理

Kij

=Kji

正定性：考慮結構邊界條件的結構總剛度矩陣是正定矩陣。

由矩陣理論：①n階方陣的各階（1、2、…、n階）主子式都大于零，此方陣為正定矩陣。如[A]n×n。②線性方程組：[A]{x}={B}

不論{x}為何值，均有：{x}T[A]{x}﹥0

則：[A]為正定矩陣。經(jīng)驗證：[

K]滿足以上兩條。是正定矩陣。

（3）按本節(jié)方法計算連續(xù)梁時，[K]是可逆矩陣，即[K]-1存在?？紤]結構邊界條件所建立的總剛度矩陣[K]，是非奇異矩陣。（4）[K]是稀疏矩陣和帶狀矩陣。①稀疏性：某結點位移單獨發(fā)生時，只有相關結點產(chǎn)生非零系數(shù)（結點力），非相關結點，不產(chǎn)生剛度系數(shù)（結點力）。大型結構中，整體剛度矩陣里零元素大大多于非零元素。②帶狀矩陣：整體剛度矩陣中非零元素集中在以主對角線為中心的斜帶狀區(qū)域內。（大量零元素遠離主對角線）稱為“帶狀矩陣”。結構計算時，若結點編號恰當（即，各相關單元結點號盡量靠近），則[K]呈帶狀。7123456§13-5剛架的整體剛度矩陣用單元集成法形成平面剛架的整體剛度矩陣[K]，思路同連續(xù)梁，但情況較之連續(xù)梁復雜。其復雜性包括如下幾個方面：（1）、剛架中各桿方向不盡相同，要進行坐標轉換。（2）、在一般情況下，考慮桿件的軸向變形，每個結點的結點位移分量增加為三個。忽略軸向變形作為特殊情況處理。（3）、剛架中不僅有剛結點，還可能有鉸結點、組合結點、自由結點等。1、結點位移分量的統(tǒng)一編碼——總碼本書采用先處理法。（1）一般情況：剛結點有三個獨立的結點位移未知量。順序依次編碼：水平線位移——1方向豎向線位移——2方向轉角位移——3方向（2）支座結點對于已知的結點位移分量，總碼均編為零碼（先處理法）。ABCxy①②000123004如圖：{⊿}=[⊿1⊿2⊿3⊿4

]T

=[uAvAθ

AθC]T{F}=[F1F2F3F4

]T（3）結點編號原則結點位移分量編碼前，應先進行結點編號，以便結點位移排序。原則：各相關結點位移應盡量接近，使總剛度矩陣各元素呈帶狀分布。

相關結點：結點本身以及匯交于該結點的各單元的另一端結點。ABCxy①②000123004（4）結點位移編碼的方法(計算機)

①直接法：根據(jù)各結點的可能位移情況，直接寫出各結點位移碼。其中：已知位移分量：一律編“0”碼；未知位移分量：依次編“1，2，3，…，n”碼。②間接法：先對結點編號，有結點編號換算結點位移碼。對于結構的特殊結點（如鉸結點、組合結點、支座結點等）給出信息，進行換算。（5）鉸結點（組合結點）的處理由于計算中一律采用一般單元進行分析，所以應將鉸結點視為半獨立結點。如左圖中C結點，可視為兩個半獨立結點（C1，C2）。線位移相同（同碼，不獨立）；角位移不同（異碼，獨立）。鉸結點聯(lián)系幾根受彎桿，則可視為幾個半獨立結點。xy①②00123ABC1C2D③0456457000(0,0,0)(0,0,0)(4,5,7)(4,5,6)(1,2,3)ABCxy①②000123004(0,0.0)(0,0,4)(1,2,3)ABC①②000123004123(1)(6)(5)(4)(3)(2)A(1)(2)(3)(4)(5)(6)2、單元定位向量{λ}e結點位移與桿端位移之間的對應關系。{λ}1=（

123004

）T整體局部（1）（2）（3）（4）（5）（6）B②000123A(1)(2)(3)(4)(5)(6)結點位移與桿端位移之間的對應關系。{λ}1=（

123004

）T整體局部（1）（2）（3）（4）（5）（6）ABCxy①②000123004(0,0.0)(0,0,4)(1,2,3)AC①004123(1)(6)(5)(4)(3)(2){λ}2=（

123000

）T整體局部（1）（2）（3）（4）（5）（6）3、單元集成過程m按單元順序①、②、…、

集成。整體剛度矩陣[K]中元素：s—⊿j所在結點的相關單元總數(shù)。任一結點位移相應的剛度系數(shù)=匯交于該結點的各相關單元剛度系數(shù)之和。因此，以后集成[K]時，階段結果可不寫出，而直接對號入座，同號疊加形成[K]。注：（1）采用單元集成法集成整體剛度矩陣的過程為：建立坐標（局部、整體）；單元編號；結點編號，結點位移編碼。邊定位邊累加

[K]e

（2）進行整體分析時，有“先處理”和“后處理”兩種方法。先處理：形成整體剛度矩陣時，先根據(jù)結構的邊界支承條件進行處理，已知位移編碼“0”。形成的[K]為正定非奇異矩陣。后處理：集成整體剛度矩陣時，先不考慮結構的邊界支承條件，已知位移與未知結點位移順序編碼。形成的整體剛度矩陣稱為原始總剛度矩陣[K]0，為奇異矩陣。然后考慮支承條件進行處理。（4）、以上推導整體剛度矩陣的方法為單元集成法，也稱“靜力法”。也可用其他方法推導整體剛度矩陣，如“能量法”等。同學們可考慮，在計算連續(xù)梁，桁架，組合結構時應如何處理？（3）、矩陣位移法中，為運算的程序化和通用化，在單元（桿件）分析時，一律采用一般單元，即單元剛度矩陣采用[k]e6×6。使桿件分析整齊劃一。例：試求圖示結構的整體剛度矩陣[K]l=5m,A=b×h=0.5m2.I=1/24m4.E=3×107kN/m2.EA/l=300×104,EI/l=25×104.解：（1）單元編號，結點位移分量編碼；建立坐標。ABCxy①②000123004(0,0.0)(0,0,4)(1,2,3)（2）局部坐標系中的單元剛度矩陣[k]e6×6。ABCxy①②(0,0.0)(0,0,4)(1,2,3)（3）寫出整體坐標系中的單元剛度矩陣[k]e6×6。單元①：α=0，[k]1=[k]1。ABCxy①②(0,0.0)(0,0,4)(1,2,3)局（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）總123004123004①xy1CA(6)(1)(2)(3)(4)(5)23004單元②

：α=90o

。ABCxy①②(0,0.0)(0,0,4)(1,2,3)局（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）總123000123000（4）單元定位向量在（3）中已寫出。xy1BA(6)(1)(2)(3)(4)(5)23004②（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）123004123004（5）對號入座，形成整體剛度矩陣“對號入座”[K]4×4階段結果（1）（2）（3）（6）12341

2

3

4（1）（2）（3）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）123000123000[K]4×4=12341

2

3

4（1）（2）（3）（1）（2）（3）結構整體剛度矩陣：

3120-300[K]=104×03123030-30302003003050100ABCxy①②(0,0.0)(0,0,4)(1,2,3)例：試求圖示結構的整體剛度矩陣[K]l=5m,A=b×h=0.5m2，I=1/24m4，E=3×107kN/m2，EA/l=300×104，EI/l=25×104。解：（1）單元編號，結點位移分量編碼；建立坐標。12345(0,0,1)(2,3,4)(5,6,7)(5,6,8)(0,0,0)①②③xy（2）單元剛度矩[k]e6×6

因為各桿E、A、I、l相同，均有：12EI/l3=12×104，6EI/l2=30×104，4EI/l=100×104，2EI/l=50×104，EA/l=300×104。局（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）總23456723456712345(0,0,1)(2,3,4)(5,6,7)(5,6,8)(0,0,0)①②③xy①xy232(6)(1)(2)(3)(4)(5)3456712345(0,0,1)(2,3,4)(5,6,7)(5,6,8)(0,0,0)①②③xy局（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）②234001234001③56800056

8

0

00xy212(6)(1)(2)(3)(4)(5)34001②xy554(6)(1)(2)(3)(4)(5)68000③（3）整體剛度矩陣[K]

100-300500000-30300+120-30-3000000012+300300-12300[K]=50-3030100+1000-30500×1040-30000300+1200-3000-12-30012+300-3000030500-3010000000-3000100

1234567812345678§13-6等效結點荷載一、位移法基本方程（1）設荷載單獨作用（結點位移設為零），在基本體系中引起結點約束力，記為{FP}。（2）設結點位移{⊿}單獨作用，在基本體系中引起結點約束力，記為{F}=[K]{⊿}

位移法基本方程：{F}+{FP}={0}

即：[K]{⊿}+{FP}={0}二、等效結點荷載的概念

結構上的荷載可以是結點荷載，也可以是非結點荷載，或兩種荷載的組合。在矩陣位移法中，需將原結構上的荷載均轉換成為等效結點荷載{P}。

等效原則：原荷載與等效荷載在基本體系中產(chǎn)生相同的結點約束力。結點結束力——{FP}結點結束力——{FP}等效結點荷載{P}原荷載矩陣位移法中：{P}=-{FP}（13-15）位移法基本方程：[

K]n×n{⊿}n×1={P}n×1（13-16）

即：結點位移引起的結點力=荷載（或其他外因）引起的結點力。

三、按單元集成法求整體結構的等效結點荷載一般單元的固端約束力向量：{FP}e=(FxP1FyP1MP1FxP2Fy

P2MP2)T（13-17）可查表（13-3）。

1、單元等效結點荷載{P}e6×1（在局部坐標系下，由單元非結點荷載引起，不包括結點荷載）。12eFxP1FyP1MP1FxP2FyP3MP2q(x)查表（13-3）時，應注意：

（1）注意局部坐標方向，q

與x,y方向一致時為正值。（2）表（13-3）給出的均為一般單元的固端力，為什么可以這樣給？將固端約束力矩陣{FP}e反號，即得單元等效結點荷載列陣{P}e。{P}e=-{FP}e

（13-18）2、單元等效結點荷載列陣（結構坐標下）{P}e

=[

T]T{P}e（13-19）

3、整體結構的等效結點荷載矩陣{P}n×1

依次將每個單元{P}e中的元素按單元定位向量{λ}e在{P}n×1中定位(對號入座)，并累加成為{P}n×1

。{P}n×1

{λ}e

對號入座{P}e1112xy12348kN4.8kN/mABC5m2.5m2.5m單元1:單元2:121210-10+4+0-512222注：（1）結構上有結點荷載：可直接進入{P}n×1

，按相應的結點編碼寫到{P}n×1中的相應位置上。結點荷載不屬于任何單元。{P}8×1

=0FP2FP1M10FP30M212345(0,0,1)(2,3,4)(5,6,7)(5,6,8)(0,0,0)①②③xyFP1FP2M1FP3M212345678

（2）非結點荷載①斜桿問：右圖應如何計算？12FPsinα12FPcos

α12FPαxeαq12l②多種橫向荷載——分別查表，然后疊加。③表中未列，等效變換。12eqla12eq12eq例：求圖示剛架在給定荷載作用下的等效結

點荷載矩陣{P}解:1、單元編碼。建立坐標；結點位移編碼。2、求局部坐標中的固端力矩陣{FP}e。單元①：由表13-3FxP1=0FxP2=0FyP1=-ql/2=-4.8×5/2=-12kNFyP2=-12kN12341232.5m5m5m2.5mxy5kN·m8kN10kN4.8kN/m(0,0,0)(1,0,2)(3,4,5)(0,6,0)MP1

=-ql2/12=-4.8×5×5/12=-10kN·mMP2

=+ql2/12=10kN·m14.8kN/m5mFxP1FyP1MP1FxP2FyP2MP2{FP}1=FxP1=0FxP2=0FyP1=-ql/2=-4.8×5/2=-12kNFyP2=-12kN0-12-100-1210q=4.8kN/m單元③：由表13-3MP1

=ql/8=8×5/8=5kN·mMP2

=-ql/8=-5kN·mFxP1=0FxP2=0FyP1=q/2=8/2=4kNFyP2=4kN{FP}3=038kNFxP1FyP1MP1FxP2FyP2MP2044-55q=-8kN3、求整體坐標中的等效結點荷載矩陣

{P}e，并寫出單元定位矩陣{λ}e公式{P}e

=-{FP}e{P}e

=[T]T{P}e

=-[T]T{FP}e單元①：由圖可見α=0o{P}1=102345

（1）（2）（3）（4）（5）12341232.5m5m5m2.5mxy5kN·m8kN10kN4.8kN/m(0,0,0)(1,0,2)(3,4,5)(0,6,0)14.8kN/m5mFxP1FyP1MP1FxP2FyP2MP2102345

01210012-10{P}1

=-{FP}1=（6）單元③：α=900{P}3

=-{FP}3

=-[T]T{FP}3=12341232.5m5m5m2.5mxy5kN·m8kN10kN4.8kN/m(0,0,0)(1,0,2)(3,4,5)(0,6,0)38kNFxP1FyP1MP1FxP2FyP2MP2345000345000手算時，也可直接寫：{P}3

=-{FP}338kNFxP1FyP1MP1FxP2FyP2MP2yxxy3450004、求剛架的等效結點荷載矩陣{P}6×1單元③12341232.5m5m5m2.5mxy5kN·m8kN10kN4.8kN/m(0,0,0)(1,0,2)(3,4,5)(0,6,0)結點荷載單元①123456§13-7計算步驟及算例一、用矩陣位移法計算平面剛架的步驟1、整理原始數(shù)據(jù)。對單元和整體剛架進行局部和總體編碼（確定未知量矩陣{⊿}n×1）。建立坐標系。2、利用式（13-6）形成局部坐標系下的單元剛度矩陣[k]e,3、形成整體坐標系下的單元剛度矩陣[k]e

，[k]e

=[T]T[k]e

[

T]e，并寫出單元定位向量{λ}e

。4、用單元集成法形成整體剛度矩陣[K]n×n。5、求局部坐標中的單元等效結點荷載矩陣{P}e

，由{P}e

=-{FP}e=-[T]T{FP}e求整體坐標系的單元等效結點荷載矩陣{P}e

。6、用單元集成法集成整體結構的等效結點荷載矩陣{P}n×1。7、解方程[K]{⊿}={P}，求出{⊿}。

8、求各桿桿端內力｛Ｆ}e。二、解方程，求｛⊿｝n×1手算：n≤4，用線性方程組的一般解法求結點位移矩陣｛⊿｝n×1，如用逆矩陣法：{⊿}=[

K]－１{P}。

電算：n＞4，可用直接法或迭代法，求解線性代數(shù)方程組。直接法——高斯消去法；對稱分解法；直接三角分解法；變帶一維存儲的LDLT分解法。等。

迭代法——簡化迭代法；塞得爾迭代法。等。桿端力（內力）：桿件坐標中的桿端力用{Ｆ}e表示。{Ｆ}e

＝{Ｆd}e

＋

{ＦP}e

桿端位移引起的桿端力各桿的固端約束力剛架在等效結點荷載作用下的桿端力三、求單元桿端力矩陣{Ｆ}e4123FP1FP2M14123FP1FP2M1123(0,0,0)(1,2,3)(4,5,6)(0,0,0)已求出結點位移矩陣{⊿}。{⊿}=[⊿1⊿2⊿3⊿4

⊿5⊿6]T由此可求出各桿端力矩陣{F}e

{F}e=[k]e

{⊿}e+{FP}eFP1FP24123FP1FP2M1123(0,0,0)(1,2,3)(4,5,6)(0,0,0)222Fx1Fy1M1Fx2Fy2M2{F}e=[k]e

{⊿}e+{FP}e本教材作法，先求出：{F}e=[k]e{⊿}e+{FP}e再由下式求出{F}e{F}e=

[T]e{F}e2①0001231(1)(2)(3)(4)(5)(6)yx4123FP1FP2M1123(0,0,0)(1,2,3)(4,5,6)(0,0,0)

⊿1

⊿2{⊿}

1=

⊿3

000

⊿1

⊿2{⊿}

2=

⊿3

⊿4⊿5⊿6

⊿4

⊿5{⊿}

3=

⊿6

0

0

0如圖：對于正交剛架（只有水平和豎直桿件）豎桿的桿端位移矩陣{⊿}e很好找

⊿2

-

⊿1{⊿}

1=

⊿3

000yx2①1(1)(2)(3)(4)(5)(6)xy4123FP1FP2M1123(0,0,0)(1,2,3)(4,5,6)(0,0,0)（-

⊿1）（⊿2）（⊿3）000注：

用上述公式計算出的桿端力，其正負號與局部坐標軸的正方向一致。其中，F(xiàn)(1)e、F(2)e與傳統(tǒng)的軸力FN1，剪力FQ1的正負號相反。因此，在作內力圖時，應修正。12

exyF(1)eF(2)eF(3)eF(4)eF(5)eF(6)e算例：解：

1、原始數(shù)據(jù)整理，建立坐標系；單元編號；結點編號；結點位移編碼。柱：A1=0.5mI1=1/24m4l1=6mDABCA1I1A2I212m6m1kN/mA1I1DABCyx①②③(1,2,3)(4,5,6)(0,0,0)(0,0,0)梁：A2=0.63m，I2=1/12m4，l2=12m。2、形成[k]e6×63、計算整體坐標下的單元剛度矩[k]e6×6單元①、③（α=90o）010000-100000[T]=001000000010000-100000001[k]1=[k]3=[T]T[k]1[T]=

2.310-6.94-2.310-6.94083.300-83.30=10-3-6.94027.86.94013.9-2.3106.942.3106.940-83