2022-2023學(xué)年江蘇省宿遷高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期入學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年江蘇省宿遷市高二下學(xué)期入學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知，過(guò)4（1,1）、B（i,一3）兩點(diǎn)的直線與過(guò)q—3,機(jī)）、。（〃,2）兩點(diǎn)的直線互相垂直，則點(diǎn)

（機(jī)，”）有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

【答案】D

【詳解】???由條件知過(guò)力（1,1）,5（1,一3）兩點(diǎn)的直線的斜率不存在，而.次0=0,即

2-m

〃+3=0,得加=2,3,???點(diǎn)（加,〃）有無(wú)數(shù)個(gè).

2.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出了圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)

定點(diǎn)A、B距離之比是常數(shù)4（2>0"*1）的點(diǎn)M的軌跡是圓.若兩定點(diǎn)A、8的距離為3,動(dòng)點(diǎn)

"滿足|2]MB|,則加點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為.

A.nB.2萬(wàn)C.3nD.而

【答案】D

【分析】以《為原點(diǎn)，直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，首先確定圓的方程，然后確定其面積

即可.

【詳解】以4為原點(diǎn)，直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則8（3,0）設(shè)"（三?。?，

依題意有，Jdf,

22

化簡(jiǎn)整理得，x+y-Sx+l2=0）

即（X-4）2+/=4,

則圓的面積為4萬(wàn).

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程求解、圓的面積的求解等知識(shí)，屬于中等題.

3.設(shè)尸是橢圓C：/+石=1°>"）上任意一點(diǎn)，尸為C的右焦點(diǎn)，歸川的最小值為收，則橢

圓C的離心率為（）

]也正交

A.2B.2C.2D.3

【答案】A

【分析】依據(jù)題意得到。-。=血，然后根據(jù)〃=。2-。2得到。+C=3近，最后簡(jiǎn)單計(jì)算即可.

【詳解】由題意可得…=伉/=/_c2=(a+c)(a-c)=^(a+c)=6,

c=」=1

所以a+c=3后，所以。=2及，c=所以離心率2五2

故選:4

4.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸

長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)與，鳥(niǎo)均在X軸上，C的面積為2石兀，且短軸長(zhǎng)為2石，

則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

^+/=1《+匚1二+匚1二+匚1

A.12-B.43C.34D.163

【答案】B

【分析】根據(jù)“逼近法”求橢圓的面積公式，及短軸長(zhǎng)為26，即可求得0，6的值，進(jìn)而由焦點(diǎn)在

x軸上可得C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

八2扃

an=----,

.兀

【詳解】由題意可得［2'=

解得"2,b=E,

"-1

因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在X軸上，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為43.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)文化，橢圓的幾何性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程求法，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知數(shù)列｛""｝為等差數(shù)列，則下列數(shù)列一定為等比數(shù)列的是()

A.&｝B.他"」C.｛端｝D.I/

【答案】A

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷.

【詳解】設(shè)｛"/的公差是“，即為+「%=”,

=2d

顯然2"r0,且2%一是常數(shù)，{2'"}是等比數(shù)列,

若凡中一個(gè)為1,則他與二°,則不是等比數(shù)列,

1

只要dwO,{<},%都不可能是等比數(shù)列，如%n.

故選：A.

6.“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形''早了300多年.如圖所示的是

由“楊輝三角''拓展而成的三角形數(shù)陣，圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,…構(gòu)成數(shù)列記"為該

數(shù)列的第〃項(xiàng)，貝()

1

11

121,,

133/1

146/41

1510/1051

A.2016B.4032C.2020D.4040

【答案】A

【分析】通過(guò)觀察法可得川一”〃=〃+l(“eN*),再利用累加法求出通項(xiàng)公式即可計(jì)算%的值.

【詳解】依題意，%-％=2,%一%=3,%-%=4,于是有/=〃+l(〃￡N*),

e,,%=卬+（&-卬）+（%-生）+一.+（。“-4,1）=1+2+3+???+〃=---,_

則當(dāng)〃22時(shí)，2,而a1滿足上

a

式，因此，"~2

63x64

2016

所以2

故選：A.

,—―/（”2Ax）-/（x°）=

7.己知/（X）是函數(shù)〃x）的導(dǎo)函數(shù)，若/'（/）=4,則—Ax（）

A.-2B.2C.-8D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義，即可求解

LIM/(XO-2AX)-/(X。);_)im/1%)-/&-2狗二_2Hm

-TOAX-0-1-c2A人x加一。2AX

【詳解】2

=-2,r（x?）=-8

故選：c

/（x）=—4

8.函數(shù)/在點(diǎn)12J處的切線與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積是（）

39

A.12B.9C.4D.2

【答案】D

【分析】先利用/（X）的導(dǎo)函數(shù)求出切線的斜率，即可求出解析式，即可求出截距，最后求出面積.

rf-|=-16jv-4=-16-|x--I

【詳解】由題，./，V2J，所以切線為I2人整理得

313…9

__x_x12=_

y=-16x+12（易得切線的截距為4和12,圍成的圖形為直角三角形，故所求面積為24-2,

故選：D

二、多選題

9.下列說(shuō)法中不正確的是（）

A.直線與y軸交于一點(diǎn)8（0M,其中截距a

y-2_4

B.過(guò)點(diǎn)00,2）,且斜率為4的直線方程為二一

x.y1

C.在x軸和y軸上的截距分別為。與6的直線方程是ab

D.方程（*2—乂）=（%—%）（'—王）表示過(guò)點(diǎn)片（X|，M）,6（*2，%）的直線

【答案】ABC

【分析】對(duì)A,由截距可以為負(fù)判斷；對(duì)B,直線不包括點(diǎn)尸42）；

對(duì)C,直線不包括截距為0的情況；對(duì)D,方程為兩點(diǎn)式方程的變形.

【詳解】對(duì)A,截距可以為負(fù)，A錯(cuò)；

對(duì)B,該方程不包括點(diǎn)00'2）,B錯(cuò)：

。=1

對(duì)C,截距為0時(shí)，不能表示成。b,c錯(cuò)；

對(duì)D,（%-%）&-必）=（%-MX》-%）為兩點(diǎn)式方程的變形，口對(duì).

故選：ABC

蘭+片=1^-￡=i

10.已知橢圓259的右焦點(diǎn)是雙曲線/9的右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線第一象限上一點(diǎn)，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.”16

B.雙曲線的漸近線方程為’4

C.橢圓的左頂點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)

D.若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為耳、工，則直線°耳，°居的斜率之積為定值

【答案】BCD

【分析】利用橢圓與雙曲線的定義逐一判斷即可.

X2y2X2y2

—+—=1—+——]

【詳解】A：由橢圓259,得i=25,〃=9,，2=出電2=16,.?.橢圓259的右焦點(diǎn)即雙曲

片上-1

線/9的右頂點(diǎn)為（4,0）,

“2=16,a=4,A不正確；

B：雙曲線的漸近線為a4.B正確：

C：由上述得橢圓的左頂點(diǎn)是（-5.0）,雙曲線的左焦點(diǎn)是（-510）,C正確；

D：橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為尸八B，恰為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸G/）,

=&-0）。+0）尸〔16人9

「程飛-4）。+4）一QTFT一而為定值,D正確.

故選：BCD.

11.已知數(shù)列｛"J是公差為d的等差數(shù)列，若存在實(shí)數(shù)d,使得數(shù)列儲(chǔ)J滿足：可以從中取出無(wú)

限多項(xiàng)，并按原來(lái)的先后次序排成一個(gè)等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）

A.符合題意的數(shù)列也｝有無(wú)數(shù)多個(gè)

B.符合題意的實(shí)數(shù)d有無(wú)數(shù)多個(gè)

C.符合題意的數(shù)列S”｝僅有一個(gè)

D.符合題意的實(shí)數(shù)c僅有一個(gè)

【答案】AD

【分析】設(shè)從數(shù)列I",抽出的無(wú)限多項(xiàng)按原來(lái)的先后次序構(gòu)成數(shù)列｛a｝,分別在"=。，d>。,

d<。時(shí)探究數(shù)列｛a｝是否為等差數(shù)列，由此判斷各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).

【詳解】設(shè)抽出的無(wú)限多項(xiàng)按原來(lái)的先后次序構(gòu)成等差數(shù)列也“｝,

①若"=0：此時(shí)只需｛“”｝為任意非零常數(shù)列即可；

②若d>0：則也，｝中只存在有限負(fù)數(shù)項(xiàng)，即存在MeN*,當(dāng)〃〉N時(shí)，a,>0,則當(dāng)"時(shí),

也｝中均為正項(xiàng)，而另一方面，由上可知例｝中公差"'<0,因此存在MeN*,當(dāng)〃>憶時(shí)，

色，｝中均為負(fù)項(xiàng)，取〃=max｛M，M｝,可知此時(shí)矛盾，故d>°舍去；

③若［<°：同②可知需舍去.

綜上，符合題意的數(shù)列｛""｝為任意非零常數(shù)列，d=O,

故選：AD.

12.下列求導(dǎo)運(yùn)算不正確的是（）

（，1（sinxAxcosx-sinx

=1+7hr卜

A.1盯了B.I%，x

C（5、）=5"logsxDcosx）=-2xsinx

【答案】ACD

【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則求解.

【詳解】IxjX,故A錯(cuò)誤：

(5^=5*In5

\7,故C錯(cuò)誤；

(x2cosxj=2xcosx-x2sinx

故選：ACD

三、填空題

13.若直線/：N=Hx+G）與直線x+、-3=°的交點(diǎn)位于第二象限，則直線/傾斜角的取值范圍是

【答案】年?duì)?/p>

【分析】在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線x+y-3=°,動(dòng)態(tài)變化直線/：y=Mx+6）后可得傾斜角

的范圍.

3兀

【詳解】如圖，直線'+'-3=°與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為“（3,0）,8（0,3）,傾斜角為4,

直線/:廣以x+回過(guò)定點(diǎn)C（-G,0）,

演c-7=^-73

直線8c的斜率為0-（-。3）,

71

所以直線8c的傾斜角為5,

因?yàn)橹本€/：V=%（x+G）與直線x+V-3=°的交點(diǎn)位于第二象限，

（二-）

所以直線/傾斜角的取值范圍是3'4.

14.已知加（"?，〃）為圓C：x2+V-4x-4y+4=0上任意一點(diǎn).則"（〃―）2+（"+1『的最大值為

【答案】而+2##2+加

【分析】由"（"，T）、（〃+1『表示點(diǎn)（嘰〃）與點(diǎn)（1，一1）之間的距離，可轉(zhuǎn)化為圓C上的點(diǎn)M到點(diǎn)

（L7）的距離.

【詳解】圓,：x2+y2-4x-4y+4=0^(x-2)2+(^-2)2=

故圓心C（2,2）,半徑為，=2,

又—I），+（〃+1）2表示圓c上的點(diǎn)"到點(diǎn)（1，一1）的距離,

故其最大值為J(2T)2+(2+1>+2=9+2,

故答案為：而+2.

15.已知等比數(shù)列SJ的前“項(xiàng)和為S“，%=24,4=96,且％>0,則滿足不等式W>93成立

的最小正整數(shù)〃為.

【答案】6

【解析】由包=24,%=96,且％>0,得叱。，求出公比夕,進(jìn)而求出SJ通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)

和工，然后解S〃>93不等式，即可得結(jié)論

【詳解】設(shè)數(shù)列｛“"｝的公比為4,由%=24,6=96,

尸=4

得如，所以4=2或q=-2,

又因?yàn)?>0,所以4=2,

從而q=24=qx2,=24n4=3,

s,,=嗎立

所以q-i'7.

令S“>93=3X（2"-1）>93=2">32n〃>5

又因?yàn)?CN’,所以“min=6

故答案為：6

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前"項(xiàng)和S”基本量的計(jì)算，考查解指數(shù)不等式，屬于中檔

題.

16.若。>1,不等式我-x+（a-2）lnx-x>°在（M）上恒成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】（1,2+e）

【分析】首先設(shè)函數(shù)小）=，_｛>0）,轉(zhuǎn)化為/（-）>/（|…），利用單調(diào)性得

X

X+inX>a℃，參變分離后膜,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)批1）一出x》2）的最小值，從而求得

”的取值范圍.

【詳解】設(shè)/（x）=e-（x>。），M（x）=el,所以?。┰冢ā?，+切上單調(diào)遞增,

由已知得xd-x-lnx>x"T_（a_i）inx,

因?yàn)閤e,=e"M*,（a-l）lnx=lnx"T,=

所以/(x+lnx)>/(lnx"T),

f(x)=x+lnx(x>l)/(x)-l+1>0,所以'(x)在(E)上單調(diào)遞增，，(x)>，(l)=l,

由/(x)在(1，⑹單調(diào)遞增，得到x+出x>("1)lnx,

所以x>("-2)lnx,因?yàn)閘nx>lnl,

-^―>a-2<p(x)=-^—(x>1)

所以Inx，令I(lǐng)nx、。

,/\lnx-1

貝ln2x,令。'(*)>。，得x>e,

所以9(x)在3+8)上單調(diào)遞增，在0，e)上單調(diào)遞減，

所以。(xL=S(e)=e,所以a-2<e,

所以l<a<e+2.

故答案為：O'2+e)

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立，參數(shù)問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是利用指對(duì)變形，通過(guò)構(gòu)造

函數(shù)/G)=ej(x>0),不等式轉(zhuǎn)化為/(x+lnx)>/(lnx")利用函數(shù)的單調(diào)性，解抽象不等

式后，后面的問(wèn)題迎刃而解.

四、解答題

3

17.(I)己知直線4的方程為x+2y-4=°,若直線4在X軸上的截距為2,且求直線4的

方程；

包

(2)已知P(2，T),若直線/過(guò)點(diǎn)尸，且原點(diǎn)到直線/的距離為7,求直線/的方程.

【答案】(1)2x-y-3=0(2)、號(hào)-1=0或x+7>5=0

【分析】(1)根據(jù)兩直線垂直關(guān)系，求出4的斜率，代入點(diǎn)斜式方程；

(2)討論直線/的斜率是否存在，分別設(shè)出直線方程，若斜率存在，根據(jù)距離求出斜率.

【詳解】(1)由已知得，直線4的斜率為一萬(wàn)，所以直線4的斜率為2.

Ro]y=

又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)12),所以直線4的點(diǎn)斜式方程為：12人即女少凸巾.

(2)當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，/方程為：x=2.原點(diǎn)到/的距離為2,與已知矛盾，舍去:

所以，直線/斜率存在，設(shè)為k,則直線的點(diǎn)斜式方程為：y+l=%（x-2）,

可化為kx-y-2k-1=0.

V2|-2^-1[_V2k=_1

又原點(diǎn)到直線’的距離為亍，即爐力2,解得4-1或一，.

代入直線方程整理可得，直線/的方程為x+y-l=0或x+7y+5=0.

18.在平面直角坐標(biāo)系中，圓M是以“（1，G）,旗3,-6）兩點(diǎn)為直徑的圓，且圓％與圓M關(guān)于直

線y二》對(duì)稱.

（1）求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)。（0,1）,0（0,4）,過(guò)點(diǎn)c作直線4,交圓N于尸、0兩點(diǎn)，尸、0不在y軸上.

（i）過(guò)點(diǎn)C作與直線4垂直的直線4,交圓N于E、尸兩點(diǎn)，記四邊形EP尸。的面積為S,求S的

最大值：

（ii）設(shè)直線。尸，。。相交于點(diǎn)G,試討論點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是,

說(shuō)明理由.

【答案】⑴/+3-2f=4

⑵⑴7；（ii）是，片-2

【分析】（1）先求出圓M的方程，再根據(jù)對(duì)稱性求出圓N的方程即可得解；

（2）（i）設(shè)出直線（4的方程，利用幾何方法求出弦長(zhǎng)IPS和1跖1，再求出面積，然后根據(jù)基

本不等式求出最大值可得結(jié)果；（ii）聯(lián)立直線人與圓N的方程，設(shè)尸（不，乂），0（X2，%）,得到

%+W和玉X2聯(lián)立直線OP和DQ的方程求出交點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，代入直線OP的方程，利用%+》2和

%/變形可得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為定值，從而可得結(jié)果.

I_+（66）2_2

【詳解】（1）由題意得：圓M的半徑為22一，

圓心〃即的中點(diǎn)為（2，°）,

圓M的方程為：a"）?+）=4,

因?yàn)閳AN與圓/關(guān)于直線對(duì)稱，

所以圓N的圓心N（0,2）,半徑為2,

所以圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為：*2+3-2>=4；

(2)依題意可知，直線4的斜率存在,

設(shè)直線4的方程為y=^+i,即去-?+1=0

dJ-2+111

則圓心N(O,2)到直線4的距離,"7T7F+T

|尸0|=2,4一焉=2庠斗

所以7卜+iNk+1,

(i)若左=°,則直線12斜率不存在，則|P°I=26，\EF\=4t

S=-\EF\-\PQ|=4G

則2,

,y=--x+\

若％R0,則直線,2的方程為.k,即X+如T=O,

則圓心N(0,2)到直線4的距離收+1,

222

S=\\EF\-\PQ\^2(4M+3)(3/+4)I12(k+l)+k

N倘+以

則2(r+1)2

"2Ji2+(^W]

k2+\+l

k2

<212+,—=7

dVT+2

k2=\

當(dāng)且僅當(dāng)公即％=±i時(shí)取等號(hào)，

綜上所述，因?yàn)?=廊>4班，所以S的最大值為7；

(ii)設(shè)P(XI，M),。區(qū),力)，

/+&-2)2=4

聯(lián)立b=丘+1,消去y得("2+1)__2丘_3=0,4=4左2+12(公+1)>0恒成立,

2k_—3

X)+x=71--玉工2-7TTT

則2"女2+1,k+1,

yAx.+1.1、

y=-x=―!----x=(z攵+一)x

直線。尸的方程為占王玉，

y-4.kx-33

y=—2——x+4=-^2——x+4=(&---)x+4

直線DQ的方程為%

y=k+一x

IXx)

*

y=[人斗+4x=

聯(lián)立II'J，解得3項(xiàng)+w,

2k

一+-2=F+l

_2kxx——3x.x2-32kk=3(.+工)

因?yàn)槎鶻2-FTT,公+i,所以一k2+\3,所以2xi%

14X,X4(AXj+l)x_4AXJX+4X_-6($+x)+4x

-=(%+—>?」一2?一22222

x3x+x3X]+x3Xj+x

則\3芭+x2}222

—6X1一2/

3&+工2=_2

G(-4-'-2-,-2)

所以3*+w

所以點(diǎn)G在定直線y=-2上.

C:.+4=l(a>/>>0)—1

19.在平面直角坐標(biāo)系中x。，橢圓a匕的離心率為2，點(diǎn)I2J在橢圓

。上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為Z,B,點(diǎn)、P,。為橢圓上異于/,8的兩動(dòng)點(diǎn)，記直線HP的斜率

為占，直線Q8的斜率為42,已知占=7&.求證：直線尸。恒過(guò)x軸上一定點(diǎn).

21

—X+y-2=1

【答案】(1)4-

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由題意列方程組求解：(2)設(shè)尸。直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由題意列方程通過(guò)韋

達(dá)定理化簡(jiǎn)求解，注意分類討論直線a°的斜率是否為0.

a2

a2=b2+c2/=4

A_Lb~—1

2+2=1

a4bC2=3

【詳解】(1)由題意可得,解得

—y=1

所以橢圓C的方程為4?.

(2)依題意，點(diǎn)4-2,0),8(2,0),設(shè)°(再,必)，。(》2，%),

因?yàn)槿糁本€的斜率為0,則點(diǎn)尸，。關(guān)于夕軸對(duì)稱，必有“"=一怎°,不合題意.

所以直線P。斜率必不為0,設(shè)其方程為x=沙+〃(〃*±2),

X221

丁、二i

與橢圓C聯(lián)立卜=沙+",整理得：C+4)y2+2〃w+〃2-4=o

2tn

M+%=K，

w2-4

所以A=4/八4(?+4刖-4)>0,且%為=K

X]IV2=1

因?yàn)辄c(diǎn)尸(/不,必、)是橢圓上一點(diǎn)，即4J-

21』,

左"=一了—=7蜃°28k-k--1

所以4kBp,即/次檔KHQ-1

28kk=___28凹力28yM______=__________28yly2

因?yàn)閊-(X,-2)(X-2)22

2(fyx+n-2)(%+?-2)tyty2+t{n-2)(必+=)+("-2)

28(n2-4)

/2+428(/?+2)28(〃+2)_7〃+14

222

?"2-4)(〃-2)...2t(n+2)-2tn+(n-2)(t+4)4(〃-2)n-2

—/\-+-4-------r-+-4----―2)

3

,?=-TA=1662+4-n2)=4(4/2+7)>0

所rri以>2,此時(shí)V)')，

3

x=ty+-

故直線P°：2恒過(guò)x軸上一定點(diǎn)。爭(zhēng)

20.在①$3=6,S$=15；②公差為],且％，6成等比數(shù)列：③4=1,%+%+%+%=16,

三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答.

問(wèn)題：已知等差數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為且滿足

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：

⑵令c,=[lgq],其中僅|表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，求G+C2+…+，2叫

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】⑴見(jiàn)=〃

(2)4959

J3q+3d=6

【分析】(1)選①，設(shè)等差數(shù)列｛""｝中，公差為“，進(jìn)而得+10”=",解方程得q="=l,再

求通項(xiàng)公式即可；

選②，由題知"必=只，進(jìn)而解得《=1,再求通項(xiàng)公式即可；

選③，由題知4《+12”=16,即4+12d=16,解得"=1,再求通項(xiàng)公式即可；

(2)由題知cL,再結(jié)合。=忖]=°,%=[lglO]=l,cloo=[lglOO]=2>

Ciooo=[lg1000]=3求解即可.

【詳解】(1)解:選①

設(shè)等差數(shù)列中，公差為"，因?yàn)镾3=6,Ss=15,

J3q+3d=6

所以(54+104=15,解得《="=1,

所以。“=q+(〃_i)d=〃，

選②

因?yàn)榈炔顢?shù)列｛""｝中，公差為1,且心，知，4成等比數(shù)列，

所以。2%=片，即3+1)3+7)=3+3)[解得《=1

所以a“=q+(〃_l)d=〃

選③

因?yàn)榈炔顢?shù)列｛"”｝中，q=1,%+4+牝+%=16,

所以4q+12d=16,即4+12/=16,解得4=1

所以a“=q+(〃T)d="

(2)解:由⑴知[咽卜[則

因?yàn)镃t=[lgl]=0,c,0--[lgl0]=1cl00=[lgl00]=2C|000=[lgl000]=3

所以當(dāng)1WW9時(shí)，c,=0,

當(dāng)10?〃K99時(shí)，q=1,

c=

當(dāng)1004〃W999時(shí)，n2,

當(dāng)10004〃W2022時(shí),0〃=3,

所以G+G+…+6022=0+90x1+900x2+(2022—999)x3=4959

21.己知函數(shù)/⑺…亍，g(x)=x+alnx(”《R).

(1)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(e2

(2)證明：當(dāng)I'2」時(shí)，/G)>g(x)在(0,+")上恒成立.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性；

2e'-2

———lnx>0

（2）當(dāng)°<x<l時(shí)，可證不等式成立，當(dāng)》>1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為證明x成立，構(gòu)造函數(shù)

2er~2

G（x）=------Inx

X,利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性與最值情況，進(jìn)而可得證.

【詳解】⑴由gG）=x+“l(fā)nx,"六x="T,（x>0）,

當(dāng)時(shí)，g'（x）>°恒成立，函數(shù)g（x）在（°，+e）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，令g'（x）=°,解得x=-a,0<x<-a時(shí)，g（x）<0,函數(shù)g（'）單調(diào)遞減，x>-a時(shí),

g'（x）>°,函數(shù)g（“）單調(diào)遞增，即函數(shù)8G）在（°'一“）上單調(diào)遞減，在（一"'十°°）上單調(diào)遞增；

⑵要證/G）>gG）,即證e,>axInx,[2]

①當(dāng)0<x<l時(shí)，ev>1,axlnx<0,該不等式成立；

或d1,

彳0<axInx<—e2xInx

②當(dāng)x>l時(shí)，xlnx>0,結(jié)合I2」，得2,

ex>—e2xlnx

即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明：2（x>l）,

2e*-2

------lnx>0

即證x（x>l）,

、2廣2,、2e'-2（x-l）-x

G（x）=------InxG（x）=-----~~-——

令x,廠，

令Mx）=2e-（x-l）T,則〃（x）=2xez_iJ（x）=（2x+2）e->0在（1,+8）上恒成立,即

/（x）=2x1-1在0,+00）上單調(diào)遞增，

又//⑴工-1<0,似2）=3>0,所以存在無(wú)。?1,2）,使得“（%）=0,即2XL=1,2e%

所以“（x）在0/。）上單調(diào)遞減，在