如何用梅遜公式求傳遞函數(shù)

如何用梅遜公式求傳遞函數(shù)6/9/20231第一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二信號流圖可以表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和變量傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。它也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。在求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時較為方便。一、信號流圖及其等效變換組成：信號流圖由節(jié)點和支路組成。見下圖：信號流圖的概念-+6/9/20232第二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二上圖中，兩者都具有關(guān)系:。支路對節(jié)點來說是輸出支路，對節(jié)點y來說是輸入支路。節(jié)點：節(jié)點表示信號，輸入節(jié)點表示輸入信號，輸出節(jié)點表示輸出信號。支路：連接節(jié)點之間的線段為支路。支路上箭頭方向表示信號傳送方向，傳遞函數(shù)標(biāo)在支路上箭頭的旁邊，稱支路傳輸。信號流圖的概念6/9/20233第三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二信號流圖的術(shù)語[幾個術(shù)語]：輸出節(jié)點(阱點)：只有輸入支路的節(jié)點。如：X8?；旌瞎?jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。如：X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合節(jié)點相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的信號相加點和分支點。它上面的信號是所有輸入支路引進信號的疊加。通路：沿支路箭頭方向穿過各個相連支路的路線，起始點和終點都在節(jié)點上。若通路與任一節(jié)點相交不多于一次，且起點和終點不是同一節(jié)點稱為開通路。起點在源點，終點在阱點的開通路叫前向通路。輸入節(jié)點(源點)：只有輸出支路的節(jié)點。如：X1，X9。6/9/20234第四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二回路(閉通路)：通路與任一節(jié)點相交不多于一次，但起點和終點為同一節(jié)點的通路稱為回路。互不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點時，這種回路稱為互不接觸回路。信號流圖的術(shù)語通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益?；芈穫鬏?增益)：回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益。6/9/20235第五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二信號流圖的等效變換串聯(lián)支路合并：并聯(lián)支路的合并：回路的消除：6/9/20236第六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二混合支路的清除：自回路的消除：信號流圖的等效變換6/9/20237第七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二信號流圖的性質(zhì)節(jié)點表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點自左向右順序設(shè)置，每個節(jié)點標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點的信號之代數(shù)和，而從同一節(jié)點流向各支路的信號均用該節(jié)點的變量表示。支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關(guān)系。對于給定的系統(tǒng),節(jié)點變量的設(shè)置是任意的，因此信號流圖不是唯一的。信號流圖的性質(zhì)6/9/20238第八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二信號流圖的繪制[信號流圖的繪制]：根據(jù)結(jié)構(gòu)圖列出系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的拉氏方程，按變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系繪制先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，如上圖所示。然后畫出信號流圖如下圖所示。例1：速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為：6/9/20239第九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二例2:已知結(jié)構(gòu)圖如下，可在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，如上圖所示。然后畫出信號流圖如下圖所示。6/9/202310第十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二信號流圖的繪制例2:按微分方程拉氏變換后的代數(shù)方程所表示的變量間數(shù)學(xué)關(guān)系繪制。如前例所對應(yīng)的代數(shù)方程為:按方程可繪制信號流圖。6/9/202311第十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二梅遜公式用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接求得從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間的總傳輸。（即總傳遞函數(shù)）其表達式為：式中：總傳輸（即總傳遞函數(shù)）；從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通道總數(shù)；第k個前向通道的總傳輸；流圖特征式；其計算公式為：二、梅遜增益公式6/9/202312第十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二（正負(fù)號間隔）式中：流圖中所有不同回路的回路傳輸之和；所有互不接觸回路中，每次取其中兩個回路傳輸乘積之和；所有互不接觸回路中，每次取其中三個回路傳輸乘積之和；

第k個前向通道的特征余子式；其值為中除去與第k個前向通道接觸的回路后的剩余部分。梅遜公式6/9/202313第十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二梅遜公式||例2-13a[解]：前向通道有一條；有一個回路；例2-13a：求速度控制系統(tǒng)的總傳輸。（不計擾動）6/9/202314第十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二梅遜公式||例2-13[解]：先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，再根據(jù)邏輯關(guān)系畫出信號流圖如下：[例2-13]：繪出兩級串聯(lián)RC電路的信號流圖并用Mason公式計算總傳遞函數(shù)。---6/9/202315第十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二圖中，有一個前向通道；有三個回路；有兩個互不接觸回路；（因為三個回路都與前向通道接觸。）總傳輸為：梅遜公式||例2-13（正負(fù)號間隔）式中：流圖中所有不同回路的回路傳輸之和；所有互不接觸回路中，每次取其中兩個回路傳輸乘積之和；所有互不接觸回路中，每次取其中三個回路傳輸乘積之和；6/9/202316第十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二梅遜公式||例2-13討論：信號流圖中，a點和b點之間的傳輸為1，是否可以將該兩點合并。使得將兩個不接觸回路變?yōu)榻佑|回路？如果可以的話，總傳輸將不一樣。不能合并。因為a、b兩點的信號值不一樣。上圖中，ui和ue，I1和I，a和b可以合并。6/9/202317第十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二梅遜公式||例2-14例2-14：使用Mason公式計算下述結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)解：在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，如上圖。然后畫出信號流圖，如下：++--6/9/202318第十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二回路有三，分別為：有兩個不接觸回路，所以：梅遜公式||例2-14求：前向通道有二，分別為:6/9/202319第十九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二梅遜公式||例2-14求：（蘭線表示）不變。（紅線表示）注意：上面講不變，為什么？是流圖特征式，也就是傳遞函數(shù)的特征表達式。對于一個給定的系統(tǒng)，特征表達式總是不變的，可以試著求一下。6/9/202320第二十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二梅遜公式注意事項注意：梅森公式只能求系統(tǒng)的總增益，即輸出對輸入的增益。而輸出對混合節(jié)點（中間變量）的增益不能直接應(yīng)用梅森公式。也就是說對混合節(jié)點，不能簡單地通過引出一條增益為一的支路，而把非輸入節(jié)點變成輸入節(jié)點。對此問題有兩種方法求其傳遞函數(shù)：一、把該混合節(jié)點的所有輸入支路去掉，然后再用梅森公式。二、分別用梅森公式求取輸出節(jié)點及該節(jié)點對輸入節(jié)點的傳遞函數(shù)，然后把它們的結(jié)果相比，即可得到輸出對該混合節(jié)點的傳遞函數(shù)。6/9/202321第二十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二梅遜公式||例2-15例2-15：數(shù)數(shù)有幾個回路和前向通道。有四個回路，分別是：它們都是互相接觸的。有九條前向通道，分別是：6/9/202322第二十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二梅遜公式||例2-15對應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖為：--+++++為節(jié)點注意：①信號流圖與結(jié)構(gòu)圖的對應(yīng)關(guān)系；②仔細確定前向通道和回路的個數(shù)。作業(yè)：2-12，2-136/9/202323第二十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二小結(jié)信號流圖的組成；術(shù)語；信號流圖的繪制和等效變換；梅遜公式極其應(yīng)用；信號流圖和結(jié)構(gòu)圖之間的關(guān)系。小結(jié)6/9/202324第二十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二梅遜公式的推導(dǎo)附錄：梅遜公式的推導(dǎo)如前例已知信號流圖如圖所示，所對應(yīng)的代數(shù)方程為以R為輸入，V2為輸出則可整理成下列方程6/9/202325第二十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二于是可求得該方程組的系數(shù)行列式和

梅遜公式的推導(dǎo)6/9/202326第二十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二根據(jù)克萊姆法則得

于是傳遞函數(shù)為分析上式可以看到，傳遞函數(shù)的分子和分母取決于方程組的系數(shù)行列式，而系數(shù)行列式又和信號流圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有著密切的關(guān)系。從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的觀點，信號流圖的主要特點取決于回路的類型和數(shù)量。而信號流圖所含回路的主要類型有兩種：單獨的回路和互不接觸回路。梅遜公式的推導(dǎo)6/9/202327第二十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二圖中所示信號流圖共含有五個單獨回路和三對互不接觸回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ）

所有單獨回路增益之和為兩兩互不接觸回路增益乘積之和為

而△值恰好為

可見，傳遞函數(shù)的分母△取決于信號流圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征。

梅遜公式的推導(dǎo)6/9/202328第二十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二如果把△中與第k條前向通道有關(guān)的回路去掉后，剩下的部分