平面解析幾何（直線與方程）-五年（2018-2022）高考數(shù)學(xué)真題按知識點分類匯編

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點分類匯編19-平面解析幾何（直線與方程）（含解析）一、單選題1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.93．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．44．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C． D．25．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知點O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．設(shè)點P滿足|PA|–|PB|=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點，則|OP|=（

）A． B． C． D．6．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）直線關(guān)于點對稱的直線方程是（

）A． B．C． D．7．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知直線的圖像如圖所示，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角8．（2018·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，則點到的漸近線的距離為A． B． C． D．9．（2018·北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，記為點到直線的距離，當(dāng)、變化時，的最大值為A． B．C． D．10．（2019·北京·高考真題）已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則點（1,0）到直線l的距離是A． B． C． D．二、多選題11．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．三、填空題12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．13．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為______________．14．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）雙曲線的右焦點到直線的距離為________．15．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是_______．16．（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.四、解答題17．（2018·全國·高考真題）設(shè)橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)與軸垂直時，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，證明：.18．（2018·全國·高考真題）設(shè)拋物線，點，，過點的直線與交于，兩點．（1）當(dāng)與軸垂直時，求直線的方程；（2）證明：．19．（2019·江蘇·高考真題）如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；（3）對規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時，P、Q兩點間的距離．五、雙空題20．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線，則C的右焦點的坐標(biāo)為_________；C的焦點到其漸近線的距離是_________．參考答案：1．A【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設(shè)右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.2．D【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項.【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D3．B【分析】首先確定拋物線的焦點坐標(biāo)，然后結(jié)合點到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.4．B【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過定點，設(shè)，當(dāng)直線與垂直時，點到直線距離最大，即可求得結(jié)果.【詳解】由可知直線過定點，設(shè)，當(dāng)直線與垂直時，點到直線距離最大，即為.故選：B.【點睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何初步的問題，涉及到的知識點有直線過定點問題，利用幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5．D【分析】根據(jù)題意可知，點既在雙曲線的一支上，又在函數(shù)的圖象上，即可求出點的坐標(biāo)，得到的值．【詳解】因為，所以點在以為焦點，實軸長為，焦距為的雙曲線的右支上，由可得，，即雙曲線的右支方程為，而點還在函數(shù)的圖象上，所以，由，解得，即．故選：D.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及二次曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．D【分析】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點對稱的點的坐標(biāo)為，代入已知直線即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標(biāo)為，則其關(guān)于點對稱的點的坐標(biāo)為，因為點在直線上，所以即.故選：D.7．D【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出、，即可得出結(jié)果.【詳解】結(jié)合圖像易知，，，則角是第四象限角，故選：D.8．D【詳解】分析：由離心率計算出，得到漸近線方程，再由點到直線距離公式計算即可．詳解：所以雙曲線的漸近線方程為所以點（4，0）到漸近線的距離故選D點睛：本題考查雙曲線的離心率，漸近線和點到直線距離公式，屬于中檔題．9．C【分析】為單位圓上一點，而直線過點，則根據(jù)幾何意義得的最大值為.【詳解】為單位圓上一點，而直線過點，所以的最大值為，選C.【點睛】與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化．10．D【分析】首先將參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后利用點到直線距離公式求解距離即可.【詳解】直線的普通方程為,即,點到直線的距離,故選D.【點睛】本題考查直線參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,點到直線的距離,屬于容易題,注重基礎(chǔ)知識?基本運算能力的考查.11．ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.12．【分析】首先求出點關(guān)于對稱點的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關(guān)于對稱的點的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：13．【分析】設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【詳解】[方法一]：三點共圓∵點M在直線上，∴設(shè)點M為，又因為點和均在上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.故答案為：[方法二]：圓的幾何性質(zhì)由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點的線段垂直平分線y=3x-4與直線的交點(1,-1).,的方程為.故答案為：14．【分析】先求出右焦點坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式求解.【詳解】由已知，，所以雙曲線的右焦點為，所以右焦點到直線的距離為.故答案為：15．【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點和點，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個變量后，運算即可得解.16．4.【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為切點與直線之間的距離，然后利用導(dǎo)函數(shù)確定切點坐標(biāo)可得最小距離【詳解】當(dāng)直線平移到與曲線相切位置時，切點Q即為點P到直線的距離最小.由，得，，即切點，則切點Q到直線的距離為，故答案為．【點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.17．（1）的方程為或；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)與軸垂直，且過點，求得直線的方程為，代入橢圓方程求得點的坐標(biāo)為或，利用兩點式求得直線的方程；（2）方法一：分直線與軸重合、與軸垂直、與軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，對于一般情況將角相等通過直線的斜率的關(guān)系來體現(xiàn)，從而證得結(jié)果.【詳解】（1）由已知得，的方程為.由已知可得，點的坐標(biāo)為或.所以的方程為或.（2）［方法一］：【通性通法】分類＋常規(guī)聯(lián)立當(dāng)與軸重合時，.當(dāng)與軸垂直時，為的垂直平分線，所以.當(dāng)與軸不重合也不垂直時，設(shè)的方程為，，則，直線、的斜率之和為.由得.將代入得.所以，.則.從而，故、的傾斜角互補，所以.綜上，.［方法二］：角平分線定義的應(yīng)用當(dāng)直線l與x軸重合或垂直時，顯然有．當(dāng)直線l與x軸不垂直也不重合時，設(shè)直線l的方程為，交橢圓于，．由得．由韋達(dá)定理得．點A關(guān)于x軸的對稱點，則直線的方程為．令，，則直線過點M，．［方法三］：直線參數(shù)方程的應(yīng)用設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．（*）將（*）式代入橢圓方程中，整理得．則，．又，則，即．所以．［方法四］：【最優(yōu)解】橢圓第二定義的應(yīng)用當(dāng)直線l與x軸重合時，．當(dāng)直線l與x軸不重合時，如圖6，過點A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，則有軸．由橢圓的第二定義，有，，得，即．由軸，有，即，于是，且．可得，即有．［方法五］：角平分線定理逆定理＋極坐標(biāo)方程的應(yīng)用橢圓以右焦點為極點，x軸正方向為極軸，得.設(shè)．．所以，．由角平分線定理的逆定理可知，命題得證．［方法六］：角平分線定理的逆定理的應(yīng)用設(shè)點O（也可選點F）到直線的距離分別為，根據(jù)角平分線定理的逆定理，要證，只需證．當(dāng)直線l的斜率為0時，易得．當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為：．由方程組得恒成立，．．直線的方程為：．因為點A在直線l上，所以，故．同理，．．因為，所以，即．綜上，．［方法七］：【通性通法】分類＋常規(guī)聯(lián)立當(dāng)直線l與x軸重合或垂直時，顯然有．當(dāng)直線l與x軸不垂直也不重合時，設(shè)直線l的方程為，交橢圓于，．由得．由韋達(dá)定理得．所以，故、的傾斜角互補，所以.［方法八］：定比點差法設(shè)，，所以，由作差可得，，所以，，又，所以，，故，、的傾斜角互補，所以.當(dāng)時，與軸垂直，為的垂直平分線，所以.故．【整體點評】（2）方法一：通過分類以及常規(guī)聯(lián)立，把角相等轉(zhuǎn)化為斜率和為零，再通過韋達(dá)定理即可實現(xiàn)，是解決該類問題的通性通法；方法二：根據(jù)角平分線的定義可知，利用點關(guān)于軸的對稱點在直線上，證直線過點即可；方法三：利用直線的參數(shù)方程證明斜率互為相反數(shù)；方法四：根據(jù)點M是橢圓的右準(zhǔn)線與x軸的交點，用橢圓的第二定義結(jié)合平面幾何知識證明，運算量極小，是該題的最優(yōu)解；方法五：利用橢圓的極坐標(biāo)方程以及角平分線定理的逆定理的應(yīng)用，也是不錯的方法選擇；方法六：類比方法五，角平分線定理的逆定理的應(yīng)用；方法七：常規(guī)聯(lián)立，同方法一，只是設(shè)直線的方程形式不一樣；方法八：定比點差法的應(yīng)用．18．（1）或；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意可得直線的方程為，從而得出點的坐標(biāo)為或，利用兩點式求得直線的方程；（2）方法一：設(shè)直線的方程為，點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由斜率公式并結(jié)合韋達(dá)定理計算出直線、的斜率之和為零，從而得出所證結(jié)論成立.【詳解】（1）當(dāng)與軸垂直時，的方程為，可得的坐標(biāo)為或．所以直線的方程為或；（2）［方法一］：【通性通法】韋達(dá)定理＋斜率公式設(shè)的方程為，、，由，得，可知，．直線、的斜率之和為，所以，可知、的傾斜角互補，所以.［方法2］：【最優(yōu)解】斜率公式＋三點共線的坐標(biāo)表示因為M，N在拋物線上，可設(shè)，，故，．而A，M，N共線，故，即，化簡得．而M，N是不同的點，故，可得．這樣．故．【整體點評】（2）方法一：通過聯(lián)立方程得出根與系數(shù)的關(guān)系，再直接使用斜率公式化簡即可證出，是此題問題的通性通法；方法二：通過設(shè)點，根據(jù)三點共線的坐標(biāo)表示尋找關(guān)系，再利用斜率公式化簡證出，省略了聯(lián)立過程，適當(dāng)降低了運算量，是此類問題的最優(yōu)解．19．（1）15（百米）；（2）見解析；（3）17+（百米）.【分析】解：解法一：（1）過A作，垂足為E.利用幾何關(guān)系即可求得道路PB的長；（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當(dāng)d最小時，P、Q兩點間的距離．解法二：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別確定點P和點B的坐標(biāo)，然后利用兩點之間距離公式可得道路PB的長；（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當(dāng)d最小時，P、Q兩點間的距離．【詳解】解法一：（1）過A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.因為PB⊥AB，所以.所以.因此道路PB的長為15（百米）.（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點（除B，E）到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知，從而，所以∠BAD為銳角.所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時，對線段PB上任意一點F，OF≥OB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規(guī)劃要求.設(shè)為l上一點，且，由（1）知，，此時；當(dāng)∠OBP>90°時，在中，.由上可知，d≥15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時，.此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)PB⊥AB，點Q位于點C右側(cè)，且CQ=時，d最小，此時P，Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為17+（百米）.解法二：（1）如圖，過O作OH⊥l，垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點，直線OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因為BD=12，AC=6，所以O(shè)H=9，直線l的方程為y=9，點A，B的縱坐標(biāo)分別為3，?3.因為AB為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A（4，3），B（?4，?3），直線AB的斜率為.因為PB⊥AB，所以直線PB的斜率為，直線PB的方程為.所以P（?13，9），.因此道路PB的長為15（百米）.（2）①若P在D處，取線段BD上一點E（?4，0），則