空間向量在立體幾何中應用

在空間直角坐標系中，已知任一向量a 存在唯一數(shù)組xyzaxiyjzkxiyjz分別叫做向量axyz叫做向量a

兩個向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作OAaOBb，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b．通常規(guī)定0≤a，bπ．a(chǎn)a(a1設

aa∥b（b0）

ab a abab0a1b1a2b2a3b3 a|aa|aaa2a2a b|bbb2b2b a|a||b．a(chǎn)2a2a2b2b2b 位置向量：已知向量a，在空間固定一個基點O，再作向量OAaA在空間的位置就被向量a所唯一確定了．這時，我們稱這個向量aOA位置向量．1).設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2l1∥l2（或l1與l2重合）

；l1l2v1若向量v1和是兩個不共線的向量，且都平行于平面（即向量的基線與平面平行或在平面內(nèi)直線l的一個方向向量為v，則l∥或l在內(nèi)x，y，使vxv1yv2n的基線與平面n就稱為平面的法向量（0不能為法向量A是空間任一點，nAMn0MAnAMn0則∥或重合

；n1n2n1n2線線角：兩條直線l,l所稱角設為，則01

2 設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1,l2所稱線線角與方向向量角

v1v2或v1v2cos|cosv1v2線面角：直線l和它在平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角，設其為，則0 2 設m為平面n為直線l的方向向量，兩向量所成角為mn m,

或m sin|

m,n做二面角的面．棱為l，兩個面分別為，的二面角，記作l．二面角的平面角：在二面角l的棱上任取一點O，在兩半平面內(nèi)分別作射線OAlOBl，則AOB叫做二面角l[0180] 假設，兩個面的法向量為m假設，兩個面的法向量為mnm,

則知：

mn或mn故有如下結(jié)論：|cos||

m,n

的“+-【例1】如圖：PD平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AB//CD，ADC90PDAD2AB2，,EC2PE PA//BDE（Ⅱ)BDPPBC BPCD【例2S—ABCD的底面ABCD是矩形，M、NCD、SC2 2【3ABCA1B1C1DABE為側(cè)棱CC1CD∥A1EBAB1A1EB【4】ABCDABCD的棱長為2OACBDEBBBE1111B1DD1ACD1OA1DD1OAEC

EEDOC 【5】PABCDABCDPA底面ABCDBC2AB2PA6M

NPCANPDMBDC【6】ABCDA1B1C1D1A1DABCD，ABCD是邊長為1AA12．BD1A1C1DDA1C1A【7】ACDEEDACABACAE2ED1AB，PBC2DPEABEBDABC2PN．2NAM求證：BDPCNAMMN//PDCAPCBD FD【例9】如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形 FDACBDEFFCEADAFCBC 【10】ABCDEFABCDEF//AB，EFEA，AB2EF，AED900AEEDHADEH//FACEHABCDAFCB【1】EFAEBAEEBAD//EF，EF//BC，BC2AD4EFAEBE2GBCABDEGBDEG求二面角CDFE【2】PABCD的底面為正方形，PAABCDPAAD2，EFHPA,PD,AB的中點．PB//EFHPDAHFHEFA【3】PABCDAB//CDABADPAB和PAD是兩個邊長為2DC4，OBD