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文檔簡介

C1407班的李鏡楠有一天攔住我，說：“老師，我覺得海倫公式很重要，你可以講一下嗎？”海倫公式一、什么是海倫公式？如圖1，在三角形ABC中，A=15，B=14，C=13，求三角形ABC的面積，運(yùn)用我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識可以直接求解嗎？圖1像這樣的題目，用海倫公式很容易解決，那么，什么是海倫公式呢？海倫公式：三角形的面積其中：、、分別是三角形的三邊長，海倫公式亦稱“海倫-秦九韶公式”。此公式（利用三角形的三條邊長來求三角形面積）相傳是亞歷山大港的海倫發(fā)現(xiàn)的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其證明。亦有認(rèn)為早于阿基米德時代已經(jīng)懂得這條公式，而由于《Metrica》是一部古代數(shù)學(xué)知識的結(jié)集，該公式的發(fā)現(xiàn)時期很有可能先于海倫的著作。由三角形面積公式即得上述證明用到了三角函數(shù)、，因?yàn)槌醵昙壍膶W(xué)生還沒有接觸三角函數(shù)，我們也可以考慮用以下的方法證明。CCABT圖3TBAC圖4是△的邊上的高，點(diǎn)為垂足。記，，，，（見上圖）。證明（2）：若△是銳角三角形（圖3），則由勾股定理有由（1）式得出，帶入（2）式：。展開，即得，由此式解得，類似于證明（1），得出，由于三角形面積，由上式即得。若△是鈍角三角形（圖4），不失一般性，設(shè)，則由勾股定理有類似于△是銳角三角形的情況，可得，因而亦得。若△是直角三角形（圖4），不失一般性，設(shè)，由勾股定理有。故，此時仍有。海倫公式的推導(dǎo)海倫公式形式漂亮，結(jié)構(gòu)工整，有多種變形，如：S======三角形的面積和三邊有如此優(yōu)美和諧的關(guān)系，我們不禁會類比猜想，簡單四邊形的面積和它的四條邊又是什么關(guān)系呢？由于三角形內(nèi)接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD中，設(shè)四條邊長分別為，且,則S四邊形=現(xiàn)根據(jù)猜想進(jìn)行證明。證明：如下圖，延長DA，CB交于點(diǎn)E。設(shè)EA=eEB=f∵∠1+∠2=180○∠2+∠3=180○∴∠1=∠3∴△EAB～△ECD∴==，=解得：e=③f=④由于S四邊形ABCD=S△EAB將③，④跟

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