不定積分與定積分部分典型例題

不定積分與定積分部分典型例題例1驗(yàn)證F(x)=1(1+lnx)2和G(x)=1ln2x+lnx是同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)，并說(shuō)明兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系.分析依原函數(shù)的定義，若F(x)和G(x)的導(dǎo)數(shù)都是某個(gè)函數(shù)f(x)的原函數(shù)，即有F'(x)=G'(x)=f(x),則F(x)和G(x)是f(x)的原函數(shù).所以，只需驗(yàn)證F(x)和G(x)的導(dǎo)數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)即可.1 1+lnx解因?yàn)镕(x)=(1+lnx)--=—xx111+lnxG(x)=lnx?-+—=—xxx1“一、一、 1- - 1+lnx所以F(x)=(1+lnx)2和G(x)=ln2x+lnx是同一個(gè)函數(shù) 的兩個(gè)原函數(shù).22 x且有F且有F(x)=1(1+lnx)22=11n2x+lnx+1說(shuō)明兩個(gè)原函數(shù)之間僅相差一個(gè)常數(shù).例2已知某曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)x處的切線(xiàn)斜率為21=,且曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(4,3),試求曲線(xiàn)方程.分析根據(jù)不定積分的幾何意義，所求曲線(xiàn)方程為過(guò)點(diǎn)(4,3),斜率是f(x)=的積2、、:x分曲線(xiàn).解y=Jf(x)dx=J——dx=、:x+c且曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(4,3),即3=-<4+c,得出c=3--<4=1于是所求曲線(xiàn)方程為y=vx+1例3判斷下列等式是否正確.TOC\o"1-5"\h\z, 1dJ dx=. dxJ(sinx)'dx=-cosx+cd lnxi 1Je dx=-dx1x 2分析(1),(2)根據(jù)不定積分的性質(zhì)進(jìn)行判斷；(3)根據(jù)定積分的定義進(jìn)行判斷.

解(1)依照不定積分的性質(zhì)dJf(x)dx=f(x)dx所以，等式dJi dx= .j dx成立.(2)依照不定積分的性質(zhì)Jf'(x)dx=f(x)+c所以，等式J(sinx)'dx=-cosx+c不成立.正確的應(yīng)為J(sinx)'dx=sinx+c(3)由定積分定義，Jbf(x)dx=F(b)-F(〃)是一個(gè)確定的數(shù)值，因此，對(duì)函數(shù)先求ad Inx. 1定積分再求導(dǎo)數(shù)等于對(duì)一個(gè)數(shù)值求導(dǎo)數(shù)，所以結(jié)果應(yīng)該為零.即等式二卜 dx=錯(cuò)誤,dx1X 2正確的結(jié)果應(yīng)為-—Jedx=0.dx1x例4計(jì)算下列積分：(1)(2)J(%'X+,L)2dx(1)(2)\：X3e—xJex(3x+ )dxsin2x(3)J(3)J2"|sinxdx分析對(duì)于(1),(2)利用基本積分公式和積分運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行積余注意在計(jì)算時(shí)，對(duì)被積函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?；?duì)于(3),注意到被積函數(shù)帶有絕對(duì)值符號(hào)，而在積分時(shí)，絕對(duì)值符號(hào)是一定要打開(kāi)的，且在積分區(qū)間［0,2兀］上有Isinx0<x<ksinXH-sinx兀<x<2兀利用定積分的區(qū)間可加性和N-L進(jìn)行計(jì)算.解(1)將被積函數(shù)變形為QX+X)2二X+9\：'X3 XX3J(v'x+L)2dx、GX3=J(x+—+—)dx=JJ(v'x+L)2dx、GX3=2x2+2ln|x|-

(2)將被積函數(shù)變形為e-x 1ex(3x+ )=(3e)x+ sin2x sin2x再利用積分公式和積分運(yùn)算性質(zhì)得』ex(3x+e")dx=J(3e)xdx+J---dx

sin2x sin2x(3e)x(3e)xln3+1—cotx+c⑶J2"|sinxdx=J0兀sinxdx⑶J2"|sinxdx=J00 兀=-cosxk+cosx|2兀=-[-1-1]+[1-(-1)]0 兀=4.說(shuō)明：本例在求積分的方法直接積分法這種方法適用與那些只用到基本積分公式和積分運(yùn)算性質(zhì)，或者對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形就可以運(yùn)用積分公式求積分的題目.在解題中應(yīng)該注意：.熟悉基本積分公式；.在解題中經(jīng)常要對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡淖冃?例如(1)中將二項(xiàng)和的平方展開(kāi);(2)中將ex乘到括號(hào)里邊去；(3)中將絕對(duì)值打開(kāi))，變形的目的是使被積函數(shù)為積分基本公式中的函數(shù)或它們的線(xiàn)性組合.這些方法和技巧的掌握是基于平時(shí)的練習(xí)；.如果連續(xù)試探幾次，進(jìn)行不同的變形后仍無(wú)法達(dá)到目的，則應(yīng)考慮其它積分方法求解.5計(jì)算下列積分：xTOC\o"1-5"\h\zJJ 2dx；exJ dx(1+ex)2eln2xJe dxxra(4)分析J2sin3xdx(4)分析0注意到這幾個(gè)被積函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)，對(duì)于復(fù)合函數(shù)的積分問(wèn)題一般是利用湊微分法(第一換元積分法)，在計(jì)算中要明確被積函數(shù)中的中間變量U=9(x),設(shè)法將對(duì)x求積分轉(zhuǎn)化為對(duì)u=9(x)求積分.對(duì)于定積分的湊微分的題目要注意：換元積分法的特點(diǎn)，即

“換元變限”(1)將被積函數(shù)—看成與,其中u-1-x2,且du--2xdx,于是,V1—x2 vu上dx--1Xdu,這時(shí)對(duì)于變量u可以利用公式求積分.uu 2uuex⑵將被積函數(shù)（1^iduex⑵將被積函數(shù)（1^idudx-——u2看成一，其中u-1+ex,且du-exdx,于是——這樣對(duì)于變量u=1+ex可以利用積分公式求積分.(lnx)2 u2 一一1一u2一一(3)將被積函數(shù) 看成—,其中u-1nx,且du—-dx,于是—dx-u2du,這樣對(duì)于變量u=lnx可以利用積分公式求積分.(4)將被積函數(shù)sin3x分解成sin2xsinx-(1-cos2x)sinx-sinx-cos2xsinx即分成兩個(gè)函數(shù)積分的和，第一個(gè)積分可以由N-L公式直接得到，第二個(gè)積分中被積函數(shù)視為u2sinx,其中u-cosx,du--sinxdx解（1）1 1dx=- J. d(1-x2)-2v1-x2-U-Id解（1）1 1dx=- J. d(1-x2)-2v1-x2-U-Idu2uu(U-1-x2)(2)J0工(1+ex)2(3)=--uu+c=-、；1—x2+cdx-J d(1+ex)-(1+ex)21 1=——+c= +cu1+ex[方法1]換元換限.令u-Inx,則du-—dx,且當(dāng)x-1時(shí),

x0,x-e時(shí),Je七dx=j1u2du=1u31x0 3［方法2］只湊微分不換元，不換積分限.Je「2xdx-Jeln2xd(lnx)1x 11。、-3(lnx)3-3(13-03)-e1F— 1=§[(lne)3-(ln1)3]--(4)因?yàn)镴2sin3xdx=(4)因?yàn)镴2sin3xdx=J2[1-cos2x]sinxdx-J2sinxdx-J

00 0工2cos2xsinxdx0f工對(duì)于積分J2sinxdx--cosx0m-12—10對(duì)于積分J；cos2xsinxdx用湊微分法,0[方法1]令u-cosx,則du--sinxdx,且當(dāng)x-0時(shí),u—1,x——時(shí)，u—0,于2是有2cos2xsinxdx-0-J0u2du-1［方法2］只湊微分不換元，不換積分限.cos2xdcosx--1cos3x

3O-2J2cos2cos2xdcosx--1cos3x

3O-200說(shuō)明：第一換元積分法是積分運(yùn)算的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).一般地，第一換元積分法所處理的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，故此法的實(shí)質(zhì)是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算.在運(yùn)算中始終要記住換元的目的是使換元后的積分Jf（u）du容易求原函數(shù).應(yīng)用第一換元積分法時(shí)，首先要牢記積分基本公式，明了基本公式中的變量x換成x的函數(shù)時(shí)公式仍然成立.同時(shí)還要熟悉微分學(xué)中的微分基本公式，復(fù)合函數(shù)微分法則和常見(jiàn)的“湊微分”形式.具體解題時(shí),“湊微分”形式.具體解題時(shí),“湊微分”要朝著Jf(u)du容易求積分的方向進(jìn)行.在定積分計(jì)算中，因?yàn)榉e分限是積分變量的變化范圍，當(dāng)積分變量發(fā)生改變，相應(yīng)的積分限一定要隨之變化，所以，在應(yīng)用換元積分法解題時(shí)，如果積分變量不變（例如（3）（4）中的方法2）,則積分限不變.而且在換元換限時(shí)，新積分變量的上限對(duì)應(yīng)于舊積分變量的上限，新積分變量的下限對(duì)應(yīng)于舊積分變量的下限，當(dāng)以新的變量求得原函數(shù)時(shí)可直接代入新變量的積分上、下限求積分值即可無(wú)須在還原到原來(lái)變量求值（例如（3）（4）中的方法2）.由于積分方法是靈活多樣的，技巧性較強(qiáng)，一些“湊”的方法是要靠一定量的練習(xí)來(lái)積累的（例如（4））因此，我們只有通過(guò)練習(xí)摸索規(guī)律，提高解題能力.例6計(jì)算下列積分：J（1）（（x+1）sin2xdx；,、J2x』（2）2xe2dx；0（3）J"nx|dxe分析注意到這些積分都不能用換元積分法，所以要考慮分部積分，對(duì)于分部積分法適用

的函數(shù)及U，/的選擇可以參照表3-1,具體步驟是:.湊微分，從被積函數(shù)中選擇恰當(dāng)?shù)牟糠肿鳛閂fdx,即Vfdx=dv，使積分變?yōu)镴udv；.代公式，Judv=uv-Jvdu,計(jì)算出du=u'dxbvdu,它與不定積分的區(qū)別在于每一項(xiàng)a在定積分的分部積分公式是J“udbvdu,它與不定積分的區(qū)別在于每一項(xiàng)a都帶有積分上、下限.注意公式中uvb是一個(gè)常數(shù)，在計(jì)算中應(yīng)隨時(shí)確定下來(lái)，在計(jì)算(3)a小題時(shí)應(yīng)設(shè)法先去掉被積函數(shù)的絕對(duì)值符號(hào)，這時(shí)需要根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)適當(dāng)?shù)睦枚ǚe分對(duì)區(qū)間的可加性質(zhì).解(1)設(shè)u=x+1,v'=sin2x,則v=-2cos2x,由分部積分公式有J(x+1)sin2xdx=」(x+1)cos2x+Ucos2xdx22-i(x+1)cos2x+isin2x+c

2 4(2)設(shè)u=x,v'=e2,則v=2e2,由定積分分部積分公式有x xJ2xe2dx=2xe202 x x-2J2e2dx=4e-4e2002=4e—4e+4=4(3)因?yàn)閨lnx|=<一lnxlnx1 I<x<1e1<x<e利用積分區(qū)間的可加性得到J"lnx|dx=-J111nxdx+Jelnxdxe e其中第一個(gè)積分為J；lnxdx=xlnx|；J1x-J—dx1xe=1-1+1=2-1

eee第二個(gè)積分為Jelnxdx=xInx|e-J1最后結(jié)果為J"nx|dx=-J:edx=e-e+1=1,12r- 2Inxdx+Jelnxdx=1-—+1=2-—例7計(jì)算下列無(wú)窮限積分:- 1j+ dx；(x+1)3(2)「"e一2xdx；0-1,(3)j+'--dx0xInx分析對(duì)于無(wú)窮限積分J+"f(x)dx的求解步驟為：a(1)求常義定積分jbf(x)dx=F(b)-F(a)；a(2)計(jì)算極限lim[F(b)-F(a)]bf+8極限存在則收斂(或可積)否則發(fā)散.收斂時(shí)積分值等于極限值.解(1)——-——dx=limjb(x+1)3 b-+(?111 dx=lim[-(x+1)-2(x+1)3 b.+8 2-1lim[(b+1)-2-(1+1)-2]=(-：)x(-32b.+8 2 41一8(2)j+8e-3xdx=0limjbe-3xdx=lim[--e-3xb.+80 b.+8 3=lim[--[e-3b-e0]=—

3 3b.