不定積分經(jīng)典習(xí)題

第六次習(xí)題課通過(guò)這一章的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)為應(yīng)達(dá)到如下要求：1、理解原函數(shù)、不定積分的概念。2、掌握不定積分的基本性質(zhì)，牢記基本積分公式，了解并能靈活應(yīng)用若干常用積分公式。3、理解不定積分的換元積分法和分部積分法的基本思想并能熟練運(yùn)用于不定積分的計(jì)4、掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的不定積分的計(jì)算方法和技巧。[一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖?原函數(shù)11.基本概念《不定積分懷定不定積何意的性質(zhì)不、12.性質(zhì)與公式《I fI基本積分公式直接積分法〈 1 f第一換元積分法湊微分法換I 換元積分法《積、|3.計(jì)算方法〈? 〔第二換元積分法分| 1分部積分法f有理函數(shù)積分4.特殊函數(shù)的積分《三角函數(shù)有理式積分某些無(wú)理函數(shù)積分TOC\o"1-5"\h\z[ [求不定積分：arctanex例1.計(jì)算J工-d.2arctanex dexJ，1+7 1。提示： e2x dx=一,arctanede=-[earctane-)e2x(1+e2x)]-2x -2x x=-[e arctanedex

Ui2xdex(1+e2x)]例例2.計(jì)算1一七dx1=-e-2xarctan?x---arctanex+Cex［解一］J1dx=J1d(x+)=1n(x+1 一)+(x+1)2-(1)2(x+1)2-(1)(x+1)2-(1)2

2 2x(1+x)［解二］+C其中C=C1-In2J 2d、x1+(x)=2ln(\x+、1+x)+Ci［方法小結(jié)］當(dāng)被積函數(shù)含有根式時(shí)，通過(guò)巧妙的湊微分化成常用積分公式。=inix+1+/x-rlT+C2,xex例3?計(jì)算J(Fdx［解一］令ex=t，則J-^e^-(ex+1)2=Jlntd(-t+11)=-11nAJ-^e^-(ex+1)2=Jlntd(-t+11)=-11nA+』t+11■-tdt=--lnt-+』廠--］dt=-JnL+Int-in(t+1)+Ct+1tt+1t+1xex-1n(ex+1)xex-1n(ex+1)+Cex+1［解二］J-xexx2(e+1)dx=Jxd(ex+1)Jx2(e+1)x=-ex+1+exex(ex+1)dx=-1、x,J1,

xd( )=- + dxx x xe+1e+1e+1xJdex

ex+1 ex(ex+1)1 1一 xxe+1xex+J(一— )dex=- +inex-1n(exe+1xexee+1e+1-1n(ex+1)+Cex+1［方法小結(jié)］被積函數(shù)中含有ex的不定積分，可令ex=t,從而將積分化為其它易積的積分。另一方面，當(dāng)用分部積分法，其中u,dv難以一步得到時(shí)，可以先將其中一部分湊成/(。(x))d。(x)的形式，從而dv=df(9(x))。arctanx例4計(jì)算J%(1%)dx.2I2

[解一]令arctanx=t，即x=tgt，則dx=sec2tdtfarctanxft f fx2(1+x2)dx=ttamt?sec21sec2tdt-tcot2tdt=t(csc2t一1)dt=-ftdcott-ftdt=-1cott+fcottdt-4t=-tcott+InIsin11--2+C2［解二］arctgx x +InI \1［解二］arctgx x +InI \1+x2一-d」」J2(1+x2) x2 1+x2arctanx?-(arctgx)2+C2、 「』)arctanxdxarctanx，f，，，dx-arctanxdarctanx1(arctanx)2f1(arctanx)2f，,=-Jarctanxdx-12x(1+x)dr_ftdx-— dt=一t+11d(t2+1)=--ln(t2+1)+Carctanx (arctanx)2可7dx- 2arctanx 「 1(arctanx)2=-x+x(1+x2)dx- 2J1+x2I+Carctanx x.(arctanx)2?從而原式=- +InI 1- +C。x <1+x2 2［方法小結(jié)］當(dāng)被積函數(shù)含有難積的反三角函數(shù)時(shí)，通常的做法是將這一部分作變量替換。另若分母為相差一個(gè)常數(shù)的兩個(gè)因式的乘積，則可以將分式拆項(xiàng)，分別積分。_f1+sinx例5.計(jì)算Jdx1+cosx［分析一］本題屬于三角函數(shù)有理式的積分,可以利用萬(wàn)能公式作變量替換。解一令=x，則sinx=2t,cosx=上？,dx=2dt[ ]ttan2 1+12 1+12 1+12f1+sinf1+sinxj1+cosxdx一1+-2- 21+t2 1—t21+t2+ +t2t+21+1〃「J八dt= 1+12 dt=(1+211772)dt=t+ln(1+12)+C=tanx+ln(1+tan2x)+C2 2［分析二］本題被積函數(shù)含有三角函數(shù),若適當(dāng)利用三角函數(shù)恒等式(如倍角、半角公式、和差化積、積化和差等公式)，往往能簡(jiǎn)化計(jì)算。［解二］J1土施XdxJJ1土施XdxJ1+cosx1+2sin2cosx12dx=J1dx+2Jsin2dx=tanX—2InIc0sxI+C2cos2x2cos2x2

2x2cos—2［方法小結(jié)］一般地，被積函數(shù)含有三角函數(shù)時(shí)，常利用萬(wàn)能公式作變量替換或利用三角函數(shù)恒等式進(jìn)行化簡(jiǎn)。前者雖然是通用的方法，但往往不是最簡(jiǎn)便的。另須注意，本題兩種解法給出的結(jié)果雖然不一致，但求導(dǎo)后都等于被積函數(shù)，所以都是正確的。例6.計(jì)算J、(x—a)：b—x)d［分析一］注意到被積函數(shù)中含有兩個(gè)根式，可以先將其中一個(gè)根式有理化，再將余下的根式作變量替換。1 、.x—a［解一］、(x—a)(b—x)=x—a、b—xa+bt2 2(b一a)t八，dx= >>dt,1+t2 (1+t2)21+12 1+12 2(b—a)tx—a(x-a)(b—x)dx=J(b—a)t21(1+12)2dt=2J1+12dt=2arctant+C=2arctadb—x+C［分析二］本題也可以用湊微分法，計(jì)算過(guò)程更為簡(jiǎn)便。［解二］J-［解二］J-1=J3\(x—a)(b—x)" 'b—x.fdx—a x—adx一2\(b-a)-('x-a)2=2arcsin二x+C［方法小結(jié)］當(dāng)被積函數(shù)含有根式時(shí)，常常需要對(duì)根式進(jìn)行處理，通常作變量替換，也可以用湊微分法。例7.計(jì)算J12dx3+sinx［分析一］被積函數(shù)分子、分母同除以sin2x，可化為csc2x的函數(shù)，利用-csc2x-dcotx,csc2x=cot2x+1可以將積分化簡(jiǎn)。J-L［解一］ 3+J-L［解一］ 3+sin2xdx=Jcsc2xdcotx(3csc2x+1)dx-一4 1J3cot2x+4-3Jdcotxcot2x+(二)2\'3cotx=-卜3arctg+cotx32 23sec2x=dtanx可以將積分化簡(jiǎn)。［分析二］被積函數(shù)分子、分母同除以cos2x，可化為sec2x=dtanx可以將積分化簡(jiǎn)。［解二］sec2x—dxsec2x—dx=1后K5dx=1dtanx12tan2x+Qi)2=4\3arctg2tanx\'3+C2［方法小結(jié)］［方法小結(jié)］當(dāng)被積函數(shù)含有sinx或cosx的齊次函數(shù)時(shí)，常從各項(xiàng)中提聰皿2x或cos2x，湊成dtanx或dcotx。1例8.計(jì)算」 dxx氣1+x2［分析一］注意到被積函數(shù)中根式內(nèi)外都有x的冪次［解一］令x=1t，則可嘗試用倒代換。1 t31 t3dtJx4/1+x2dx=-J717Z1Jt2dt2 22\1+12u=tudu1uu+1-1J1+u=-2J1+ududu=-3(1+u)du=-3(1+u)2+(1+u)2+C-3(1+t2)2+(1+t2)2+C~1(1+x2)3v1+x2 + +C3x3 x［分析二］本題也可以用三角代換，令x=tant，則根式下可化為sec2x。從而被積函數(shù)可化為sinx、cosx的函數(shù)。［解二］令x=tant，J1JJ dx=4J J1JJ dx=4J 2x1+x-1Jcos3t J1-sin21Jdt=J dsint=4 4sint sintJdsintJdsint4