足球上的數(shù)學(xué)

足球上的數(shù)學(xué)第一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三問題足球上美麗的構(gòu)圖是如何形成的？在足球上一共有幾個正五邊形？有幾個正六邊形？它們是如何放置的？每個正五邊形和正六邊形的邊長是多少？頂角各是多少度？面積是多少？足球有多少種自身的轉(zhuǎn)動使得足球上的圖案和它初始位置的圖案重合？如何正確地畫出足球的圖案？

第二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三足球上的測地正多邊形足球上正多邊形的邊是什么曲線？為什么它們是球面上的大圓弧？測地線：一般曲面上與“平面上的直線”相對照的曲線。如果曲面有一個到它自身的等距對應(yīng)使得曲線C是該等距對應(yīng)的不動點集，則曲線C是該曲面上的一條測地線。

第三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三在足球上如何放置測地正五邊形和測地正六邊形？在每個測地正五邊形周圍放置五個測地正六邊形。在每個測地正六邊形周圍交替地放置測地正五邊形和測地正六邊形。這樣的安置應(yīng)該與正多面體有關(guān)。關(guān)系是怎樣的？第四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三正多面體的種類正多面體的Euler公式：面數(shù)-棱數(shù)+頂點數(shù)=2正四面體：三邊形，4，6，4，繞頂點面數(shù)3正六面體：四邊形，6，12，8，繞頂點面數(shù)3正八面體：三邊形，8，12，6，繞頂點面數(shù)4正十二面體：五邊形，12，30，20，繞頂點面3正二十面體：三邊形，20，30，12，繞頂點面5第五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三足球圖案的構(gòu)成以正二十面體的中心為球心作球面包圍該多面體。從球心出發(fā)將正二十面體的表面投影到球面上得到球正二十面體，每個面是測地三邊形。圍繞每個頂點有五個測地三邊形。從每個頂點出發(fā)截取一定長度，使測地三邊形截去三個角之后成為測地正六邊形。第六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三正二十面體的十二個頂點十二個頂點落在6條直線上，設(shè)其中一條直線的方向向量是v1=(0,0,1)。其余五個方向圍繞v1均勻分布，并且和v1成角θ，設(shè)為

v2=(sinθ,0,cosθ),v3=(sinθcos2π/5,sinθsin2π/5,cosθ)v4=(sinθcos4π/5,sinθsin4π/5,cosθ)v5=(sinθcos6π/5,sinθsin6π/5,cosθ)v6=(sinθcos8π/5,sinθsin8π/5,cosθ)第七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三正二十面體的十二個頂點(續(xù))條件<v1,v2>=<v3,v4>成為

cosθ=sin2θcos2π/5+cos2θ解方程得到

cosθ=√5/5,θ=1.1071487(弧度)這正是球正二十面體的棱長。￣第八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三球面三角公式設(shè)球面三角形的邊長為α，β，γ，對應(yīng)的頂角是A,B,C。余弦公式：

cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA

cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα

正弦公式：

sinα/sinA=sinβ/sinB=sinγ/sinC第九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三足球上測地正多邊形的邊長考慮球面上頂角A=2π/5、對邊為α(弧度)的等腰測地三角形，其腰長為x(弧度)，底角設(shè)為B。解方程組

cosα=cos2x+sin2xcos2π/5,2x+α=θ=1.1071487.數(shù)值計算求解：x=0.3504054(弧度)，

邊長

α=0.4063379(弧度)。第十頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三足球上的數(shù)據(jù)球面正五邊形個數(shù)：12球面正六邊形個數(shù)：20總棱數(shù)：90=(125+206)/2總頂點數(shù)：60=(125+206)/3邊長：α=0.4063379(弧度)正五邊形頂角：2B=1.9439694(弧度)正六邊形頂角：π-B=2.169608(弧度)第十一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三足球上的數(shù)據(jù)(續(xù))測地正五邊形面積：

5(π-1.9439694)-2π=0.2950691(平方單位)測地正六邊形面積：

6(π-2.169608)-2π=0.4512774(平方單位)Gauss-Bonnet公式：在單位球面上測地多邊形的面積等于測地多邊形的外角之和與2π之差。第十二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三正二十面體群正二十面體在空間中保持它占有同一空間位置的轉(zhuǎn)動共有60種，其中：繞6對相對頂點連線作2π/5,4π/5,6π/5,8π/5旋轉(zhuǎn)，共24種。繞10對相對面中心連線作2π/3,4π/3旋轉(zhuǎn)，共20種。繞15對相對棱中心連線作π旋轉(zhuǎn)，共15種。一動不動的旋轉(zhuǎn)，1種。第十三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三足球群讓足球轉(zhuǎn)動保持前后位置的足球圖案完全重合的旋轉(zhuǎn)和正二十面體群是一致的，它們是：繞6對相對正五邊形中心連線作2π/5,4π/5,6π/5,8π/5旋轉(zhuǎn)，共24種。繞10對相對正六邊形中心連線作2π/3,4π/3旋轉(zhuǎn)，共20種。繞15對相對的正六邊形公共棱的中心連線作π旋轉(zhuǎn)，共15種。一動不動的旋轉(zhuǎn)，1種。第十四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三思考題足球的上述60種旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個群，也就是接連做任意兩個這種旋轉(zhuǎn)，得到的還是屬于其中的一種旋轉(zhuǎn)。問題：求任意兩個這種旋轉(zhuǎn)接連做的結(jié)果(首先將各種旋轉(zhuǎn)適當(dāng)編號)。第十五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三如何畫出足球的圖案？足球上共有60個頂點。如果我們能夠求得這60個頂點的坐標，則不難用計算機畫出足球的平面投影圖。問題：如何計算各頂點的坐標？第十六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三頂點坐標的計算假定初始的正二十面體的12個頂點如前面的計算那樣放置。將足球上60個頂點從上到下分層編號，上半球面的30個點是：

v11,v12,v13,v14,v15,v21,v22,v23,v24,v25,v31,v32,v33,v34,v35,v36,v37,v38,v39,v310,v41,v42,v43,v44,v45,v46,v47,v48,v48,v410.

利用已知數(shù)據(jù)和足球的旋轉(zhuǎn)可以從上到下求出各點坐標。第十七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三足球上頂點的坐標v11=(0.343,0,0.939)v12=(0.106,0.326,0.939)v13=(-0.278,0.202,0.939)v14=(-0.278,-0202,0.939)v15=(0.106,-0.326,0.939)第十八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三足球上頂點的坐標(續(xù)1)v21=(0.687,0,0.727)v22=(0.212,0.653,0.727)v23=(-0.555,0.403,0.727)v24=(-0.555,-0.403,0.727)v25=(0.212,-0.653,0.727)第十九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三足球上頂點的坐標(續(xù)2)v31=(0.793,-0.326,0.515)v41=(0.965,-0.202,0.172)v42=(0.965,0.202,0.172)v32=(0.793,0.326,0.515)v33=(0.555,0.654,0.515)v34=(-0.065,0.855,0.515)v35=(-0.450,0.730,0.515)v36=(-0.833,0.202,0.515)v37=(-0.833,-0.202,0.515)v38=(-0.450,-0.730,0.515)第二十頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三足球上頂點的坐標(續(xù)3)v39=(-0.065,-0.855,0.515)v310=(0.555,-0.654,0.515)v43=(0.490,0.855,0.172)v44=(0.106,0