相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用 省賽獲獎

1、如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過原點O，點P是第一象限內(nèi)直線l上的點，過點P作PA垂直y軸于點A，點P的橫坐標(biāo)為1，點B的橫坐標(biāo)為5，PB⊥PO，交x軸于點B．（1）試說明PO2=PA?OB；（2）點M為x軸上的動點，若有△AOM與△POB相似，求M的坐標(biāo)．2、3、4、5、如圖，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E．（1）求證：AB?AF＝CB?CD；（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射線DE上的動點．設(shè)DP＝xcm（x>0），四邊形BCDP的面積為ycm2．①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)x為何值時，△PBC的周長最小，并求出此時y的值．6、如圖，已知點A與點B的坐標(biāo)分別為（4，0）和（0，2）（1）求直線AB的解析式；（2）過點C（2，0）的直線與x軸不重合，與△AOB的另一邊相交于點P，若截得的三角形與△AOB相似，求點P的坐標(biāo)。7、等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，O為BC的中點，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點落在點O，三角板繞O點旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖a，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時．求證：△BOE∽△CFO；

（2）操作：將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)到圖b情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F．

①探究1：△BOE與△CFO還相似嗎？（只需寫出結(jié)論）

②探究2：連結(jié)EF，△COF∽△OEF嗎？請說明理由．

提示：體會這個圖形的“模型”

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BCADEPHCEPAD拓展提高1.如圖，梯形ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=10，在線段BC上任取點P，作射線PE⊥PD，與線段AB交于點E.

（1）試確定CP=5時點E的位置；

（2）若設(shè)CP=x，BE=y，試寫出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍.Q2.如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點.（1）求此拋物線的解析式；（2）拋物線上有一點P，滿足∠PBC=90°，求點P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，問在y軸上是否存在點E，使得以A、O、E為頂點的三角形與⊿PBC相似？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.ABPCOxyX=4236拓展提高3、如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，則△ABC的邊長為（）A．9B．12C．15D．18（第5題圖）4、如圖,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,點D是BC邊上的一個動點(不與B、C重合），在AC上取一點E，使∠ADE=45°ABCDE（1）求證：△ABD∽△DCE（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并求出當(dāng)BD為何值時AE取得最小值（3）當(dāng)△ADE是等腰三角形時，求AE的長14.4相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用（1）回顧：相似三角形的判定方法共有哪些？3、有兩個角對應(yīng)相等的判定方法

4、有兩邊及夾角的判定方法5、有三邊對應(yīng)成比例的判定方法

1、根據(jù)定義判定相似三角形的性質(zhì)有哪些？相似三角形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等2、平行于三角形一邊的判定方法（A型和X型）如圖，△ABC～△A1B1C1，相似比為，求這兩個三角形的角平分線AD和A1D1的比思考：相似三角形對應(yīng)邊上的中線之比，高之比仍等于相似比嗎？例1：相似三角形對應(yīng)角的角平分線之比，對應(yīng)邊上的中線之比，對應(yīng)邊上的高之比，都等于相似比結(jié)論：鞏固練習(xí)：1、兩個相似三角形的對應(yīng)高線之比為1：2，那么它們的對應(yīng)中線之比為______A、1:2B、1：3C、1：4D、1：82、△ABC～△A1B1C1,相似比AB︰A1B1=3:4,D,D1分別是BC和B1C1上的點，且BD=BC,B1D1=B1C1,則AD與A1D1的比為_______3、如圖，在△ABC中，D,E,F分別是AB,AC,BC上的點，DE∥BC，BF=CF,AF交DE于點G，求證：DG=EG4、如圖，在△ABC中，D,E分別是AB，AC上的點，△ADE～△ACB，相似比為AD:AC=2:3,△ABC的角平分線AF交DE于點G，交BC于點F，求AG與GF的比ABCEDG5、ΔABC中，AE是角平分線，D是AB上的一點，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且AC=2AD.則ΔACD∽Δ______.它們的相似比k=_______,ABC2例2：如圖，BD，CE是△ABC的兩條中線，P是它們的交點，求證：結(jié)論：三角形的三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心三角形的重心分每條中線成1：2的兩條線段1、如圖，AD為△ABC的一條中線，P為△ABC的重心，EF∥BC,交AB，AC于點E，交AD于點P，則EF與BC的比為________鞏固練習(xí)：2、如圖，在△ABC中，D是△ABC的重心，S△DEF=2，則△AEC的面積為_______鞏固練習(xí)：2=3、如圖，在△ABC中，中線AD，BE相交于