新教材2023版高中數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用7導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)案北師大版選擇性必修第二冊(cè)

§7導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用7．1實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義7．2實(shí)際問題中的最值問題最新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科核心素養(yǎng)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決一些實(shí)際問題．1.了解實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義．(數(shù)學(xué)抽象)2．利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最值問題．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義在日常生活和科學(xué)領(lǐng)域中，有許多需要用導(dǎo)數(shù)概念來(lái)理解的量．以中學(xué)物理為例，速度是________關(guān)于________的導(dǎo)數(shù)，線密度是________關(guān)于________的導(dǎo)數(shù)，功率是________關(guān)于________的導(dǎo)數(shù)等．要點(diǎn)二最優(yōu)化問題在實(shí)際問題中，經(jīng)常會(huì)遇到解決一些如面積最小、體積最大、成本最低、時(shí)間最少等問題，這些問題通稱為最優(yōu)化問題．導(dǎo)數(shù)是解決最優(yōu)化問題的一個(gè)重要工具．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．如果物體做直線運(yùn)動(dòng)的方程為s(t)＝2(1－t)2，則其在t＝4s時(shí)的瞬時(shí)速度為()A．12B．－12C．4D．－42．將8分為兩數(shù)之和，使其立方之和為最小，則分法為()A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不對(duì)3．要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則高為()A．33B．C．1633D4．某吊裝設(shè)備在工作時(shí)做的功W(單位：J)是時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)，設(shè)這個(gè)函數(shù)可表示為W(t)＝t3－2t＋6，則在t＝2時(shí)此設(shè)備的功率為________W．題型一導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的意義例1如圖所示，某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn)，他所做的功W(單位：J)是時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)，設(shè)這個(gè)函數(shù)可以表示為W(t)＝t3－6t2＋16t.(1)求t從1s變到3s時(shí)，功W關(guān)于時(shí)間t的平均變化率，并解釋它的實(shí)際意義；(2)求W′(1)，W′(2)，并解釋它們的實(shí)際意義．方法歸納函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義1．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)反映了函數(shù)在這點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，它揭示了事物在某時(shí)刻的變化狀況，導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物的瞬時(shí)變化率．2．導(dǎo)數(shù)可以刻畫實(shí)際問題中兩個(gè)變量變化的快慢程度；在應(yīng)用時(shí)我們首先要建立函數(shù)模型，利用定義或公式法則求出導(dǎo)數(shù)并能結(jié)合實(shí)際問題解釋導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義．跟蹤訓(xùn)練1已知某商品生產(chǎn)成本c與產(chǎn)量q(0<q<200)的函數(shù)關(guān)系為c＝100＋4q，價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系為p＝25－18q，求利潤(rùn)L關(guān)于產(chǎn)量q的關(guān)系式，用L＝f(q)表示，并計(jì)算f′(80)題型二實(shí)際問題中的最值問題例2某地需要修建一條大型輸油管道通過(guò)720千米寬的荒漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)．經(jīng)預(yù)算，修建一個(gè)增壓站的工程費(fèi)用為108萬(wàn)元，鋪設(shè)距離為x千米的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費(fèi)用為(2＋x)x萬(wàn)元．設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬(wàn)元．(1)試將y表示成關(guān)于x的函數(shù)；(2)需要修建多少個(gè)增壓站才能使總費(fèi)用y最小？方法歸納利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問題．當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′(x)＝0時(shí)，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道在這個(gè)點(diǎn)取得最大(小)值．跟蹤訓(xùn)練2某商場(chǎng)為了獲得更大的利潤(rùn)，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t(百萬(wàn)元)，可增加的銷售額為－t2＋5t(百萬(wàn)元)(0≤t≤3)．(1)若該商場(chǎng)將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在三百萬(wàn)元以內(nèi)，則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi)，才能使公司由廣告費(fèi)而產(chǎn)生的收益最大．(注：收益＝銷售額－投入費(fèi)用)(2)現(xiàn)在該商場(chǎng)準(zhǔn)備投入三百萬(wàn)元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造．經(jīng)預(yù)算，每投入技術(shù)改造費(fèi)x(百萬(wàn)元)，可增加的銷售額約為-13x3＋x2＋3x題型三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題角度1證明問題例3設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a>ln2－1且x>0時(shí)，ex>x2－2ax＋1.構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ex－x2＋2ax－1.方法歸納關(guān)于證明問題首先分析要證明的命題是否與函數(shù)的最值、單調(diào)性等性質(zhì)有關(guān)，如果有關(guān)則轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的問題證明；其次是針對(duì)要證明的命題構(gòu)造函數(shù)，再通過(guò)構(gòu)造的函數(shù)性質(zhì)證明，函數(shù)的證明問題往往都比較復(fù)雜，需要綜合應(yīng)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)進(jìn)行構(gòu)造、轉(zhuǎn)化等方式證明．角度2函數(shù)的零點(diǎn)問題例4若函數(shù)f(x)＝ex－ax2，a∈R在(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．方法歸納已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的常用方法(1)分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．跟蹤訓(xùn)練3(1)若函數(shù)f(x)＝lnx＋1x－a有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為________(2)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù))的圖象在(0，1)處的切線斜率為－1.①求a的值及函數(shù)f(x)的極值；②證明：當(dāng)x>0時(shí)，x2<ex.易錯(cuò)辨析求解實(shí)際應(yīng)用問題忽視定義域例5現(xiàn)有一批貨物由海上A地運(yùn)往B地，已知輪船的最大航行速度為35kn，A地與B地之間的航行距離約為500nmile，每小時(shí)的運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)和其余費(fèi)用組成，輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6)，其余費(fèi)用為每小時(shí)960元．(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度x(kn)的函數(shù)；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，輪船應(yīng)以多大速度行駛？解析：(1)依題意得y＝500x(960＋0.6x2)＝480000x＋300x，函數(shù)的定義域?yàn)?0，35]，即y＝480000x＋300x(0<x(2)因?yàn)閥＝480000x＋300x(0<x≤35)所以y′＝－480000x2令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?0，35]，當(dāng)0<x≤35時(shí)，y′<0，所以函數(shù)y＝480000x＋300x在區(qū)間(0，35]所以當(dāng)x＝35時(shí)，函數(shù)y＝480000x＋300x所以為了使全程運(yùn)輸成本最小，輪船應(yīng)以35kn的速度行駛．【易錯(cuò)警示】出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得誤認(rèn)為輪船的最大航行速度是40kn，但題目中給出了輪船的最大航行速度是35kn，因此x＝40是取不到的．解應(yīng)用題最關(guān)鍵的就是要準(zhǔn)確寫出數(shù)學(xué)模型的函數(shù)關(guān)系式，這其中就包括函數(shù)的定義域．求定義域時(shí)一定要根據(jù)題目的條件，考慮自變量的實(shí)際意義．[課堂十分鐘]1．某旅游者爬山的高度h(單位：m)關(guān)于時(shí)間t(單位：h)的函數(shù)關(guān)系式是h＝－100t2＋800t，則他在t＝2h這一時(shí)刻的高度變化的速度是()A．500m/hB．1000m/hC．400m/hD．1200m/h2．用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，當(dāng)所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四角截去的正方形的邊長(zhǎng)為()A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm3．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x＋m只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．-B．(－∞，－2)∪C．-D．-4．某生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為1萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)產(chǎn)品需增加投入0.5萬(wàn)元．已知銷售收入R(x)(萬(wàn)元)滿足R(x)＝－18x3＋98x2＋12x(其中x是該產(chǎn)品的月產(chǎn)量，單位：百臺(tái)，0<x<8)5．設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－x＋1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，1<x-§7導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用7．1實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義7．2實(shí)際問題中的最值問題新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一路程時(shí)間質(zhì)量長(zhǎng)度功時(shí)間[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：s′(t)＝－4(1－t)．t＝4s時(shí)，s′(4)＝12.所以瞬時(shí)速度為12.故選A.答案：A2．解析：設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為8－x，y＝x3＋(8－x)3，0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，得x＝4.當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y′<0；當(dāng)4<x≤8時(shí)，y′>0.所以當(dāng)x＝4時(shí)，y最?。蔬xB.答案：B3．解析：設(shè)圓錐的高為xcm，體積為V(x)，則底面半徑為202-V(x)＝13πx(202－x2)(0<x<20)∴V′(x)＝13π(400－3x2)令V′(x)＝0，解得x＝203當(dāng)0<x<2033時(shí)，V′(x當(dāng)2033<x<20時(shí)，V′(x∴當(dāng)x＝2033時(shí)，V(x故選D.答案：D4．解析：W′(t)|t＝2＝(3t2－2)|t＝2＝10.答案：10題型探究·課堂解透題型一例1解析：(1)當(dāng)t從1s變到3s時(shí)，功W從W(1)＝11J變到W(3)＝21J，此時(shí)功W關(guān)于時(shí)間t的平均變化率為W3-W1它表示從t＝1s到t＝3s這段時(shí)間，這個(gè)人平均每秒做功5J.(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則可得W′(t)＝3t2－12t＋16，于是，W′(1)＝7J/s，W′(2)＝4J/s.W′(1)和W′(2)分別表示t＝1s和t＝2s時(shí)，這個(gè)人每秒做的功分別為7J和4J．跟蹤訓(xùn)練1解析：∵f(q)＝p×q－c＝25-18q×q－(100＋∴f(q)＝－18q2＋21q－100(0<q<200)∴f′(q)＝－14q＋21，∴f′(80)＝－14×80＋21說(shuō)明產(chǎn)量q＝80時(shí)，產(chǎn)量每增加1，利潤(rùn)也增加1.題型二例2解析：(1)設(shè)需要新建n個(gè)增壓站，且(n＋1)x＝720，即n＝720x－1則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝f(x)＝108n＋(n＋1)(2＋x)x＝108×720x-1+720＝77760x＋720x＋1332(2)由(1)知，f(x)＝77760x＋720x＋1332f′(x)＝－77760x令f′(x)＝0，得x32＝216，解得x＝當(dāng)0<x<36時(shí)，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(0，36)內(nèi)為減函數(shù)，當(dāng)36<x<720時(shí)，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(36，720)內(nèi)為增函數(shù)，所以f(x)在x＝36處取得最小值，此時(shí)n＝72036－1＝19，即需要新建19個(gè)增壓站才能使y跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)設(shè)投入廣告費(fèi)t(百萬(wàn)元)后由此增加的收益為f(t)(百萬(wàn)元)，則f(t)＝－t2＋5t－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．所以當(dāng)t＝2時(shí)，f(t)max＝4，即當(dāng)商場(chǎng)投入兩百萬(wàn)元廣告費(fèi)時(shí)，才能使商場(chǎng)由廣告費(fèi)而產(chǎn)生的收益最大．(2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬(wàn)元)，則用于廣告促銷的費(fèi)用為(3－x)(百萬(wàn)元)，則由此兩項(xiàng)所增加的收益為g(x)＝－13x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝-13x3對(duì)g(x)求導(dǎo)，得g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．當(dāng)0<x<2時(shí)，g′(x)>0，即g(x)在[0，2)上單調(diào)遞增；當(dāng)2<x<3時(shí)，g′(x)<0，即g(x)在(2，3]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝2時(shí)，g(x)max＝g(2)＝253故在三百萬(wàn)資金中，兩百萬(wàn)元用于技術(shù)改造，一百萬(wàn)元用于廣告促銷，這樣商場(chǎng)由此所增加的收益最大，最大收益為253題型三例3解析：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)2(1－ln2＋a)故f(x)單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，＋∞)．f(x)在x＝ln2處取得極小值，極小值f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)，無(wú)極大值．(2)證明：設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知當(dāng)a>ln2－1時(shí)，g′(x)最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是對(duì)任意x∈R，都有g(shù)′(x)>0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增．于是當(dāng)a>ln2－1時(shí)，對(duì)任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>g(0)．又g(0)＝0，從而對(duì)任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.例4解析：由f(x)＝0可得1a＝x令k(x)＝x2ex(x∈(0，＋則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即直線y＝1a與函數(shù)k(x)的圖象在(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，k′(x)＝2x-x2ex＝x2-xex，令當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，k′(x)>0，當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，k′(x)<0，所以k(x)在(0，2)上單調(diào)遞增，在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，所以k(x)在(0，＋∞)上的最大值為k(2)＝4e因?yàn)閗(0)＝0，并且當(dāng)x>2時(shí)，x2e所以當(dāng)0<1a<4e2時(shí)，k(x)在(0，＋∞)上的圖象與直線y即當(dāng)a>e24時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞所以，若函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是e2跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)由f(x)＝lnx＋1x－a，(0<x<1)，則f′(x)＝1x-令f′(x)≥0，解得x≥1，令f′(x)<0，解得0<x<1，所以函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在1，所以f(x)在x＝1時(shí)取得極小值．所以函數(shù)f(x)＝lnx＋1x－a只需f(1)＝0，即1－a＝0，解得a＝1.(2)①由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.因?yàn)閒′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln2，當(dāng)x<ln2時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(－∞，ln2)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>ln2時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增．所以當(dāng)x＝ln2時(shí)，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－2ln2，f(x)無(wú)極大值．②證明：令g(x)＝ex－x2，則g′(x)＝ex－2x.由①得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，故g(x)在R上單調(diào)遞增．所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>g(0)＝1>0，即x2<ex.答案：(1)1(2)見解析[課堂十分鐘]1．解析：∵h(yuǎn)′＝－200t＋800，∴當(dāng)t＝2h時(shí)，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．故選C.答案：C2．解析：設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，鐵盒的容積為Vcm3，由題意，得V＝x(48－2x)2