傅里葉變換本質(zhì)及其公式解析

PAGE6傅里葉變換的本質(zhì)傅里葉變換的公式為可以把傅里葉變換也成另外一種形式：可以看出，傅里葉變換的本質(zhì)是內(nèi)積，三角函數(shù)是完備的正交函數(shù)集，不同頻率的三角函數(shù)的之間的內(nèi)積為0，只有頻率相等的三角函數(shù)做內(nèi)積時(shí)，才不為0。下面從公式解釋下傅里葉變換的意義因?yàn)楦道锶~變換的本質(zhì)是內(nèi)積，所以f(t)和求內(nèi)積的時(shí)候，只有f(t)中頻率為的分量才會(huì)有內(nèi)積的結(jié)果，其余分量的內(nèi)積為0?？梢岳斫鉃閒(t)在上的投影，積分值是時(shí)間從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的積分，就是把信號(hào)每個(gè)時(shí)間在的分量疊加起來(lái)，可以理解為f(t)在上的投影的疊加，疊加的結(jié)果就是頻率為的分量，也就形成了頻譜。傅里葉逆變換的公式為下面從公式分析下傅里葉逆變換的意義傅里葉逆變換就是傅里葉變換的逆過(guò)程，在和求內(nèi)積的時(shí)候，只有t時(shí)刻的分量?jī)?nèi)積才會(huì)有結(jié)果，其余時(shí)間分量?jī)?nèi)積結(jié)果為0，同樣積分值是頻率從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的積分，就是把信號(hào)在每個(gè)頻率在t時(shí)刻上的分量疊加起來(lái)，疊加的結(jié)果就是f(t)在t時(shí)刻的值，這就回到了我們觀察信號(hào)最初的時(shí)域。對(duì)一個(gè)信號(hào)做傅里葉變換，然后直接做逆變換，這樣做是沒(méi)有意義的，在傅里葉變換和傅里葉逆變換之間有一個(gè)濾波的過(guò)程。將不要的頻率分量給濾除掉，然后再做逆變換，就得到了想要的信號(hào)。比如信號(hào)中摻雜著噪聲信號(hào)，可以通過(guò)濾波器將噪聲信號(hào)的頻率給去除，再做傅里葉逆變換，就得到了沒(méi)有噪聲的信號(hào)。優(yōu)點(diǎn)：頻率的定位很好，通過(guò)對(duì)信號(hào)的頻率分辨率很好，可以清晰的得到信號(hào)所包含的頻率成分，也就是頻譜。缺點(diǎn)：因?yàn)轭l譜是時(shí)間從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的疊加，所以，知道某一頻率，不能判斷，該頻率的時(shí)間定位。不能判斷某一時(shí)間段的頻率成分。例子：平穩(wěn)信號(hào)：x(t)=cos(2*pi*5*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*50*t)傅里葉變換的結(jié)果：由于信號(hào)是平穩(wěn)信號(hào)，每處的頻率都相等，所以看不到傅里葉變換的缺點(diǎn)。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)：信號(hào)是余弦信號(hào)，仍然有四個(gè)頻率分量當(dāng)窗函數(shù)選為：時(shí)，短時(shí)傅里葉變換為：由上圖可以看出，時(shí)域的分辨率比較好，但是頻率出現(xiàn)一定寬度的帶寬，也就是說(shuō)頻率分辨率差;當(dāng)窗函數(shù)選擇為：時(shí)，短時(shí)傅里葉變換為：由上圖可以看出，頻