第八章§8.5.3 平面與平面平行-高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊 課件（共44張PPT）

8.5.3平面與平面平行第八章

§8.5空間直線、平面的平行學(xué)習(xí)目標1.理解并掌握平面與平面平行的判定定理.(重點)2.理解并掌握平面與平面平行的性質(zhì)定理.(難點)導(dǎo)語前面我們研究了空間中直線與平面的位置關(guān)系，并從文字語言、圖形語言、符號語言進行了表述.類似于直線與平面平行的判定，我們是不是可以把平面與平面平行的問題轉(zhuǎn)化為直線與平面平行的問題呢？一、平面與平面平行的判定定理二、平面與平面平行的性質(zhì)定理三、平行關(guān)系的綜合應(yīng)用隨堂演練內(nèi)容索引平面與平面平行的判定定理

一問題1如圖(1)，a和b分別是矩形硬紙片的兩條對邊所在直線，它們都和桌面平行，那么硬紙片和桌面平行嗎？如圖(2)，c和d分別是三角尺相鄰兩邊所在直線，它們都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行嗎？提示三角尺和桌面一定平行，硬紙片不一定平行.即如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.知識梳理平面與平面平行的判定定理文字語言如果一個平面內(nèi)的

與另一個平面平行，那么這兩個平面平行符號語言a?β，

，

，

，b∥α?β∥α兩條相交直線b?βa∩b＝Pa∥α圖形語言

例1

(1)已知α，β是兩個不重合的平面，在下列條件下，可判定α∥β的是A.α，β都平行于直線l，mB.α內(nèi)有三個不共線的點到β的距離相等C.l，m是α內(nèi)的兩條直線且l∥β，m∥βD.l，m是異面直線且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β√對A，當α∩β＝a，l∥m∥a時，不能推出α∥β；對B，當α∩β＝a，且在平面α同側(cè)有兩點，另一側(cè)有一個點，三點到平面β的距離相等時，不能推出α∥β；對C，當l∥m時，不能推出α∥β；對D，∵l，m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，∴α內(nèi)存在兩條相交直線與平面β平行，故可得α∥β.(2)(課本140頁例4)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，求證：平面AB1D1∥平面BC1D.∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，∴D1C1綉A1B1，AB綉A1B1，∴D1C1綉AB.∴四邊形D1C1BA為平行四邊形.∴D1A∥C1B.又D1A?平面BC1D，C1B?平面BC1D，∴D1A∥平面BC1D.同理D1B1∥平面BC1D.又D1A∩D1B1＝D1，D1A，D1B1?平面AB1D1，∴平面AB1D1∥平面BC1D.延伸探究在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，求證：平面AMN∥平面BDEF.連接B1D1，NE，如圖所示.∵在△B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為C1D1，B1C1的中點，∴EF∥B1D1，同理MN∥B1D1，∴MN∥EF，又∵EF?平面BDEF，MN?平面BDEF，∴MN∥平面BDEF.在正方形A1B1C1D1中，N，E分別為A1B1，C1D1的中點，∴NE綉A1D1，又∵A1D1綉AD，∴NE綉AD，∴四邊形ADEN是平行四邊形，∴AN∥DE，又∵AN?平面BDEF，DE?平面BDEF，∴AN∥平面BDEF，又∵AN∩MN＝N且AN，MN?平面AMN，∴平面AMN∥平面BDEF.反思感悟(1)在判定兩個平面是否平行時，一定要強調(diào)一個平面內(nèi)的“兩條相交直線”這個條件，線不在多，相交就行.(2)平面與平面平行的判定方法①定義法：兩個平面沒有公共點.②判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面.③轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β.④利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.跟蹤訓(xùn)練1(1)如果一個銳角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，下列結(jié)論一定成立的是A.這兩個角相等B.這兩個角互補C.這兩個角所在的兩個平面平行D.這兩個角所在的兩個平面平行或重合√(2)如圖，在四棱錐P－ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點，DC∥AB，求證：平面PAB∥平面EFG.∵E，G分別是PC，BC的中點，∴EG∥PB，又∵EG?平面PAB，PB?平面PAB，∴EG∥平面PAB，∵E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，∴平面PAB∥平面EFG.平面與平面平行的性質(zhì)定理

二問題2若兩平面α與β平行，那么平面α內(nèi)的直線a與平面β有何位置關(guān)系？平面α內(nèi)的直線a與平面β內(nèi)的任一直線b有何位置關(guān)系？何時a與b平行？提示直線a與平面β平行.直線a與平面β內(nèi)的任一直線b平行或異面.當a與b不異面，即在同一個平面內(nèi)時，a與b平行.問題3你能證明你得到的結(jié)論嗎？提示如圖，平面α∥β，平面γ分別與平面α，β相交于直線a，b.∵α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a?α，b?β.又α∥β，∴a，b沒有公共點.又a，b同在平面γ內(nèi)，∴a∥b.知識梳理兩個平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線_____符號語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?______圖形語言

平行a∥b例2(課本141頁例5)求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等.如圖，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，求證：AB＝CD.證明：過平行線AB，CD作平面γ，與平面α和β分別相交于AC和BD.∵α∥β，∴BD∥AC，又AB∥CD，∴四邊形ABDC是平行四邊形.∴AB＝CD.反思感悟利用面面平行的性質(zhì)定理判斷兩直線平行的步驟(1)先找兩個平面，使這兩個平面分別經(jīng)過這兩條直線中的一條.(2)判定這兩個平面平行(此條件有時題目會直接給出).(3)再找一個平面，使這兩條直線都在這個平面上.(4)由定理得出結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練2

如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點，M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接NF，求證：NF∥CM.因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB.又DE?平面ABC，AB?平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF?平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

三例3

如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別是BC，C1D1，AD1，BD的中點.(1)求證：PQ∥平面DCC1D1；如圖，連接AC，CD1.因為四邊形ABCD是正方形，且Q是BD的中點，所以Q是AC的中點，又P是AD1的中點，所以PQ∥CD1.又PQ?平面DCC1D1，CD1?平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.(2)求PQ的長；(3)求證：EF∥平面BB1D1D.方法一

取B1D1的中點O1，連接FO1，BO1，如圖所示，所以BE∥FO1，BE＝FO1，所以四邊形BEFO1為平行四邊形，所以EF∥BO1.又EF?平面BB1D1D，BO1?平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.方法二

取B1C1的中點E1，連接EE1，F(xiàn)E1，如圖所示，則有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1，F(xiàn)E1，EE1?平面EE1F，B1D1，BB1?平面BB1D1D，所以平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF?平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.反思感悟線線平行、線面平行、面面平行是一個有機的整體，平行關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理是轉(zhuǎn)化平行關(guān)系的關(guān)鍵，其內(nèi)在聯(lián)系如圖所示：跟蹤訓(xùn)練3

如圖，已知平面α∥平面β，P?α且P?β，過點P的直線m與α，β分別交于A，C，過點P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長.∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，課堂小結(jié)1.知識清單：(1)平面與平面平行的判定定理.(2)平面與平面平行的性質(zhì)定理.(3)平行關(guān)系的綜合應(yīng)用.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū)：平面與平面平行的條件不充分.隨堂演練

1.已知直線m，n，平面α，β，若α∥β，m?α，n?β，則直線m與n的關(guān)系是A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面√1234∵α∥β，∴α與β無公共點，又m?α，n?β，∴m與n無公共點，∴m與n平行或異面.2.a是平面α外一條直線，過a作平面β，使α∥β，這樣的βA.只能作一個 B.至少可以作一個C.不存在 D.至多可以作一個√12341234當a∥α?xí)r，過a作平面β，使得β∥α，由平面與平面平行的性質(zhì)得這樣的平面β有且只有1個.當a與α相交時，設(shè)a與α的交點為P，根據(jù)題意知，P∈β，P