Riemann 猜想漫談 (十七)

Riemann猜測(cè)漫談（十七）盧昌海三十.監(jiān)獄來(lái)信在前面各節(jié)中，我們介紹了數(shù)學(xué)家們?cè)谧C明Riemann猜測(cè)的漫長(zhǎng)征途上所做過(guò)的多方面的嘗試。這些嘗試有些是數(shù)值計(jì)算，它們雖然永遠(yuǎn)也不可能證明Riemann猜測(cè)，卻有可能通過(guò)發(fā)現(xiàn)反例而否證Riemann猜測(cè) 當(dāng)然，迄今為止并未有人發(fā)現(xiàn)反例；有些那么是解析研究，它們具有證明Riemann猜測(cè)的潛力，但迄今為止距離目標(biāo)還很遙遠(yuǎn)。如果小結(jié)一下的話，那么這兩類(lèi)嘗試雖然很不相同，卻都可以被歸為直接手段，因?yàn)樗鼈兊哪繕?biāo)都是Riemann猜測(cè)本身。既然這兩類(lèi)直接手段都遇到了困難，那我們不妨來(lái)問(wèn)這樣一個(gè)問(wèn)題：除這些直接手段外，還有沒(méi)有別的手段可以幫我們研究Riemann猜測(cè)，或至少帶給我們一些啟示呢？答案是肯定的。事實(shí)上，Riemann猜測(cè)雖然是一個(gè)極為艱深的難題，但這種長(zhǎng)時(shí)間無(wú)法解決的難題在科學(xué)上是并不鮮見(jiàn)的?？茖W(xué)家們對(duì)付這種難題的大思路其實(shí)很簡(jiǎn)單，那就是直接手段行不通時(shí)，就采用間接手段。當(dāng)然，大思路雖然簡(jiǎn)單，具體采取什么樣的間接手段，可就大有講究了。一般來(lái)說(shuō)，常用的間接手段有兩類(lèi)：第一類(lèi)是研究與原問(wèn)題相等價(jià)的問(wèn)題一一那樣的問(wèn)題一旦被解決，原問(wèn)題自然也就解決了［注一］;第二類(lèi)那么是研究與原問(wèn)題相類(lèi)似、但卻更簡(jiǎn)單的問(wèn)題一一這類(lèi)手段雖不能解決原問(wèn)題，卻有可能帶給我們啟示。更重要的是，在原問(wèn)題實(shí)在太艱深時(shí)，這類(lèi)手段往往比其它手段更具可行性。就目前我們對(duì)Riemann猜測(cè)的了解而言，它看來(lái)是屬于那種“原問(wèn)題實(shí)在太艱深〃的情形，因此我們要介紹的間接手段是“往往比其它手段更具可行性〃的第二類(lèi)間接手段。這類(lèi)手段在科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用。比方物理學(xué)家們遇到很困難的三維空間中的問(wèn)題時(shí)，往往轉(zhuǎn)而研究二維、一維，甚至零維空間中與原問(wèn)題相類(lèi)似的問(wèn)題。又比方生物學(xué)家們從事一些不宜在人體上作嘗試的研究時(shí)，往往轉(zhuǎn)而用動(dòng)物作為研究對(duì)象。最近比擬熱門(mén)的用凝聚態(tài)體系模擬根底問(wèn)題的做法，也是第二類(lèi)間接手段的例子［注二］。這類(lèi)手段通俗地講，其實(shí)就是研究“山寨版〃的問(wèn)題。只不過(guò)與經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的“山寨版〃產(chǎn)品被四處喊打不同，科學(xué)領(lǐng)域中的“山寨版〃問(wèn)題不僅不違規(guī)，對(duì)它們的研究還廣受鼓勵(lì)。有時(shí)候，在“山寨版〃問(wèn)題上的突破，甚至能成為重大的科學(xué)成就，并獲得重大的科學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)。Riemann猜測(cè)就是一個(gè)很好的例子，它的艱深與重要，使得“山寨版〃的Riemann猜測(cè)也“雞犬升天〃，變成了非同小可的問(wèn)題，研究或解決它的數(shù)學(xué)家甚至可以獲得數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng)，堪稱(chēng)是史上最牛的“山寨版〃［注三］。為了介紹這種史上最牛的“山寨版〃，讓我們把時(shí)光暫時(shí)拉回到1940年。1940年4月，著名的法國(guó)幾何學(xué)家lieCartan(1869-1951)收到了一封奇怪的信件，它的寄信人地址是位于法國(guó)海濱城市Rouen的一座軍事監(jiān)獄。一位著名數(shù)學(xué)家居然收到一封來(lái)自監(jiān)獄的信件，那會(huì)是什么樣的信件呢？照常理來(lái)說(shuō)，最大的可能性是某位民間“科學(xué)家〃(簡(jiǎn)稱(chēng)民科)的杰作，對(duì)于法國(guó)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，情況尤其如此。因?yàn)樵谶@方面，法國(guó)科學(xué)院(FrenchAcademyofSciences)可謂是開(kāi)了風(fēng)氣之先 自從一個(gè)多世紀(jì)前它為Fermat大定理懸賞以來(lái)，民科信件便如雪片般地飛向了法國(guó)數(shù)學(xué)家的手里。那熱情，就連一百多年的時(shí)光也缺乏以使之熄滅。自那以后，知名法國(guó)數(shù)學(xué)家收到民科來(lái)信就不再是新鮮事了。不過(guò)Cartan收到的這封信件卻有些不同，它的寄信人地址雖然很“民間〃，筆跡卻頗為熟悉，因?yàn)槟枪P跡屬于一位真正的數(shù)學(xué)家。那數(shù)學(xué)家不僅Cartan認(rèn)識(shí)，更是他那數(shù)學(xué)家兒子HenriCartan(1904-2019)的好朋友。那位數(shù)學(xué)家叫做AndreWeil(1906-2019)，他一生的許多重要工作雖然還有待于此刻拿在Cartan手里的這封監(jiān)獄來(lái)信來(lái)揭開(kāi)序幕，但當(dāng)時(shí)的他就已在代數(shù)、分析、數(shù)論等諸多領(lǐng)域中享有了一定的聲譽(yù)。五年前，他還與幾位志同道合的年輕數(shù)學(xué)家(其中包括HenriCartan)一同，創(chuàng)立了一個(gè)后來(lái)大名鼎鼎的數(shù)學(xué)學(xué)派 Bourbaki學(xué)派。Cartan對(duì)筆跡的細(xì)心留意使那封監(jiān)獄來(lái)信免遭了被棄之垃圾桶的命運(yùn)，也為我們的Riemann猜測(cè)之旅增添了一段新的故事。三十一.與死神賽跑的數(shù)學(xué)家身為數(shù)學(xué)家的Weil怎么會(huì)跑到監(jiān)獄里去的呢？這還得從他早年的一些經(jīng)歷說(shuō)起。Weil是一位早熟的數(shù)學(xué)家，自九歲開(kāi)始就在一份中學(xué)數(shù)學(xué)刊物上展露頭角，對(duì)數(shù)學(xué)的喜愛(ài)可以說(shuō)是到達(dá)了著迷的程度。據(jù)說(shuō)有一次Weil不小心摔了一跤，他那后來(lái)成為哲學(xué)家的妹妹所想到的撫慰方法，居然是立刻去把他的數(shù)學(xué)書(shū)找來(lái)。十六歲時(shí)，Weil進(jìn)了一所名為coleNormaleSuperieure的學(xué)校，這個(gè)校名翻譯成中文是一個(gè)很士的名字，叫做“高等師范學(xué)校〃。但莫看名字不起眼，它實(shí)際上卻是一所為法國(guó)先后培養(yǎng)過(guò)十二位Nobel獎(jiǎng)得主及十位Fields獎(jiǎng)得主的一流學(xué)府。在那里,Weil參加了曾經(jīng)證明過(guò)素?cái)?shù)定理（參閱第七節(jié)）的著名數(shù)學(xué)家Hadamard的討論班,并開(kāi)始研讀包括Riemann在內(nèi)的一些數(shù)學(xué)大師的著作。此外，他還結(jié)交了精研印度及東方文化的教授SylvainLevi（1863-1935）o受后者影響，Weil一生都對(duì)印度文化懷有濃厚興趣。自十九歲起，Weil開(kāi)始在歐洲各地游歷，每到一處都結(jié)交了不少朋友。1930-1932年間，他到自己神往已久的印度生活了兩年多，親自接觸了這個(gè)古老國(guó)度的古老文化。1935年，他還訪問(wèn)了蘇聯(lián)，結(jié)識(shí)了一些蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家。但他萬(wàn)萬(wàn)不曾想到的是，對(duì)印度文化的鐘愛(ài)及與蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家的友誼在不久之后將給他帶來(lái)巨大的麻煩，甚至險(xiǎn)些讓他葬身在異國(guó)他鄉(xiāng)。受印度教中某些和平主義思想的影響，在二戰(zhàn)前夕的1939年夏天,Weil作出了逃避兵役的決定。為此，他和妻子來(lái)到了北歐國(guó)家芬蘭，打算以此為跳板前往美國(guó)。在芬蘭期間，他沿襲了自己喜好游歷的習(xí)慣，一邊在各處旅行，一邊與幾位蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家展開(kāi)通信聯(lián)絡(luò)，討論數(shù)學(xué)問(wèn)題。幾個(gè)月后，二戰(zhàn)爆發(fā)，芬蘭與蘇聯(lián)的關(guān)系趨于緊張，Weil與蘇聯(lián)人的通信開(kāi)始引起芬蘭方面的警惕：一個(gè)外國(guó)人，不遠(yuǎn)千里，來(lái)到芬蘭，專(zhuān)門(mén)與蘇聯(lián)人聯(lián)系，這是什么行為？芬蘭方面的警惕很快就變成了Weil的厄運(yùn)。1939年H月底，蘇芬戰(zhàn)爭(zhēng)爆發(fā)，Weil這位曾經(jīng)訪問(wèn)過(guò)蘇聯(lián)，當(dāng)時(shí)仍與蘇聯(lián)人頻繁通信，甚至還很巧合地在戰(zhàn)爭(zhēng)爆發(fā)前夕游歷到蘇芬邊境過(guò)的法國(guó)人，幾乎立刻就被當(dāng)成蘇聯(lián)間諜抓捕歸案。在Weil的物品中，芬蘭警察發(fā)現(xiàn)了俄文信件，其中還夾帶著疑似間諜符號(hào)的奇怪記號(hào)（其實(shí)是數(shù)學(xué)符號(hào)）［注四］。此外，芬蘭警察還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)名叫NicolasBourbaki的可疑人物的卡片。這就讓事情更說(shuō)不清了，因?yàn)镹icolasBourbaki是Weil等人為Bourbaki學(xué)派所取的筆名(跟間諜的化名差不多)，而那卡片那么只不過(guò)是Weil等人發(fā)揮自己的幽默感制作出的道具。可惜戰(zhàn)云籠罩下的芬蘭警察沒(méi)有心情玩幽默，數(shù)學(xué)符號(hào)也好，幽默道具也罷，通通被視為了間諜證據(jù)一一至于你信不信，芬蘭警察反正信了。Weil幫蘇聯(lián)人做間諜一事就這樣被定了罪一一而且是死罪。他的人生之旅走到了最危險(xiǎn)的時(shí)刻。在這冰天雪地的異國(guó)他鄉(xiāng)，有什么人能將他從死神手里救回呢？臨刑前的黃昏，Weil在冰冷的死牢中等待最后一個(gè)黑夜的降臨，當(dāng)?shù)氐木炀珠L(zhǎng)卻正在參加一個(gè)熱鬧的晚宴。人生的際遇有時(shí)是很有戲劇性的。與蘇聯(lián)人討論數(shù)學(xué)看似無(wú)害，卻為Weil帶來(lái)了死罪；而警察局長(zhǎng)的晚宴看似無(wú)益，卻成為了Weil的救命稻草。因?yàn)閰⒓油硌绲馁e客中有一位數(shù)學(xué)家名叫RolfNevanlinna(1895-1980)。此人恰好是Weil的朋友。Weil在被審訊時(shí)曾經(jīng)提到過(guò)這位朋友，可惜沒(méi)管用，因?yàn)檎l(shuí)也不相信一位“蘇聯(lián)間諜〃的話，更懶得去核實(shí)。Nevanlinna是Helsinki大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，在全世界數(shù)學(xué)家的行列里雖排不到前列，在芬蘭卻是很著名的數(shù)學(xué)家［注五］,名聲之大甚至連警察局長(zhǎng)也認(rèn)識(shí)。于是警察局長(zhǎng)走到Nevanlinna身旁，與他聊起了近日的“打黑〃成果。他告訴Nevanlinna：“我們明天將處決一名間諜，他聲稱(chēng)認(rèn)識(shí)您。通常我是不會(huì)為這類(lèi)瑣事打攪您的，但既然我們都在這里，我很快樂(lè)能有時(shí)機(jī)直接咨詢一下您。〃Nevanlinna就問(wèn)：“他叫什么名字?”警察局長(zhǎng)答復(fù)說(shuō)：“Andr存Weil〃。Nevanlinna大吃了一驚，自己的朋友居然變成間諜，這真是“眼睛一眨，老母雞變鴨〃了！當(dāng)然，他對(duì)事情的原委是一無(wú)所知的，不過(guò)他還是建議警察局長(zhǎng)不要處決Weil,而改為驅(qū)逐出境。這一建議救了Weil的命。他被芬蘭警方送往瑞典邊境驅(qū)逐出境，瑞典警方隨即逮捕了他，將他送往英國(guó)，如此幾經(jīng)接力，Weil于1940年2月被送回到了法國(guó)警方手里。法國(guó)警方那么以“逃避兵役〃(desertion)為由將他收押在前面提到的海濱城市Rouen的軍事監(jiān)獄中，等候判決。我們?cè)诘诙骞?jié)中介紹“獨(dú)行俠〃Selberg時(shí)曾經(jīng)提到過(guò)，戰(zhàn)爭(zhēng)造成的孤立在Selberg眼里有一種全然不同的感覺(jué)，他將之比喻為是處在一座監(jiān)獄里，雖然與世隔絕，卻有時(shí)機(jī)把注意力集中在自己的想法上，從而對(duì)研究來(lái)說(shuō)有許多有利的方面。Selberg后來(lái)果真利用那樣的孤立時(shí)光，在Riemann猜測(cè)研究中取得了重要進(jìn)展(即臨界線定理)?，F(xiàn)在，我們有了一個(gè)更好的例子來(lái)印證Selberg的感覺(jué)，那就是Weil。與Selberg的比喻不同，Weil可是貨真價(jià)實(shí)地蹲了監(jiān)獄，他所取得的成果也確實(shí)對(duì)得住那樣的經(jīng)歷。而且很巧的是，他那成果也與Riemann猜測(cè)有關(guān)一一確切地說(shuō)是跟“山寨版〃的Riemann猜測(cè)有關(guān)。他那成果原本是應(yīng)該等到出獄之后才發(fā)布的，但死里逃生的經(jīng)歷使他對(duì)命運(yùn)感到了迷惘，為防不測(cè)，他決定將成果寫(xiě)成信件先發(fā)出去，于是就有了Cartan所收到的那封監(jiān)獄來(lái)信。Weil的經(jīng)歷和成果引起了一些數(shù)學(xué)家的"眼紅"。HenryCartan在讀了父親轉(zhuǎn)給他的Weil的監(jiān)獄來(lái)信后，毫不隱諱地向Weil表示了“羨慕〃之心：“我們都沒(méi)那么幸運(yùn)，能像你那樣不受干擾地坐下來(lái)工作〃。Weil的印度朋友、Hardy的學(xué)生TirukkannapuramVijayaraghavan(1902T955)那么不止一次地感慨道：“如果能有六個(gè)月或一年時(shí)間蹲監(jiān)獄的話，我肯定能證明Riemann猜測(cè)?！ㄟ@種幽默感想必是從他老師Hardy那兒學(xué)來(lái)的，其可信度當(dāng)然也只能與Hardy的明信片相提并論。事實(shí)上，如果蹲六個(gè)月或一年的監(jiān)獄就能證明Riemann猜測(cè)的話，數(shù)學(xué)家們肯定是會(huì)搶破腦袋去把牢底坐穿的，畢竟，與我們題記所引的Montgomery那句話相比，蹲幾個(gè)月監(jiān)獄這種代價(jià)實(shí)在算不上什么。Weil本人對(duì)自己在監(jiān)獄里取得的成果也深感自豪，在給妻子的信中表示：“我的數(shù)學(xué)工作進(jìn)展得超乎我最大膽的期望，我甚至有點(diǎn)擔(dān)憂一一假設(shè)只有在監(jiān)獄里才工作得這么好的話，我是不是每年都該把自己關(guān)起來(lái)兩三個(gè)月？〃不過(guò)，這樣“不受干擾〃的“好日子〃并沒(méi)有持續(xù)太久。1940年5月初，對(duì)Weil的判決下來(lái)了，他因逃避兵役被判五年監(jiān)禁。但這一判決帶有一個(gè)寬限條件，那就是假設(shè)他愿意到戰(zhàn)斗部隊(duì)去服役的話，就可以免除監(jiān)禁。Weil接受了這一條件(幽默歸幽默，坐牢的滋味畢竟是不好受的)。他沒(méi)有想到的是，這一選擇使他在與死神的賽跑中又一次鬼使神差般地脫了身，因?yàn)殡S著法國(guó)在二戰(zhàn)中的快速退敗，僅僅一個(gè)多月后，海濱城市Rouen就落入了德國(guó)人手中，尚被關(guān)押在軍事監(jiān)獄里的囚犯那么全部遭到了德軍的槍殺。戰(zhàn)爭(zhēng)仍在繼續(xù)，但不久之后，Weil利用一份偽造的肺炎證明騙過(guò)軍方，如愿以償?shù)貙?shí)施了當(dāng)初前往芬蘭時(shí)就擬定的赴美方案。1941年初,Weil全家抵達(dá)紐約，開(kāi)始了全新的生活。到達(dá)美國(guó)后，他在Lehigh大學(xué)、Chicago大學(xué)等地任過(guò)教，最終那么落戶于Princeton高等研究所，安然度過(guò)了自己的學(xué)術(shù)晚年。Weil的一生在數(shù)學(xué)上有著頗多建樹(shù)，“山寨版〃