湘教版數學七年級下冊：4.5垂線課件(共37張PPT)

4.5垂線

1.垂線的概念、性質.(重點)2.垂線的性質及應用.(重點、難點)一、垂直的定義1.如圖,直線AB,CD相交于點O,若∠AOC=___°,則我們稱兩條直線互相垂直.記作AB___CD,交點O叫做_____.90⊥垂足2.(1)應用格式:因為∠AOC=_____,所以AB⊥CD(垂直的定義).(2)反之,如果AB⊥CD,那么∠AOC=_____.90°90°二、垂線的畫法及性質【思考】1.畫已知直線l的垂線能畫幾條?提示:無數條.2.在平面內,過直線l上的一點A畫直線l的垂線,這樣的垂線能畫___條.3.在平面內,過直線l外的一點B畫直線l的垂線,這樣的垂線能畫___條.一一4.量一量,比一比.如圖,連接直線l外一點P與直線l上各點O,A1,A2,A3,…,其中PO⊥l(我們稱PO為點P到直線l的垂線段).比較線段PO,PA1,PA2,PA3,…的長短,這些線段中,哪一條最短?提示:通過測量比較,PO最短.【總結】1.在同一平面內,過一點_________一條直線與已知直線垂直.2.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,_______最短.簡單地說成:_______最短.有且只有垂線段垂線段三、點到直線的距離從直線外一點到這條直線的_______的長度.垂線段(打“√”或“×”)(1)點到直線的距離是點到直線的垂線段.()(2)一條直線只有一條垂線.()(3)同一平面內,一條直線不可能與兩條相交直線都垂直.()(4)垂線段最短.()(5)兩條直線互相垂直,則這兩條直線所形成的四個角都是直角.

()××√√√知識點1垂直的定義及應用

【例1】如圖,∠ABC=90°,∠1=60°,過點B作AC的垂線BO,垂足是O,過點O作BC的垂線,垂足是D,若∠1=∠2,求∠ABO,∠BOD.【思路點撥】∠ABC=90°→∠ABO與∠1互余→BO⊥AC,則∠BOC=90°,又∠1=∠2→∠BOD=∠ABO.【自主解答】因為∠ABC=90°,∠1=60°,所以∠ABO=30°.因為BO⊥AC于O點,所以∠BOC=90°,又因為∠2=∠1,所以∠BOD=∠ABO=30°.【總結提升】垂直的定義的雙重性垂直的定義既是性質又是判定:一是可以由垂直關系得到角的數量關系;二是根據角的數量關系判定角的邊所在直線的位置關系.知識點2垂線的畫法及性質的應用

【例2】如圖,點A表示小明家,點B表示小明外婆家,若小明先去外婆家拿漁具,然后再去河邊釣魚,怎樣走路最短,請畫出行走路徑,并說明理由.【解題探究】1.小明的行走路徑分哪幾步?提示:小明家→外婆家→河邊.2.小明從家去外婆家,轉化為數學問題即兩點之間的問題,應怎樣走最近?理由是什么?提示:最短路徑是線段AB,理由是兩點之間線段最短.3.小明從外婆家去河邊,轉化為數學問題即點到直線的距離的問題,應怎樣走最近?理由是什么?提示:最短路徑是過點B作河岸的垂線,點B和垂足間的線段最短,理由是垂線段最短.如圖【總結提升】垂線畫法三字訣1.一靠:靠已知直線,使三角尺的一條直角邊與已知直線重合.2.二移:沿已知直線移動三角尺,使另一條直角邊過已知的定點.3.三畫:畫已知直線的垂線.題組一:垂直的定義及應用1.下列時刻中,時針與分針互相垂直的是(

)A.2點20分 B.3點整C.12點10分

D.5點40分【解析】選B.在鐘表的表面上,相鄰數字(如1和2)與表中心連線的夾角為30°,而3點整時,時針指向3,分針指向12,故在3點整時時針與分針的夾角為直角.2.如圖,直線AB,CD相交于點O,OE⊥AB于O,∠COE=55°,則∠BOD的度數是(

)A.40°B.45°

C.30°D.35°【解析】選D.因為OE⊥AB,∠COE=55°,所以∠AOC=90°-∠COE=35°;因為∠BOD與∠AOC是對頂角,所以∠BOD=∠AOC=35°.3.已知:如圖,AB⊥CD,垂足為O,EF為過點O的一條直線,則∠1與∠2的關系一定成立的是(

)A.相等B.互余C.互補D.互為對頂角【解析】選B.因為∠2=∠COE(對頂角相等),又因為AB⊥CD,所以∠1+∠COE=90°,所以∠1+∠2=90°,所以兩角互余.4.如圖,直線AB,CD,EF相交于點O,且AB⊥CD,∠1=27°,則∠2=

,∠FOB=

.【解析】因為AB⊥CD,所以∠AOD=∠BOD=90°,所以∠2=90°-∠1=63°,∠FOB=∠1+∠BOD=117°.答案:63°

117°5.如圖,∠ABD=90°,直線

⊥直線

,垂足為

,在平面內,過D點有且只有

條直線

與直線AC垂直.【解析】根據垂線的性質可知,直線AC⊥直線BD,垂足為B,在平面內,過D點有且只有1條直線DB與直線AC垂直.答案:AC

BD

B

1

DB6.如圖,直線AB,CD相交于點O,OD平分∠AOF,OE⊥CD于點O,∠1=50°,求∠BOC,∠BOF的度數.【解析】因為OE⊥CD于點O,∠1=50°,所以∠AOD=90°-∠1=40°,因為∠BOC與∠AOD是對頂角,所以∠BOC=∠AOD=40°.因為OD平分∠AOF,所以∠DOF=∠AOD=40°,所以∠BOF=180°-∠DOA-∠DOF=180°-40°-40°=100°.7.如圖,AB,CD相交于O點,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,猜想射線OE與直線AB的位置關系,并說明理由.【解析】OE⊥AB.理由如下:因為∠BOC=130°(已知),所以∠AOD=∠BOC=130°(對頂角相等),所以∠AOE=∠AOD-∠EOD=130°-40°=90°.所以OE⊥AB.題組二:垂線的畫法及性質的應用1.如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=3,點P是邊BC上的動點,則AP長不可能是(

)A.2.5B.3

C.4

D.5【解析】選A.因為AC是BC上的垂線段,所以點A到BC的最短距離是3,故不可能是2.5.2.下列圖形中,線段PQ的長表示點P到直線MN的距離的是(

)【解析】選A.點P到直線MN的距離應是垂線段PQ的長度,PQ⊥MN,故選A.3.畫一條線段的垂線,垂足在(

)A.線段上B.線段的端點處C.線段的延長線上D.以上都有可能【解析】選D.線段的垂線有無數條,過一點畫線段的垂線,垂足可以在線段上,在線段的端點處,在線段的延長線上,故選D.4.如圖,從書店到公路最近的是

號路線,數學道理是

.【解析】①號路線最近,理由是垂線段最短.答案:①垂線段最短5.如圖是小亮同學在體育課上跳遠后留下的腳印,他的跳遠成績是線段

的長度.【解析】因為身體在沙坑上所有接觸的點中,距離起跳線最近的點到起跳線的距離作為跳遠成績,所以他的跳遠成績是線段BN的長度.答案:BN6.如圖所示,AB是一條河流,要鋪設管道將河水引到C,D兩個用水點,現(xiàn)有兩種鋪設管道的方案.方案一:分別過C,D作AB的垂線,垂足分別為E,F,沿CE,DF鋪設管道;方案二:連結CD交AB于點P,沿PC,PD鋪設管道.這兩種鋪設管道的方案哪一種更節(jié)省材料?為什么?【解析】按方案一鋪設管道更節(jié)省材料.理由如下:因為CE⊥AB,DF⊥AB,而AB與CD不垂直,所以根據“垂線段最短”,可知CE<CP,DF<DP,所以CE+DF<CP+DP,所以沿CE,DF鋪設管道更節(jié)省材料.7.說出日常生活現(xiàn)象中的數學原理:日常生活現(xiàn)象相應數學原理(1)有人和你打招呼,你筆直向他走過去兩點之間線段最短(2)要用兩個釘子把毛巾架安裝在墻上(3)人去河邊打水總是垂直于河邊方向走【解析】這幾種實際問