湘教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)：4.5垂線課件(共37張PPT)

4.5垂線

1.垂線的概念、性質(zhì).(重點(diǎn))2.垂線的性質(zhì)及應(yīng)用.(重點(diǎn)、難點(diǎn))一、垂直的定義1.如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,若∠AOC=___°,則我們稱兩條直線互相垂直.記作AB___CD,交點(diǎn)O叫做_____.90⊥垂足2.(1)應(yīng)用格式:因?yàn)椤螦OC=_____,所以AB⊥CD(垂直的定義).(2)反之,如果AB⊥CD,那么∠AOC=_____.90°90°二、垂線的畫法及性質(zhì)【思考】1.畫已知直線l的垂線能畫幾條?提示:無數(shù)條.2.在平面內(nèi),過直線l上的一點(diǎn)A畫直線l的垂線,這樣的垂線能畫___條.3.在平面內(nèi),過直線l外的一點(diǎn)B畫直線l的垂線,這樣的垂線能畫___條.一一4.量一量,比一比.如圖,連接直線l外一點(diǎn)P與直線l上各點(diǎn)O,A1,A2,A3,…,其中PO⊥l(我們稱PO為點(diǎn)P到直線l的垂線段).比較線段PO,PA1,PA2,PA3,…的長(zhǎng)短,這些線段中,哪一條最短?提示:通過測(cè)量比較,PO最短.【總結(jié)】1.在同一平面內(nèi),過一點(diǎn)_________一條直線與已知直線垂直.2.直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,_______最短.簡(jiǎn)單地說成:_______最短.有且只有垂線段垂線段三、點(diǎn)到直線的距離從直線外一點(diǎn)到這條直線的_______的長(zhǎng)度.垂線段(打“√”或“×”)(1)點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段.()(2)一條直線只有一條垂線.()(3)同一平面內(nèi),一條直線不可能與兩條相交直線都垂直.()(4)垂線段最短.()(5)兩條直線互相垂直,則這兩條直線所形成的四個(gè)角都是直角.

()××√√√知識(shí)點(diǎn)1垂直的定義及應(yīng)用

【例1】如圖,∠ABC=90°,∠1=60°,過點(diǎn)B作AC的垂線BO,垂足是O,過點(diǎn)O作BC的垂線,垂足是D,若∠1=∠2,求∠ABO,∠BOD.【思路點(diǎn)撥】∠ABC=90°→∠ABO與∠1互余→BO⊥AC,則∠BOC=90°,又∠1=∠2→∠BOD=∠ABO.【自主解答】因?yàn)椤螦BC=90°,∠1=60°,所以∠ABO=30°.因?yàn)锽O⊥AC于O點(diǎn),所以∠BOC=90°,又因?yàn)椤?=∠1,所以∠BOD=∠ABO=30°.【總結(jié)提升】垂直的定義的雙重性垂直的定義既是性質(zhì)又是判定:一是可以由垂直關(guān)系得到角的數(shù)量關(guān)系;二是根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系判定角的邊所在直線的位置關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)2垂線的畫法及性質(zhì)的應(yīng)用

【例2】如圖,點(diǎn)A表示小明家,點(diǎn)B表示小明外婆家,若小明先去外婆家拿漁具,然后再去河邊釣魚,怎樣走路最短,請(qǐng)畫出行走路徑,并說明理由.【解題探究】1.小明的行走路徑分哪幾步?提示:小明家→外婆家→河邊.2.小明從家去外婆家,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即兩點(diǎn)之間的問題,應(yīng)怎樣走最近?理由是什么?提示:最短路徑是線段AB,理由是兩點(diǎn)之間線段最短.3.小明從外婆家去河邊,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即點(diǎn)到直線的距離的問題,應(yīng)怎樣走最近?理由是什么?提示:最短路徑是過點(diǎn)B作河岸的垂線,點(diǎn)B和垂足間的線段最短,理由是垂線段最短.如圖【總結(jié)提升】垂線畫法三字訣1.一靠:靠已知直線,使三角尺的一條直角邊與已知直線重合.2.二移:沿已知直線移動(dòng)三角尺,使另一條直角邊過已知的定點(diǎn).3.三畫:畫已知直線的垂線.題組一:垂直的定義及應(yīng)用1.下列時(shí)刻中,時(shí)針與分針互相垂直的是(

)A.2點(diǎn)20分 B.3點(diǎn)整C.12點(diǎn)10分

D.5點(diǎn)40分【解析】選B.在鐘表的表面上,相鄰數(shù)字(如1和2)與表中心連線的夾角為30°,而3點(diǎn)整時(shí),時(shí)針指向3,分針指向12,故在3點(diǎn)整時(shí)時(shí)針與分針的夾角為直角.2.如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OE⊥AB于O,∠COE=55°,則∠BOD的度數(shù)是(

)A.40°B.45°

C.30°D.35°【解析】選D.因?yàn)镺E⊥AB,∠COE=55°,所以∠AOC=90°-∠COE=35°;因?yàn)椤螧OD與∠AOC是對(duì)頂角,所以∠BOD=∠AOC=35°.3.已知:如圖,AB⊥CD,垂足為O,EF為過點(diǎn)O的一條直線,則∠1與∠2的關(guān)系一定成立的是(

)A.相等B.互余C.互補(bǔ)D.互為對(duì)頂角【解析】選B.因?yàn)椤?=∠COE(對(duì)頂角相等),又因?yàn)锳B⊥CD,所以∠1+∠COE=90°,所以∠1+∠2=90°,所以兩角互余.4.如圖,直線AB,CD,EF相交于點(diǎn)O,且AB⊥CD,∠1=27°,則∠2=

,∠FOB=

.【解析】因?yàn)锳B⊥CD,所以∠AOD=∠BOD=90°,所以∠2=90°-∠1=63°,∠FOB=∠1+∠BOD=117°.答案:63°

117°5.如圖,∠ABD=90°,直線

⊥直線

,垂足為

,在平面內(nèi),過D點(diǎn)有且只有

條直線

與直線AC垂直.【解析】根據(jù)垂線的性質(zhì)可知,直線AC⊥直線BD,垂足為B,在平面內(nèi),過D點(diǎn)有且只有1條直線DB與直線AC垂直.答案:AC

BD

B

1

DB6.如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OD平分∠AOF,OE⊥CD于點(diǎn)O,∠1=50°,求∠BOC,∠BOF的度數(shù).【解析】因?yàn)镺E⊥CD于點(diǎn)O,∠1=50°,所以∠AOD=90°-∠1=40°,因?yàn)椤螧OC與∠AOD是對(duì)頂角,所以∠BOC=∠AOD=40°.因?yàn)镺D平分∠AOF,所以∠DOF=∠AOD=40°,所以∠BOF=180°-∠DOA-∠DOF=180°-40°-40°=100°.7.如圖,AB,CD相交于O點(diǎn),若∠EOD=40°,∠BOC=130°,猜想射線OE與直線AB的位置關(guān)系,并說明理由.【解析】OE⊥AB.理由如下:因?yàn)椤螧OC=130°(已知),所以∠AOD=∠BOC=130°(對(duì)頂角相等),所以∠AOE=∠AOD-∠EOD=130°-40°=90°.所以O(shè)E⊥AB.題組二:垂線的畫法及性質(zhì)的應(yīng)用1.如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=3,點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),則AP長(zhǎng)不可能是(

)A.2.5B.3

C.4

D.5【解析】選A.因?yàn)锳C是BC上的垂線段,所以點(diǎn)A到BC的最短距離是3,故不可能是2.5.2.下列圖形中,線段PQ的長(zhǎng)表示點(diǎn)P到直線MN的距離的是(

)【解析】選A.點(diǎn)P到直線MN的距離應(yīng)是垂線段PQ的長(zhǎng)度,PQ⊥MN,故選A.3.畫一條線段的垂線,垂足在(

)A.線段上B.線段的端點(diǎn)處C.線段的延長(zhǎng)線上D.以上都有可能【解析】選D.線段的垂線有無數(shù)條,過一點(diǎn)畫線段的垂線,垂足可以在線段上,在線段的端點(diǎn)處,在線段的延長(zhǎng)線上,故選D.4.如圖,從書店到公路最近的是

號(hào)路線,數(shù)學(xué)道理是

.【解析】①號(hào)路線最近,理由是垂線段最短.答案:①垂線段最短5.如圖是小亮同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印,他的跳遠(yuǎn)成績(jī)是線段

的長(zhǎng)度.【解析】因?yàn)樯眢w在沙坑上所有接觸的點(diǎn)中,距離起跳線最近的點(diǎn)到起跳線的距離作為跳遠(yuǎn)成績(jī),所以他的跳遠(yuǎn)成績(jī)是線段BN的長(zhǎng)度.答案:BN6.如圖所示,AB是一條河流,要鋪設(shè)管道將河水引到C,D兩個(gè)用水點(diǎn),現(xiàn)有兩種鋪設(shè)管道的方案.方案一:分別過C,D作AB的垂線,垂足分別為E,F,沿CE,DF鋪設(shè)管道;方案二:連結(jié)CD交AB于點(diǎn)P,沿PC,PD鋪設(shè)管道.這兩種鋪設(shè)管道的方案哪一種更節(jié)省材料?為什么?【解析】按方案一鋪設(shè)管道更節(jié)省材料.理由如下:因?yàn)镃E⊥AB,DF⊥AB,而AB與CD不垂直,所以根據(jù)“垂線段最短”,可知CE<CP,DF<DP,所以CE+DF<CP+DP,所以沿CE,DF鋪設(shè)管道更節(jié)省材料.7.說出日常生活現(xiàn)象中的數(shù)學(xué)原理:日常生活現(xiàn)象相應(yīng)數(shù)學(xué)原理(1)有人和你打招呼,你筆直向他走過去兩點(diǎn)之間線段最短(2)要用兩個(gè)釘子把毛巾架安裝在墻上(3)人去河邊打水總是垂直于河邊方向走【解析】這幾種實(shí)際問