中考復習弧長和扇形面積公式知識精講

初三數(shù)學弧長和扇形面積公式知識精講一.本周教學內容：弧長和扇形面積公式、圓錐的側面積和全面積教學目的使學生掌握弧長和扇形面積公式、圓錐及其特征，使學生掌握圓錐的軸截面圖及其特點。使學生掌握弧長和扇形面積公式、圓錐側面展開圖的畫法及側面積計算公式。使學生比較熟練地應用弧長和扇形面積公式、圓錐的基本性質和軸截面解決有關圓錐表面積的計算問題。培養(yǎng)學生空間觀念及空間圖形與平面圖形的相互轉化思想，培養(yǎng)學生空間想象能力和計算能力。教學重點和難點：教學重點是弧長和扇形面積公式，圓錐及其特征，圓錐的側面積計算難點是圓錐側面展開圖（扇形）中各元素與圓錐各元素之間的關系教學過程.圓周長：C=2πr圓面積：S=πr2.圓的面積C與半徑R之間存在關系C=2πR，即360°的圓心角所對的弧長，因此，1°的圓心角所對的弧長就是2πR。360n°的圓心角所對的弧長是nπR180nπR:.1= P180 120*這里的180、n在弧長計算公式中表示倍分關系，沒有單位。.由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圓形叫做扇形。發(fā)現(xiàn)：扇形面積與組成扇形的圓心角的大小有關，圓心角越大，扇形面積也就越大。.在半徑是R的圓中，因為360°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積S=πR2,所以圓心角為n°的扇形面積是：nπR2 1SaW= =-1R（n也是1°的倍數(shù)，無單位）扇形360 2圓錐的概念觀察模型可以發(fā)現(xiàn)：圓錐是由一個底面和一個側面圍成的。其中底面是一個圓，側面是一個曲面，如果把這個側面展開在一個平面上，展開圖是一個扇形。如圖，從點S向底面引垂線，垂足是底面的圓心。，垂線段SO的長叫做圓錐的高，點S叫做圓錐的頂點。錐也可以看作是由一個直角三角形旋轉得到的。也就是說，把直角三角形SOA繞直線SO旋轉一周得到的圖形就是圓錐。其中旋轉軸SO叫做圓錐的軸，圓錐的軸通過底面圓的圓心，并且垂直于底面。另外，連結圓錐的頂點和底面圓上任意一點的線段SA、SA、SA、……都叫做圓錐的母線，顯然，圓錐的母線長都相等。母線定義：連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線。P122圓錐的性質由圖可得（1）圓錐的高所在的直線是圓錐的軸，它垂直于底面，經(jīng)過底面的圓心；（2）圓錐的母線長都相等圓錐的側面展開圖與側面積計算圓錐的側面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑是圓錐側面的母線、圓心是圓錐的頂點、弧長是圓錐底面圓的周長。圓錐側面積是扇形面積。如果設扇形的半徑為l，弧長為一圓心角為n（如圖），則它們之間有如下關系:C=nπl(wèi)180同時，如果設圓錐底面半徑為r，周長為c，側面母線長為l，那么它的側面積是:7 7=—cl=πrl面2圓錐的全面積為：πrl+πr2圓柱側面積：2πrh。例：在。中，120°的圓心角所對的弧長為80兀Cm，那么。。的半徑為

答案：120解：由弧長公式：/=迎得：180 cm。180X80π120π-120cm例：若扇形的圓心角為120°，弧長為10πcm，則扇形半徑為 ，扇形面積為R.1801R-n兀答案：15；25π例：如果一個扇形的面積和一個圓面積相等，且扇形的半徑為圓半徑的2倍，這個扇形的中心角為答案：90°例：已知扇形的周長為28cm，面積為49cm2,則它的半徑為cm。答案：7C C例：兩個同心圓被兩條半徑截得的AB-10π，CD-6π，又AC=12，求陰影部分面積。解：設OC=r，則OA=r+12，NO=n°???l-nπ(r+12)-10πAB180l-吧-6πCD180n-60J-18.?.OC=18,OA=OC+AC=30???S-S-S陰 扇AOB扇COD-11-OA-11-OC2AB2CD-?X10πX30--!-X6πx182 2-96π例：如圖，已知正方形的邊長為a,求以各邊為直徑的半圓所圍成的葉形的總面積。解：???正方形邊長為a；.S=a2,

正C1 1zax1S =—πR2=π()2=一兀a2半圓2 22 8??S正方形—2S=S半圓 兩個空白處???S兩個空白處11=a2—2X—πa2=a2—πa28 4???S四個空白處=2S=2a2—1πa2

2個空白 2???S=S-S=a2-(2a2-1πa2)=1πa2-a2陰正 四個空白處 2 2???葉的總面積為-πa2-a22*也可看作四個半圓面積減去正方形面積1a 1S=4S-S=4X π(-)2-a2=πa2-a2陰半正2 2 2例：已知48、CD為。O的兩條弦，如果AB=8,CD=6,C CAB的度數(shù)與CD的度數(shù)的和為180°,那么圓中的陰影部分的總面積為？解：將弓形CD旋轉至B,使D、B重合如圖，C點處于E點DEC???ABE的度數(shù)為180°???AE是。O的直徑.?.∠ABE=90°又??AB=8,BE=CD=6由勾股定理AE=■√82+62=10???半徑OA=1X10=52???S=S-S =1πχ52-1.8X6=25π-24陰半圓AABE2 2 2C例：在AAOB中，∠0=90°,OA=OB=4cm,以O為圓心，OA為半徑畫AB,以AB為直徑作半圓，求陰影部分的面積。解：??OA=4cm,NO=90°???S扇形AOB90×π×42360=4πcmAB=4v2cmSAAOB=8(Cm2)S半圓.?.S=S弓形AmB 扇形AOBO Bπ(2√2)2 // 、 2 =4π(cm2)一SAAOB=(4π-8)(Cm2),則陰影部分的面積為:S =S -S =4π-(4π-8)=8(cm2)陰影半圓弓形AmB例：①、②……Q是邊長均大于2的三角形，四邊形、……、凸n邊形，分別以它們的各頂點為圓心，以1為半徑畫弧與兩鄰邊相交，得到3條弧，4條弧，(1)圖①中3條弧的弧長的和為圖②中4條弧的弧長的和為(2)求圖Q中n條弧的弧長的和(用n表示)解(1)π，2R(2)解法1：Tn邊形內角和為:(n-2)180°前n條弧的弧長的和為：(n-2"80=1(n-2)個以某定點為圓心，以1為半徑的圓周長360 2???n條弧的弧長的和為：2π×1X?(n-2)=(n-2)π2解法2：設各個扇形的圓心角依次為αJɑ2。,…,ɑ”。則α。+α。H—α。=(n-2)180。1 2 n???n條弧長的和為：απTαπ

X1+-^―180180X1-+空X1180π

180

π

180(α+α-Fa)

1 2 n(n—2)X180=(n-2)π例：如圖，在RtAABC中，已知NBCA=90°，NBAC=30°，AC=6m，把AABC以點B為中心逆時針旋轉，使點C旋轉到AB邊的延長線上的點C'處，那么AC邊掃過的圖形(陰影部分)的面積為？∠BAC=30°,AB=6分析：在RtAACB中，NC=90°,???BC=1AB=3,ZCBA=60。2.?.AC=YAB2—BC2=3√3法一：S =1BC'?A'C'=1X3X3√3=空222ΔA'C'B???S扇A'BAnπr2 120πX621. = =12πS扇形C,BC360120πx32360360=3π=9π法二：以B為圓心，BC為半徑畫弧-S-S扇C'BC ΔACB???S=S+S陰影扇A'BA ΔA'C'B交A'B于D,AB于D'有SΔA'C'B=sδacb，S扇C,BD=S扇CBD,'S陰=S扇ABA「S扇D,BD120π×62 120π×32360360=12π-3π=9π例：如圖，已知RtAABC的斜邊AB=13cm，一條直角邊AC=5cm,以直線AC為軸旋轉一周得一個圓錐。解：BC=√132—52=12(cm)以直線AC為軸旋轉一周所得的圓錐如圖所示，它的表面積為:S=S+S=π×122+π×12X13=300π(cm2)表底側 ' '以直線AB為軸旋轉一周，所得到的圖形如圖所示。1CD×13=1×5×122 2CD=竺13S=S+S上下=π×CD×BC+π×CD×AC60 60=πx—X12+πx—X51360S

=πXX17131020

= π1313例：一個圓錐的模型，這個模型的側面是用一個半徑為9?？?，圓心角為240°的扇形鐵皮制作，再用一塊圓形鐵皮做底，則這塊圖形鐵皮的半徑為 。答案：6例：若圓錐的軸截面是一個邊長為2cm的等邊三角形，則這個圓錐的側面積是答案：2π例：已知圓錐的底面半徑為40cm，母線長為90cm，則它的側面展開圖的圓心角為答案：160°例：若圓錐的側面積是底面積的2倍，則側面展開圖的圓心角是 答案：180°例：如圖，圓錐形的煙囪帽的底面直徑是80cm，母線長50cm。（1）畫出它的展開圖；180c.?.α= πl(wèi)ɑπl(wèi)?.?C= 180180X80π

50π=288（度）S扇形=πrl=πX40X50≈6280(cm2)例：一個圓錐的高是10cm，側面展開圖是半圓，求圓錐的側面積。,扇形弧長（即半圓）為c,則由題意得解：設圓錐底面半徑為r,圓錐母線長為l2πl(wèi) ?C= ,c=2πr2即生=2πr,:.1=2r2在RtASOA中，12=r2+102由此求得r=1033(cm),l=2033(cm)故所求圓錐的側面積為S圓側面=兀rl=兀X10√320√3200π X = (cm2)333例：蒙古包可以近似地看作圓錐和圓柱組成，如果想用毛氈搭建20個底面積為9πm2，高為3.5m,外圍高4m的蒙古包，至少要多少平方米的毛氈?解：:S=πr2,:9π=πr2,:r=3??h=4,

1.?.l=\：h]2+r2=5:S=S錐+S柱=πr1+2πrh=πX3X5+2πχ3X3.5=15π+21π=36πS=20X36π=720π總答：至少要720π平方米的毛氈?！灸M試題】［基礎演練］.已知扇形的弧長為6冗?？冢瑘A心角為60°,則扇形的面積為。.已知弓形的弧所對的圓心角為60°,弓形弦長為a,則這個弓形的面積是。.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4√3，AD=2√3，BD⊥AD，以BD為直徑的。。交AB于E,交CD于F,則圖中陰影部分的面積為.如圖，AB是。O1的直徑，AO1是。O2的直徑，弦MN//AB,且MN與。02相切于C點，若。01的半徑為2,C C則01B、BN、CN、O1C所圍成的陰影部分的面積是。.如圖，4ABC為某一住宅區(qū)的平面示意圖，其周長為800m,為了美化環(huán)境，計劃在住宅區(qū)周圍5m內，（虛線以內，^ABC之外）作綠化帶，則此綠化帶的面積為。C6.如圖，兩個同心圓被兩條半徑截得的AB=6兀cm,C CCCD=10兀Cm,。0'與AB,CD都相切，則圖中陰影部分的面積為CD［綜合測試］7.如圖，OA是。。的半徑，AB是以OA為直徑的。0’的弦，O'B的延長線交。。于點C,且OA=4,∠CCOAB=45°，則由AB，AC和線段BC所圍成的圖形面積是。一扇形紙扇完全打開后，外側兩竹條AB8.如圖，，AC的夾角為120°，AB長為30cm，貼紙部分BD長為20cm，貼紙部分的面積為（）B.λ800A. πcm23500 πcm23C.800πcm2D.500πcm29.如圖，在同心圓中，兩圓半徑分別為2、∠AOB=120°4，，則陰影部分的面積為（）A.4π2πB.D.πc?3π一塊等邊三角形的木板，邊長為1,現(xiàn)將木板沿水平翻滾（如圖），那么，B點從開始至結束所走過的路徑長度為（）3πA.—24πB.一3C.43πD.2+—2（2004?湖北黃岡）如圖，要在直徑為50cm的圓形木板上截出四個大小相同的圓形凳面，問怎樣才能截出直徑最大的凳面，最大直徑是多少厘米？［探究升級］12.（2004?新疆）在相距40km的兩個城鎮(zhèn)A、B之間，有一個近似圓形的湖泊，其半徑為10^,圓心恰好位于A、B連線的中點處，現(xiàn)要繞過湖泊從A城到B城，假設除湖泊外，所有的地方均可行走，有如圖所示兩種行走路線，請你通過推理計算，說明哪條路線較短。C（1）的路線：線段AC→CD→線段DBC（2）的路線：線段AE→EF→線段FB（其中E、F為切點）［參考答案］1.27πcm22.3.—33—3π

24.π+12π<3λC

(——--)a26 4顯+125.(25π+400)m26.60πcm27.8.BB一π—2√3)A11.截法如圖所示根據(jù)圓的對稱性可知：O1,O3都在。O的直徑AB上，設所截出的凳面的直徑為r貝UOO=r,OO=r，OO=v2r12 23 1 3又,?oio3=AB-(JA+03B)=5°τ???√2r=50-r,.??(γ2+1)r=50???r=50(√2-1)≈20.7(cm)12.由題意可知圖答