控制工程基礎(chǔ) 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

控制工程基礎(chǔ)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第一頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日本章主要內(nèi)容系統(tǒng)微分方程的建立；傳遞函數(shù)；方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成；典型機(jī)、電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。*2第二頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日本章學(xué)習(xí)要求、重點、難點學(xué)習(xí)要求能夠建立基本環(huán)節(jié)（質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)、電網(wǎng)絡(luò)）的微分方程。掌握傳遞函數(shù)的概念、特點，會根據(jù)微分方程求傳遞函數(shù)，掌握傳遞函數(shù)的零點、極點概念。掌握各個典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的基本形式。掌握傳遞函數(shù)方塊圖的組成及意義；能夠根據(jù)系統(tǒng)微分方程，繪制系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖，并實現(xiàn)簡化，從而求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)。掌握閉環(huán)系統(tǒng)中誤差傳遞函數(shù)、前向傳遞函數(shù)、開環(huán)傳遞函數(shù)、反饋傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)的定義及求法。掌握干擾作用下，系統(tǒng)的輸出及傳遞函數(shù)的求法和特點。*3第三頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日本章學(xué)習(xí)要求、重點、難點本章重點系統(tǒng)微分方程的建立。傳遞函數(shù)的概念、特點及求法；典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)方塊圖的繪制及簡化。本章難點系統(tǒng)微分方程的列寫。傳遞函數(shù)方塊圖的繪制及簡化。*4第四頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日本章作業(yè)P69～P733-3（b）、（d）3-6（b）、（c）3-10（b）本章作業(yè)第3周星期三交。*5第五頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日數(shù)學(xué)模型的概念線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)本課程涉及的數(shù)學(xué)模型形式*6第六頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-1概述數(shù)學(xué)模型的概念數(shù)學(xué)模型：是描述系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。數(shù)學(xué)模型是對系統(tǒng)特性（包括動態(tài)特性和靜態(tài)特性）進(jìn)行分析、綜合的有效工具。數(shù)學(xué)模型的類型：微分方程，傳遞函數(shù)，頻響函數(shù)，狀態(tài)空間表達(dá)式等。這些模型一般可以互相轉(zhuǎn)化。經(jīng)典控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以傳遞函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)（簡稱頻響函數(shù)）為基礎(chǔ)。而現(xiàn)代控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以狀態(tài)空間方程為基礎(chǔ)。而以物理定律及實驗規(guī)律為依據(jù)的微分方程則是最基本的數(shù)學(xué)模型，是列寫傳遞函數(shù)、頻響函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎(chǔ)。*7第七頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-1概述數(shù)學(xué)模型的概念數(shù)學(xué)模型的建立方法：解析法：依據(jù)系統(tǒng)各變量間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立數(shù)學(xué)模型。實驗法：人為地對系統(tǒng)施加某種典型的輸入信號，記錄其輸出（響應(yīng)），并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。在建模的過程中要正確處理模型簡化和模型精度的辨證關(guān)系，以建立簡單且能滿足要求的數(shù)學(xué)模型。*8第八頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-1概述線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)：能用線性微分方程描述的系統(tǒng)。線性系統(tǒng)最重要的特性是滿足疊加原理。如下列所示的微分方程就是線性微分方程，所以該方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)：能用常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)。在上面的方程中，如果系數(shù)m、B、k皆為常數(shù)，則系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)（或稱線性時不變系統(tǒng)）。線性時變系統(tǒng)：描述線性系統(tǒng)微分方程的系數(shù)隨時間變化的系統(tǒng)。如火箭飛行過程的質(zhì)量變化。*9第九頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-1概述線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式*10式中，y(t)為輸出量，x(t)為輸入量，a0～an、b0～bm皆為常數(shù)，n決定了系統(tǒng)的階次。當(dāng)輸入、輸出為常數(shù)時即K稱為系統(tǒng)的靜態(tài)靈敏度或靜態(tài)增益或放大系數(shù)或簡稱增益。第十頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-1概述線性系統(tǒng)的疊加原理：*11線性系統(tǒng)y2(t)x2(t)線性系統(tǒng)y1(t)x1(t)若線性系統(tǒng)推而廣之：線性系統(tǒng)a1x1(t)+a2x2(t)a1y1(t)+a2y2(t)則其中a1、a2為常數(shù)。其中ai（i=1，2，…，n）為常數(shù)。第十一頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-1概述線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)：用非線性方程描述的系統(tǒng)，不滿足疊加原理。如下列方程描述的系統(tǒng)，又比如風(fēng)機(jī)、水泵等流體阻力與速度的平方成正比。*12嚴(yán)格來說，任何系統(tǒng)都或多或少存在著非線性因素，只有在一定條件下才能將它們作為線性系統(tǒng)處理。如金屬材料的彈性變形并不嚴(yán)格遵循胡克定律；運算放大器輸入信號過大會導(dǎo)致飽和而進(jìn)入非線性區(qū)。齒輪的間隙、材料的滯后都是非線性因素，導(dǎo)致系統(tǒng)非線性。非線性項非線性項第十二頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-1概述本課程涉及的數(shù)學(xué)模型形式本課程主要是用經(jīng)典控制理論研究線性定常系統(tǒng)，所以涉及到的數(shù)學(xué)模型主要是:時域里的線性常系數(shù)微分方程復(fù)域里的傳遞函數(shù)頻域里的頻響函數(shù)。*13第十三頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日m建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟機(jī)械運動系統(tǒng)微分方程的建立液壓系統(tǒng)微分方程的建立（自學(xué)）電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)微分方程的建立*14第十四頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-2系統(tǒng)微分方程的建立

建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟

確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量；按照信號的傳遞順序，從系統(tǒng)的輸入端出發(fā)，根據(jù)有關(guān)物理定律，列寫出各個環(huán)節(jié)的動態(tài)微分方程；消除上述各方程式中的中間變量，最后得到只包含輸入量、輸出量和系統(tǒng)參數(shù)的方程式；將與輸入有關(guān)的項寫在微分方程等號的右邊，與輸出有關(guān)的項寫在微分方程等號的左邊，并且各階導(dǎo)數(shù)項按降階排列。*15第十五頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-2系統(tǒng)微分方程的建立機(jī)械運動系統(tǒng)微分方程的建立機(jī)械系統(tǒng)中部件的運動，有直線運動、轉(zhuǎn)動或二者兼有，建立機(jī)械系統(tǒng)的運動微分方程通常采用達(dá)朗貝爾原理或牛頓第二定律。達(dá)朗貝爾原理：作用于每一個質(zhì)點上的合力(合力矩)，同質(zhì)點慣性力(慣性力矩)形成平衡力系，用公式可表達(dá)為*16質(zhì)點上作用的合力質(zhì)點上作用的合力矩質(zhì)點慣性力質(zhì)點慣性力矩達(dá)朗貝爾第十六頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日常見機(jī)械元件所遵循的物理定律系統(tǒng)元件物理符號所遵循的物理定律機(jī)械系統(tǒng)直線運動質(zhì)量元件質(zhì)量mkg或（對質(zhì)量）彈性元件彈簧剛度kN?m－1（對x1點。彈簧無質(zhì)量）粘性阻尼元件粘性阻尼系數(shù)BN?s?m－1（對x1點。無質(zhì)量）*17mx(t)f(t)f(t)x2(t)x1(t)kf(t)x2(t)x1(t)B第十七頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日常見機(jī)械元件所遵循的物理定律系統(tǒng)元件物理符號所遵循的物理定律機(jī)械系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)運動旋轉(zhuǎn)質(zhì)量轉(zhuǎn)動慣量JN?m2或（對質(zhì)量）扭轉(zhuǎn)彈簧扭轉(zhuǎn)彈簧剛度kJN?m?rad－1（對θ1點。無質(zhì)量）回轉(zhuǎn)粘性阻尼回轉(zhuǎn)粘性阻尼系數(shù)BJN?m?s?rad－1無質(zhì)量*18Jθ(t)T(t)T(t)θ2(t)θ1(t)kJT(t)θ

(t)BJ第十八頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-2系統(tǒng)微分方程的建立例1：求如圖所示系統(tǒng)的運動微分方程。圖中輸入為力f(t)，輸出為質(zhì)量的位移x(t)。解：對質(zhì)量m利用達(dá)朗貝爾定理得*19慣性力輸入力彈簧反力阻尼力mf(t)—力x(t)—位移kB單自由度有阻尼振動系統(tǒng)力學(xué)模型例1【注】將重力作用下的靜態(tài)平衡點作為位移的零點，重力被靜態(tài)彈簧反力平衡掉，所以在建立上述運動學(xué)方程時，重力不必出現(xiàn)。以后同。第十九頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-2系統(tǒng)微分方程的建立例2：求如圖所示系統(tǒng)的運動微分方程。圖中輸入為力矩T(t)，輸出為質(zhì)量的角位移θ(t)。解：對質(zhì)量利用達(dá)朗貝爾定理得*20慣性力矩輸入力矩彈簧反力矩阻尼力矩JT(t)kJθ

(t)BJ例2第二十頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-2系統(tǒng)微分方程的建立電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)建立由電阻、電感、電容等元件構(gòu)成的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的微分方程主要依據(jù)基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律。*21基爾霍夫電流定律（基爾霍夫第一定律）任一集總參數(shù)電路中的任一節(jié)點，在任一瞬間流入流出該節(jié)點的所有電流的代數(shù)和恒為零，（即所有流出節(jié)點的電流之和等于所有流進(jìn)節(jié)點的電流之和）?；鶢柣舴螂妷憾桑ɑ鶢柣舴虻诙桑┤我患倕?shù)電路中的任一回路，在任一瞬間沿此回路的各段電壓（包括電動勢）的代數(shù)和恒為零。第二十一頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日電阻、電容和電感元件所遵循的物理定律系統(tǒng)元件物理符號所遵循的物理定律電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)電阻R量綱：Ω電容C量綱：F電感L量綱：Hu

(t)i

(t)Cu

(t)i

(t)Lu

(t)i

(t)R22*第二十二頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-2系統(tǒng)微分方程的建立例1：求圖所示電路的微分方程。解：利用基爾霍夫電壓定律得到*23二階低通濾波器LRCuo(t)ui(t)i(t)對(2)式求導(dǎo)得將i(t)及其一階導(dǎo)數(shù)代入(1)式得III例1第二十三頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日傳遞函數(shù)的基本概念傳遞函數(shù)的零點與極點傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)*24第二十四頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日*25第二十五頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的基本概念定義：在初始條件為零（輸入、輸出及其各階導(dǎo)數(shù)在0時刻（即外界輸入作用前）皆為0）的情況下，系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換之比。本教材中一般采用G(s)表示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。即例如單自由度有阻尼振動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為*26第二十六頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)解析法求傳遞函數(shù)的方法利用微分方程：在初始條件為零的情況下，對微分方程等號兩邊同時做拉氏變換即可得到。對電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，也可利用復(fù)阻抗的概念直接求得。線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式為：式中，y(t)為輸出量，x(t)為輸入量，n決定了系統(tǒng)的階次。*27第二十七頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)令Y(s)=L[y(t)]，X(s)=L[x(t)]

，在初始條件為0時，對上述微分方程等號兩邊同時做拉普拉氏變換得（要利用到拉氏變換的微分性質(zhì)和線性性質(zhì)）這就是線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式。*28第二十八頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)例1：求如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：系統(tǒng)的運動微分方程為：*29mf(t)—力x(t)—位移kB彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)例1令X(s)=L[x(t)]，F(xiàn)(s)=L[f(t)]，在初始條件為0時，對上述微分方程等號兩邊同時做拉普拉氏變換得第二十九頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)例2：求圖3-3所示電路的傳遞函數(shù)。解：利用基爾霍夫電壓定律得到令Uo(s)=L[uo(t)]，Ui(s)=L[ui(t)]，I(s)=L[i(t)]，在初始條件為0時，對上述微分方程組等號兩邊同時做拉普拉氏變換得*30圖3-3二階低通濾波器LRCuo(t)ui(t)i(t)例2III第三十頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)聯(lián)立消除中間變量I(s)得*31式中： ——無阻尼固有角頻率(rad?s?1)； ——阻尼比。第三十一頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)利用復(fù)阻抗求例2的傳遞函數(shù)利用分壓定律得*32圖3-4二階低通濾波器ZL=LsZR=RZC=1/(Cs)Uo(s)Ui(s)結(jié)果與用微分方程求得的相同，但過程卻簡單的多，不需要拉氏變換過程。電感的復(fù)阻抗電阻的復(fù)阻抗電容的復(fù)阻抗第三十二頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的說明：傳遞函數(shù)是用以s為變量的代數(shù)方程描述系統(tǒng)的動態(tài)特性的一種數(shù)學(xué)模型，是系統(tǒng)動態(tài)特性在s域（復(fù)數(shù)域）的描述。傳遞函數(shù)是求解描述線性時不變系統(tǒng)的輸出-輸入之間的關(guān)系的微分方程的一種簡化方法。因為它將微積分方程變成了代數(shù)方程。傳遞函數(shù)表達(dá)的是系統(tǒng)本身的固有傳輸特性（動態(tài)特性），它與系統(tǒng)初始狀態(tài)、輸入量的大小和性質(zhì)無關(guān)（但與輸入量的作用點和輸出點有關(guān)。輸入點與/或輸出點不同，信號傳遞通道不同，傳遞函數(shù)自然不同）。如前面的例子中并沒有給出具體的輸入量。傳遞函數(shù)包含聯(lián)系輸入量和輸出量所必需的量綱，但是它不提供有關(guān)系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)的任何信息。許多物理上完全不同的系統(tǒng)可以具有形式上相同的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)僅適用于連續(xù)線性時不變系統(tǒng)。*33第三十三頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的零點與極點零點：在s平面（復(fù)變量s的實部、虛部構(gòu)成的平面）上，使傳遞函數(shù)等于0的s點。極點：在s平面上，使傳遞函數(shù)等于∞的s點。*34當(dāng)s＝zi（i＝1，2，…，m）時，G(s)＝0，故稱zi為G(s)的零點；當(dāng)s＝pj（j＝1，2，…，n）時，G(s)＝∞，故稱pj為G(s)的極點。由上式可見，極點就是系統(tǒng)微分方程的特征方程的根。因式分解K為常數(shù)第三十四頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)

零點、極點舉例。*35零點：z1＝－1/3；z2＝－3。極點：p1＝p2＝0；p3＝－1－j2；p4＝－1＋j2（p4與p3共軛，復(fù)數(shù)極點一般總是以共軛方式成對出現(xiàn)）。因式分解例第三十五頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)是研究復(fù)雜系統(tǒng)的基礎(chǔ)，因為任何復(fù)雜線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)總可以看成是下列簡單的典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的串聯(lián)/并聯(lián)/反饋聯(lián)接。*36①比例環(huán)節(jié)：K（K為常數(shù)）②積分環(huán)節(jié)：③微分環(huán)節(jié)：s④慣性環(huán)節(jié)：⑤一階微分環(huán)節(jié)：Ts＋1這些典型環(huán)節(jié)的命名有一些反映了輸出/輸入之間的關(guān)系，另一些反映了環(huán)節(jié)的特性。第三十六頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)*37⑥震蕩環(huán)節(jié)：⑦二階微分環(huán)節(jié)：⑧延時環(huán)節(jié)：【注】各典型環(huán)節(jié)并不一定對應(yīng)一個真實的物理結(jié)構(gòu)，之所以劃分典型環(huán)節(jié)，是為了通過分析典型環(huán)節(jié)的特性，簡化對復(fù)雜系統(tǒng)的動態(tài)特性分析。如上述各階微分環(huán)節(jié)物理上是不可能獨立存在的。用運放構(gòu)成的微分電路只是理論上的近似?；蚧虻谌唔?，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)

系統(tǒng)構(gòu)成舉例*38由1個比例環(huán)節(jié)、2個一階微分環(huán)節(jié)、2個積分環(huán)節(jié)和1個二階振蕩環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。比例環(huán)節(jié)2個一階微分環(huán)節(jié)2個積分環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)例第三十八頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)舉例例1：比例環(huán)節(jié)（0階系統(tǒng)——理想系統(tǒng)）*39齒輪傳動副反相比例運算放大器例1ni(t)z2no(t)z1第三十九頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)例2：慣性環(huán)節(jié)（一階系統(tǒng)）*40彈簧-阻尼器系統(tǒng)無質(zhì)量xi(t)kBxo(t)例2.1第四十頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)例2：慣性環(huán)節(jié)（一階系統(tǒng)）解法1：利用基爾霍夫電流定律*41一階低通濾波器RCuo(t)ui(t)i(t)例2.2第四十一頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)例2：慣性環(huán)節(jié)（一階系統(tǒng)）解法2：利用復(fù)阻抗和分壓定律*42一階低通濾波器RCuo(t)ui(t)i(t)例2.2Z2=1/(Cs)Z1=R第四十二頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)在慣性環(huán)節(jié)中，總是含有一個儲能元件（如彈簧、電感、電容等），其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)輸入，輸出總是滯后于輸入，所以稱為慣性環(huán)節(jié)。一階系統(tǒng)012345678910012345678910Unit-RampResponset(s)c(t)慣性環(huán)節(jié)G(s)=1/(Ts+1)的單位斜坡響應(yīng)TT=2T=0T=1T=3一階系統(tǒng)時間滯后

*43第四十三頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)例3：積分環(huán)節(jié)（一階系統(tǒng)）*44有源積分網(wǎng)絡(luò)也可利用復(fù)阻抗直接求得。例2.1第四十四頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)例3：積分環(huán)節(jié)（一階系統(tǒng)）*45解：齒輪齒條的轉(zhuǎn)速關(guān)系為齒輪的轉(zhuǎn)速n(t)為輸入量(rmin-1)，齒條的位移量x(t)為輸出量。試求此機(jī)構(gòu)的傳遞函數(shù)。齒輪齒條傳動機(jī)構(gòu)式中，D為齒輪的節(jié)圓直徑。若輸出為速度時，這個環(huán)節(jié)變?yōu)楸壤h(huán)節(jié)。例3.2n(t)x(t)x(t)n(t)第四十五頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)積分環(huán)節(jié)的特點：輸出量為輸入量對時間的累積，輸出的幅值呈線性增長。如果輸入為恒定值，則輸出要過一段時間才能等于輸入，故有滯后作用。經(jīng)過一段時間的累積后，當(dāng)輸入變?yōu)榱銜r，輸出量不再增加，但保持該值不變，具有記憶功能。*46第四十六頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)例4：震蕩環(huán)節(jié)（二階系統(tǒng)）*47mf(t)—力x(t)—位移kB彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式1標(biāo)準(zhǔn)形式2比例環(huán)節(jié)例4.1第四十七頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)例4：震蕩環(huán)節(jié)（二階系統(tǒng)）*48例4.1第四十八頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)例4：震蕩環(huán)節(jié)（二階系統(tǒng)）*49二階低通濾波器LRCuo(t)ui(t)i(t)標(biāo)準(zhǔn)形式1標(biāo)準(zhǔn)形式2

振蕩環(huán)節(jié)一般含有兩個儲能元件和一個耗能元件，由于兩個儲能元件之間有能量交換，使系統(tǒng)的輸出發(fā)生振蕩(0<ζ<1時)。

例4.2第四十九頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)震蕩環(huán)節(jié)G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的單位階躍響應(yīng)曲線*50000.20.40.60.811.21.41.61.82t(s)震蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線=0.1=0.4=2=0.7圖2-62二階系統(tǒng)第五十頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)例5：延時環(huán)節(jié)（延時系統(tǒng)）延時環(huán)節(jié)也稱延遲環(huán)節(jié)。凡在時域中，輸出量滯后輸入時間τ的環(huán)節(jié)稱為延時環(huán)節(jié)。具有延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為延時系統(tǒng)。無衰減的純延時環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量之間有如下的關(guān)系：*51式中，τ為延遲時間。例5.1延時環(huán)節(jié)的輸出與輸入的關(guān)系τt0x(t)y(t)x(t)y(t)第五十一頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日因而有3-3傳遞函數(shù)例5下圖所示為軋鋼時的帶鋼厚度檢測示意圖。帶鋼在A點軋出時，厚度為h1(t)。這一厚度在到達(dá)B點時才被測厚儀所檢測到，測厚儀檢測到的帶鋼厚度為h2(t)。若檢測點到軋制點的距離為L，帶鋼的速度為v，則延遲時間τ

=

L/v。故測厚儀輸出信號h2(t)與軋制點處厚度h1(t)（輸入信號）之間有如下關(guān)系：*52軋鋼時帶鋼厚度檢測示意圖ABh1(t)h2(t)vL在軋鋼厚度控制系統(tǒng)中要考慮這一延時環(huán)節(jié)所帶來的影響。例5.2第五十二頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)例6：微分環(huán)節(jié)在時域中，輸出量y(t)正比于輸入量x(t)的微分，即*53式中，T為微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。

微分環(huán)節(jié)的輸出反映了輸入的微分關(guān)系，當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時，輸出在理論上將是一個幅值為無窮大而時間寬度為零的脈沖函數(shù)，這在實際中是不可能的。這也證明了實際物理傳遞函數(shù)中分子的階次不可能高于分母的階次。因此，微分環(huán)節(jié)不可能單獨存在，它是與其他環(huán)節(jié)同時存在的。因此，上式定義的微分環(huán)節(jié)稱為理想微分環(huán)節(jié)。例6第五十三頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)例6：下圖是機(jī)械液壓阻尼器的原理圖。圖中A為活塞面積，k為彈簧剛度，R為液體流過節(jié)流閥上阻尼小孔時的液阻，p1、p2分別為液壓缸左右腔壓強。輸入量是活塞位移x(t)，輸出量是液壓缸的位移y(t)。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。*54解：液壓缸缸體的力平衡方程為通過節(jié)流閥上阻尼小孔的流量方程為：例6.1

機(jī)械液壓阻尼器Ap1p2qRkx(t)y(t)第五十四頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)從以上二式中消去p1、p2，得到*55即該系統(tǒng)由微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。第五十五頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)圖中R1、R2為電阻，C為電容，i(t)、iR(t)和iC(t)為電流，ui(t)為輸入電壓，uo(t)為輸出電壓。求其傳遞函數(shù)。*56CR1具有慣性的微分環(huán)節(jié)R2uo(t)ui(t)iC(t)iR(t)i(t)解根據(jù)基爾霍夫電流定律，有例6.2第五十六頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)整理得*57即該系統(tǒng)由比例環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)第五十七頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-3傳遞函數(shù)在控制系統(tǒng)中，微分環(huán)節(jié)主要用來改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，其特點如下所述：使系統(tǒng)的輸出提前，即對系統(tǒng)的輸入有預(yù)測作用。增加系統(tǒng)的阻尼，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。強化了系統(tǒng)的噪聲（缺點）。*58第五十八頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日F(s)X(s)－＋B(s)E(s)1.傳遞函數(shù)方塊圖2.動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成3.方塊圖的簡化法則（代數(shù)法則）4.畫系統(tǒng)方塊圖及由方塊圖求傳遞函數(shù)的步驟*59第五十九頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成傳遞函數(shù)方塊圖傳遞函數(shù)方塊圖：是系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)、各環(huán)節(jié)的關(guān)系和信號流向的圖解表示方法。*60圖3-5方塊圖圖例F(s)X(s)－＋B(s)E(s)方框相加點分支點輸入箭頭線輸出箭頭線第六十頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成方塊圖的組成元素方框□：表示系統(tǒng)或系統(tǒng)的一個環(huán)節(jié)，方框內(nèi)標(biāo)明系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。方框輸出的拉氏變換等于方框中的傳遞函數(shù)乘以其輸入的拉氏變換。箭頭線→：表示信號的流向。指向方框和相加點的箭頭表示輸入，從方框和相加點出來的箭頭表示輸出。相加點?：表示信號在此點的加減關(guān)系。輸入信號箭頭旁的“＋”表示相加，“－”表示相減。輸出信號等于各輸入信號的代數(shù)和。分支點：表示信號在此點流向不同的環(huán)節(jié)或相加點。從一個分支點分支出的信號性質(zhì)、大小完全一樣。*61第六十一頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成方塊圖表示系統(tǒng)的優(yōu)點方塊圖優(yōu)于純抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式，因為它能夠清楚地表明實際系統(tǒng)中的信號流向。只要依據(jù)信號的流向，將各環(huán)節(jié)的方塊連接起來，就能容易地組成整個系統(tǒng)的方塊圖。通過方塊圖，可以評價每個環(huán)節(jié)對系統(tǒng)性能的影響。方塊圖比物理系統(tǒng)本身，更容易體現(xiàn)系統(tǒng)的函數(shù)功能。通過對方塊圖的簡化，可以容易得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。*62第六十二頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成任何動態(tài)系統(tǒng)或過程，都是由內(nèi)部的各個環(huán)節(jié)按一定的關(guān)系構(gòu)成。這些構(gòu)成關(guān)系包括：串聯(lián)并聯(lián)反饋聯(lián)接*63第六十三頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成串聯(lián)各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一個個順序連接稱為串聯(lián)。圖3-5中前向通道的兩個環(huán)節(jié)就是串聯(lián)關(guān)系。無負(fù)載效應(yīng)串聯(lián)環(huán)節(jié)總的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)相乘，如圖3-6和圖3-7所示。*64串聯(lián)圖3-5方塊圖圖例F(s)X(s)－＋XB(s)E(s)第六十四頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日*65圖3-6圖3-5之等效方塊圖X(s)Y(s)－＋XB(s)X(s)Y(s)G2(s)Gn(s)G1(s)……圖3-7環(huán)節(jié)串聯(lián)方塊圖X(s)Y(s)G

(s)第六十五頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成負(fù)載效應(yīng)解釋*66一階低通濾波器R1C1uo1(t)ui(t)一階低通濾波器R2C2uo(t)ui1(t)隔離無負(fù)載效應(yīng)時有負(fù)載效應(yīng)時第六十六頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成并聯(lián)各環(huán)節(jié)的輸入相同，輸出相加或相減的連接形式稱為并聯(lián)。無負(fù)載效應(yīng)并聯(lián)環(huán)節(jié)總的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之代數(shù)和，如圖3-8所示。*67圖3-8環(huán)節(jié)并聯(lián)方塊圖X(s)Y(s)G

(s)X(s)Y(s)G1(s)G2(s)……Gn(s)±±±±第六十七頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成反饋聯(lián)接所謂反饋，是將系統(tǒng)或某一環(huán)節(jié)的輸出量，全部或部分地通過反饋環(huán)節(jié)返回到輸入端，并在輸入端與輸入量相加或相減，加或減得到的結(jié)果(稱為“誤差”或“偏差”)再輸入到系統(tǒng)中去。如圖3-9所示。*68圖3-9閉環(huán)系統(tǒng)—反饋聯(lián)接H(s)G(s)±＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)反饋信號誤差信號反饋環(huán)節(jié)第六十八頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成前向傳遞函數(shù)輸出信號的拉氏變換與誤差信號的拉氏變換之比稱為前向傳遞函數(shù)。前向通道誤差信號E(s)到輸出信號Y(s)的信號傳遞通路稱為前向通道。*69圖3-10閉環(huán)系統(tǒng)—反饋聯(lián)接H(s)G2(s)?＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)G1(s)【注】以下各種傳遞函數(shù)的定義都以0初始條件為前提。第六十九頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成反饋傳遞函數(shù)反饋信號的拉氏變換與輸出信號的拉氏變換之比稱為反饋傳遞函數(shù)。即反饋通道輸出信號Y(s)到反饋信號X1(s)的傳遞通路稱為反饋通道。*70圖3-10閉環(huán)系統(tǒng)—反饋聯(lián)接H(s)G2(s)?＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)G1(s)第七十頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成誤差傳遞函數(shù)誤差信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之比稱為誤差傳遞函數(shù)。即*71圖3-9閉環(huán)系統(tǒng)—反饋聯(lián)接H(s)G(s)?＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)注意分母中的“加”、“減”關(guān)系。第七十一頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成開環(huán)傳遞函數(shù)反饋信號的拉氏變換與誤差信號的拉氏變換之比稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。對下圖來說*72【注】這里所說的開環(huán)傳遞函數(shù)是對閉環(huán)系統(tǒng)而言的，并非指開環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向傳遞函數(shù)與反饋傳遞函數(shù)的乘積。圖3-10閉環(huán)系統(tǒng)—反饋聯(lián)接H(s)G2(s)?＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)G1(s)第七十二頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成閉環(huán)傳遞函數(shù)輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之比稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)。即*73圖3-9閉環(huán)系統(tǒng)—反饋聯(lián)接H(s)G(s)?＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)注意分母中的“加”、“減”關(guān)系。第七十三頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成閉環(huán)傳遞函數(shù)對下圖所示閉環(huán)系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：*74圖3-10閉環(huán)系統(tǒng)—反饋聯(lián)接H(s)G2(s)?＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)G1(s)注意分母中的“加”、“減”關(guān)系。第七十四頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成單位反饋系統(tǒng)若反饋傳遞函數(shù)H(s)=1，則此閉環(huán)系統(tǒng)稱為單位反饋系統(tǒng)。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為*75圖3-11單位反饋系統(tǒng)G2(s)?＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)G1(s)注意分母中的“加”、“減”關(guān)系。第七十五頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成干擾作用下系統(tǒng)的響應(yīng)如果系統(tǒng)既有參考輸入量，又有干擾輸入量，則根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可知，系統(tǒng)的響應(yīng)等于參考輸入和干擾輸入單獨作用下的響應(yīng)之和。以圖3-12所示系統(tǒng)為例，推導(dǎo)如下：*76圖3-12干擾作用下的閉環(huán)系統(tǒng)H(s)G2(s)－＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)G1(s)N(s)＋＋干擾輸入?yún)⒖驾斎氲谄呤?，共一百零六頁，編輯?023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成參考輸入量X(s)單獨作用下系統(tǒng)的響應(yīng)YX(s)令干擾輸入N(s)=0，此時系統(tǒng)方塊圖如下圖所示。*77圖3-13有用輸入信號單獨作用下的閉環(huán)系統(tǒng)H(s)G2(s)－＋X1(s)E(s)YX(s)X(s)G1(s)閉環(huán)傳遞函數(shù)X(s)引起的響應(yīng)第七十七頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成干擾N(s)單獨作用下系統(tǒng)的響應(yīng)YN(s)令參考輸入X(s)=0，此時系統(tǒng)方塊圖如下圖所示。*78圖3-12干擾作用下的閉環(huán)系統(tǒng)H(s)G2(s)－＋X1(s)E(s)YN(s)0G1(s)N(s)＋＋圖3-14干擾單獨作用下的閉環(huán)系統(tǒng)H(s)G2(s)YN(s)G1(s)＋－N(s)第七十八頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成干擾N(s)單獨作用下系統(tǒng)的響應(yīng)YN(s)*79閉環(huán)傳遞函數(shù)N(s)引起的響應(yīng)圖3-14干擾單獨作用下的閉環(huán)系統(tǒng)H(s)G2(s)YN(s)G1(s)＋－N(s)第七十九頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成參考輸入與干擾同時作用下系統(tǒng)的響應(yīng)根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可知，系統(tǒng)的響應(yīng)等于參考輸入和干擾輸入單獨作用下的響應(yīng)之和。*80若|G1(s)G2(s)H(s)|?1

且|G1(s)H(s)|?1，則：上式表明，采用反饋控制的系統(tǒng)，適當(dāng)選擇元部件的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以增強系統(tǒng)抑制干擾的能力。而且G1(s)和G2(s)的變化對閉環(huán)傳遞函數(shù)也幾乎沒有影響。這些正是閉環(huán)系統(tǒng)的優(yōu)點。第八十頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日求串聯(lián)、并聯(lián)、反饋聯(lián)接系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的MATLAB命令串聯(lián)：sys=series(sys1,sys2)sys1=tf(num1,den1);sys2=tf(num2,den2)并聯(lián)：sys=parallel(sys1,sys2)反饋聯(lián)接：負(fù)反饋聯(lián)接： sys=feedback(sys1,sys2,-1)

或

sys=feedback(sys1,sys2)正反饋聯(lián)接： sys=feedback(sys1,sys2,+1)sys1：前向傳遞函數(shù)；sys2：反饋傳遞函數(shù)81*第八十一頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成方塊圖的簡化法則（代數(shù)法則）方塊圖的簡化采用等效變換的代數(shù)法則。在簡化過程中，移動分支點和相加點時注意遵守兩條基本原則，即①前向通道的各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積保持不變；②反饋回路的各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積保持不變。串聯(lián)等效：并聯(lián)等效：反饋聯(lián)接等效：*82前向傳遞函數(shù)反饋傳遞函數(shù)注意分母中的“加”、“減”關(guān)系。第八十二頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日*83變換原方塊圖等效方塊圖分支點后移分支點前移相加點后移G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)R1(s)R2(s)C(s)＋±G(s)R1(s)R2(s)C(s)G(s)±＋方塊圖等效變換的代數(shù)法則第八十三頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成變換原方塊圖等效方塊圖相加點前移消去反饋回路*84G(s)C(s)R2(s)R1(s)＋±G(s)R1(s)C(s)R2(s)＋±R(s)H(s)G(s)C(s)＋±R(s)C(s)方塊圖等效變換的代數(shù)法則——續(xù)第八十四頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成分支點之間、相加點之間相互移動規(guī)則分支點之間的相互移動、相加點之間的相互移動，均不改變原有的數(shù)學(xué)關(guān)系，因此，可以相互移動，如圖(a)、(b)。*85X2(s)±(a)±X3(s)±±X4(s)X2(s)±X1(s)±X3(s)±±X4(s)X1(s)X2(s)±X1(s)±X3(s)±X4(s)第八十五頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成分支點之間、相加點之間相互移動規(guī)則*86X2(s)±(c)±X3(s)X3(s)X2(s)±X1(s)X3(s)±X3(s)X1(s)X1(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)(b)分支點和相加點之間不能相互移動，因為它們并不等效，如圖(c)所示。第八十六頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成例：用方塊圖簡化法則，求下圖系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：方塊圖簡化過程依次如下圖

所示。*87＋－＋－＋－R(s)C(s)＋－＋－R(s)C(s)＋－相加點前移移動前后該反饋回路各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積保持不變移動前后前向通道各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積保持不變例題第八十七頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日*88＋－＋－R(s)C(s)＋－＋－＋－R(s)C(s)＋－分支點后移移動前后該反饋回路各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積保持不變移動前后前向通道各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積保持不變第八十八頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日*89＋－＋－R(s)C(s)＋－消去兩個反饋回路＋－R(s)C(s)R(s)C(s)消去反饋回路方框中的函數(shù)即為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第八十九頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成畫系統(tǒng)方塊圖及由方塊圖求傳遞函數(shù)的步驟確定系統(tǒng)的輸入與輸出；列寫微分方程；初始條件為零，對各微分方程取拉氏變換；將各拉氏變換式分別以方塊圖表示；按照信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，依次將各部件的方塊圖連接起來（同一變量的信號通路連接在一起）。系統(tǒng)輸入量置于左端，輸出量置于右端，便可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方塊圖；按方塊圖的簡化原則進(jìn)行簡化便可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。*90第九十頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成例題：畫出下圖所示系統(tǒng)的方塊圖，并求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。該系統(tǒng)在開始時處于靜止?fàn)顟B(tài)，系統(tǒng)的輸入為外力f(t)，輸出為位移x(t)。解：設(shè)m1的位移為x1(t)，如圖所示。分別對質(zhì)量m1和m2利用牛頓第二定律得*91x1(t)k1Bm2m1k2x(t)f(t)整理得例題第九十一頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成在初始條件為0的情況下，對上兩式等號兩邊同時做拉普拉斯變換得*92第九十二頁，共一百零六頁，編輯于2023年，星期日3-4方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成上兩式的方塊圖分別如圖（a）、（b）所示。*93將方塊圖（a）、（b）合并得系統(tǒng)的方塊圖，如圖（c）所示X

(s)X1(s)(a)BsF(s)X1(s)X(s)＋＋(b)（c）F(s)X(s)＋＋